Рассмотрим, например, хорошо известное нам сложение натураль­ных чисел. Выполняя эту операцию, мы, имея два числа, находим третье - сумму первых двух чисел. Так, складывая числа 5 и 9, получаем число 14, которое так же, как и данные числа 5 и 9, является натураль­ным числом.

Выполняя пересечение множеств, мы по двум данным множествам находим новое, состоящее из общих элементов данных множеств.

Если рассмотреть вычитание натуральных чисел, то можно ска­зать, что при его выполнении по двум заданным натуральным числам находят третье - разность, но не всегда эта разность является нату­ральным числом. Но если рассмотреть вычитание целых чисел, то разность двух целых чисел всегда будет целым числом. И в этом вы­читание целых чисел похоже на сложение натуральных чисел и пере­сечение двух множеств.

Обобщая, можно сказать, что, выполняя ту или иную операцию, мы должны знать, на каком множестве она рассматривается. Далее, выполняя операцию, мы по двум элементам х и у из выбранного мно­жества находим третий элемент z того же множества. Он единственный, и при этом ответ, вообще говоря, зависит от порядка этих элементов (как, например, при вычитании чисел). Другими словами, при выпол­нении операции упорядоченной паре элементов из множества X ста­вится в соответствие единственный элемент того же множества. И если такая ситуация складывается для всех пар элементов множества X, то операция называется алгебраической.

Определение. Алгебраической операцией на множестве X называется соответствие, при котором каждой паре элементов из множества X сопоставляется единственный элемент того же множества.

Примерами алгебраических операции могут служить:

-  сложение на множестве натуральных чисел, поскольку сумма любых натуральных чисел является натуральным числом. Иначе говоря, при сложении каждой паре (х, у) натуральных чисел ставится в соответствие единственное натуральное число, обозначаемое х + у;

- вычитание на множестве целых чисел, так как разность любых целых чисел является целым числом или, говоря иначе, при вычитании каждой паре (х, у) целых чисел ставится в соответствие единственное целое число, обозначаемое х - у;

- деление на множестве рациональных чисел при условии, что ис­ключается деление на нуль. Тогда частное любых рациональных чисел есть рациональное число, т.е. каждой паре (х, у) рациональных чисел ставится в соответствие единственное рациональное число.

С алгебраической операцией связано понятие замкнутого множе­ства: если на множестве X задана алгебраическая операция, то гово­рят, что множество X замкнуто относительно этой операции.

Например, о множестве N натуральных чисел можно сказать, что оно замкнуто относительно сложения и умножения.

Существуют операции, которые не являются алгебраическими. Примером такой операции является вычитание на множестве нату­ральных чисел: х - у будет натуральным числом лишь при условии, что х > у, т.е. в множестве натуральных чисел есть пары, которым нельзя поставить в соответствие натуральное число.

Вычитание на множестве натуральных чисел не является алгебраиче­ской операцией, но мы знаем, что если разность натуральных чисел существует, то это число единственное. Аналогичной особенностью обладает и деление натуральных чисел. Говорят, что вычитание и деление есть частичные алгебраические операции на множестве натуральных чисел.

Определение. Частичной алгебраической операцией на множестве X называется соответствие, при котором некоторым парам эле­ментов из множества X сопоставляется единственный элемент того же множества.

Задача. На множестве X натуральных чисел, кратных 3, заданы операции: сложение, умножение, вычитание и деление. Какие из них являются на этом множестве:

а) алгебраическими;

б) частичными алгебраическими?

Решение. Любое натуральное число, кратное 3, имеет вид 3n, где п ? N.

Пусть 3n и 3m - два натуральных числа из множества X, n ? N, m ? N. Тогда 3n + 3m = 3 (n+ m),  причем п + т - сумма двух нату­ральных чисел и, значит, число натуральное и единственное. Следовательно, складывая два любых натуральных числа, кратных 3, мы всег­да получаем число, кратное 3, и это число единственное. Таким обра­зом, сложение на данном множестве X есть алгебраическая операция.

Рассмотрим произведение двух чисел из множества X: 3n · 3m = 9n·m, причем п·т - произведение двух натуральных чисел и, значит, число натуральное и единственное. Но 9:3, следовательно, умножая два любых натуральных числа, кратных 3, мы всегда получаем число, кратное 3, и это число единственное. Таким образом, умножение на данном множестве X есть алгебраическая операция.

Рассмотрим теперь разность двух чисел из множества X: 3n - 3m = 3 (n- m), но разность n - т существует на множестве натуральных чисел лишь при условии, что п > т. И если эта разность существует, то она единственна. Поэтому, если п > т, то разность 3n - 3m существует и является числом, кратным 3. Таким образом, вычитание на множе­стве X есть частичная алгебраическая операция.

Выполним деление чисел на множестве X: 3n : 3m = n: m. Так как частное натуральных чисел лит существует не всегда и, кроме того, если оно существует, то оно может быть не кратно 3. Значит, деление на множестве чисел, кратных 3, не является алгебраической операци­ей. Но поскольку для некоторых n и m  их частное может быть кратно 3 (например, если п = 24, m = 2), то деление на множестве X является частичной алгебраической операцией.

Понятие алгебраической операции проходит через весь школьный курс математики. Начинается этот процесс в начальных классах, где происходит знакомство детей со сложением, которое сначала рас­сматривается на отрезке натурального ряда от 1 до 9 включительно, затем на отрезке от 1 до 100 и т.д. Алгебраической эта операция ста­новится тогда, когда ее начинают рассматривать на всем множестве натуральных чисел. С умножением ситуация аналогичная.

Операции вычитания и деления в начальном обучении рассматри­ваются как частичные алгебраические операции на множестве нату­ральных чисел.

Упражнения

1. Сформулируйте условия, при которых операция, заданная на множестве X:

а) будет алгебраической; б) не будет алгебраической.

2. Объясните, почему сложение и умножение являются алгебраиче­скими операциями на множестве 2 целых чисел, а деление не является.

3. На множестве X={-1,0,1} заданы сложение, умножение и вычитание. Являются ли они алгебраическими на этом множестве?

4. Являются ли алгебраическими операции: сложение, умножение,
деление и вычитание, заданные на множестве X, если:

a) Х- множество четных натуральных чисел;

б) X - множество нечетных натуральных чисел;

в) Х- множество натуральных чисел, кратных 5?

5. Среди следующих высказываний укажите истинные, ответ обос­нуйте:

а) Множество N натуральных чисел замкнуто относительно умножения.

б) Множество Q рациональных чисел замкнуто относительно де­ления (деление на нуль не рассматривается).

в) Множество Z целых чисел замкнуто относительно вычитания и деления.

г) Множество Z целых чисел замкнуто относительно вычитания или деления.

6. Являются ли алгебраическими на множестве натуральных чисел следующие операции:

а) возведение в степень;

б) нахождение наибольшего общего делителя двух чисел;

в) нахождение наименьшего общего кратного двух чисел?

7. Дано множество {а, Ь, с}. Составьте множество X всех его подмножеств. На этом множестве X рассмотрите операции пересечения и объединения. Являются ли они алгебраическими?

8. В начальном курсе математики сложение рассматривают сначала на отрезке натуральных чисел от 1 до 9 (включительно), затем на отрезке от 1 до 100, затем от 1 до 1000, Является ли оно алгебраиче­ской операцией на этих множествах?