Материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления пользователям Интернета и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
© 2018 - 2024
Решим уравнение 1- x/3 = x/6, x ? R и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.
| Преобразования | Обоснование преобразования |
| 1. Приведем выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения, к общему знаменателю: (6-2х)/ 6 = х/6 | Выполнили тождественное преобразование выражения в левой части уравнения. |
| 2. Отбросим общий знаменатель: 6-2х = х | Умножили на 6 обе части уравнения (теорема 2), получили уравнение, равносильное данному. |
| 3. Выражение -2х переносим в правую часть уравнения с противоположным знаком: 6 = х+2х. | Воспользовались следствием из теоремы 1, получили уравнение, равносильное предыдущему и, значит, данному. |
| 4. Приводим подобные члены в правой части уравнения: 6 = 3х. | Выполнили тождественное преобразование выражения. |
| 5. Разделим обе части уравнения на 3: х = 2. | Воспользовались следствием из теоремы 2, получили уравнение, равносильное предыдущему, а значит, и данному |
Так как все преобразования, которые мы выполняли, решая данное уравнение, были равносильными, то можно утверждать, что 2 - корень этого уравнения.
Если же в процессе решения уравнения не выполняются условия теорем 1 и 2, то может произойти потеря корней или могут появиться посторонние корни. Поэтому важно, осуществляя преобразования уравнения с целью получения более простого, следить за тем, чтобы они приводили к уравнению, равносильному данному.
Рассмотрим, например, уравнение х(х - 1) = 2х, х ? R. Разделим обе части на х, получим уравнение х - 1 = 2, откуда х = 3, т. е. данное уравнение имеет единственный корень - число 3. Но верно ли это? Нетрудно видеть, что если в данное уравнение вместо переменной х подставить 0, оно обратится в истинное числовое равенство 0·(0 - 1) = 2·0. А это означает, что 0 - корень данного уравнения, который мы потеряли, выполняя преобразования. Проанализируем их. Первое, что мы сделали, - это разделили обе части уравнения на х, т.е. умножили на выражение1/x , но при х = О оно не имеет смысла. Следовательно, мы не выполнили условие теоремы 2, что и привело к потере корня.
Чтобы убедиться в том, что множество корней данного уравнения состоит из двух чисел 0 и 3, приведем другое его решение. Перенесем выражение 2х из правой части в левую: х(х - 1) - 2х = 0. Вынесем в левой части уравнения за скобки х и приведем подобные члены: х(х - 3) = 0. Произведение двух множителей равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из них равен нулю, поэтому x= 0 или х - 3 = 0. Отсюда получаем, что корни данного уравнения - 0 и 3.
В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и результатами действий. Например, решение уравнения (х·9):24 = 3 обосновывается следующим образом. Так как неизвестное находится в делимом, то, чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное: х ·9 = 24·3, или х·9 = 72.
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х = 72:9, или х = 8, следовательно, корнем данного уравнения является число 8.
Упражнения
1. Установите, какие из следующих записей являются уравнениями с одной переменной:
а) (х -3)·5 = 12х; г) 3 + (12-7)· 5 = 16;
б) ( х -3)·5 = 12; д) (х-3)· y =12х;
в) (х-3)·17 + 12; е) х2- 2х + 5 = 0.
2. Уравнение 2 х 4 + 4 х 2 -6 = 0 задано на множестве натуральных чисел. Объясните, почему число 1 является корнем этого уравнения, а 2 и -1 не являются его корнями.
3. В уравнении (х + ...)(2 х + 5) - (х - 3)(2 х + 1) = 20 одно число стерто и заменено точками. Найдите стертое число, если известно, что корнем этого уравнения является число 2.
4. Сформулируйте условия, при которых:
а) число 5 является корнем уравнения f(х) = g(х);
б) число 7 не является корнем уравнения f(х) = g(х).
5. Установите, какие из следующих пар уравнений равносильны на множестве действительных чисел:
а) 3 + 7 х = -4 и 2(3 + 7л х) = -8;
6)3 + 7 х = -4 и 6 + 7 х = -1;
в)3 + 7 х = -4 и л х + 2 = 0.
6. Сформулируйте свойства отношения равносильности уравнений. Какие из них используются в процессе решения уравнения?
7. Решите уравнения (все они заданы на множестве действительных чисел) и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе их упрощения:
a)(7x+4)/2 – x = (3x-5)/2;
б) x –(3x-2)/5 = 3 – (2x-5)/3;
в)(2- х)2- х (х + 1,5) = 4.
8. Учащийся решил уравнение 5 х + 15 = 3 х + 9 следующим образом: вынес за скобки в левой части число 5, а в правой число 3, получил уравнение 5(х + 3) = 3(х + 3), а затем разделил обе части на выражение х + 3. Получил равенство 5 = 3 и сделал вывод – данное уравнение корней не имеет. Прав ли учащийся?
9. Решите уравнение 2/(2-x) – ½ = 4/((2-x)x); х ? R. Является ли число 2 корнем этого уравнения?
10. Решите уравнения, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий:
а) (х + 70)·4 = 328; в) (85 х + 765): 170 = 98;
б) 560: (х + 9) - 56; г) (х - 13581):709 = 306.
11. Решите задачи арифметическим и алгебраическим способами:
а) На первой полке на 16 книг больше, чем на второй. Если с каждой полки снять по 3 книги, то на первой полке книг будет в полтора раза больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке?
б) Весь путь от турбазы до станции, равный 26 км, велосипедист проехал за 1 ч 10 мин. Первые 40 мин этого времени он ехал с одной скоростью, а остальное время - со скоростью на 3 км/ч меньше. Найдите скорость велосипедиста на первом участке пути.
Дата: 2019-02-02, просмотров: 510.