Если t - время движения пешехода (в часах), s - пройденный путь (в километрах), и он движется равномерно со скоростью 4 км/ч, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой s = 4t. Так как каждому значению I соответствует единственное значение 5, то можно говорить о том, что с помощью формулы s = 4t задана функция. Ее называют прямой пропорциональностью и определяют следующим образом.

 Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = kх, где k - не равное нулю действительное число.

Название функции у = kх связано с тем, что в формуле у = kх есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными. В нашем случае y/x = k (k ≠ 0). Это число называют коэффициентом пропорциональности.

Функция у = kх является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана выше. Другой пример: если в одном пакете муки 2 кг, а куплено х таких пакетов, то всю массу купленной муки (обозначим ее через у) можно представить в виде формулы у = 2х, т.е. зависимость между количеством пакетов и всей массой купленной муки является прямой пропорциональностью с коэффициентом k = 2.

Напомним некоторые свойства прямой пропорциональности, ко­торые изучаются в школьном курсе математики.

1. Областью определения функции у = kх и областью ее значений является множество действительных чисел.

2. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорционально­сти достаточно найти лишь одну точку, при­надлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.

Например, чтобы построить график функ­ции у = 2х, достаточно иметь точку с коорди­натами (1, 2), а затем через нее и начало коор­динат провести прямую (рис. 89).

3. При k > 0 функция у = kх возрастает на всей области определе­ния; при k < 0 - убывает на всей области определения.

4. Если функция f - прямая пропорциональность и (х₁,у₁), (х₂,у₂), - пары соответственных значений переменных x и у, причем x₂ ≠ 0, то x₁/ x₂ = y₁/ y₂

Действительно, если функция f - прямая пропорциональность, то она может быть задана формулой у = kх, и тогда у₁ = kх₁, у₂ = kх₂. Так как при х₂ ≠ 0 и k ≠ 0, то у₂ ≠ 0. Поэтому y₁/ y₂ = kx₁/ kx₂ = x₁/ x₂

Если значениями переменных х и у служат положительные дейст­вительные числа, то доказанное свойство прямой пропорционально­сти можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Это свойство присуще только прямой пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассмат­риваются прямо пропорциональные величины.

Задача 1. За 8 ч токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов по­требуется токарю на изготовление 48 деталей, если он будет работать с той же производительностью?

Решение. В задаче рассматриваются величины - время работы токаря, количество сделанных им деталей и производительность (т.е. количество деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч), причем послед­няя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, количество сделанных деталей и время работы - величи­ны прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторому числу, не равному нулю, а именно - числу деталей, изготавливае­мых токарем за 1 ч. Если количество сделанных деталей обозначить буквой у, время работы х, а производительность - k, то получим, что y/ x = k или у = kх, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является прямая пропорциональность.

Решить задачу можно двумя арифметическими способами:

1 способ:                                    2 способ:

1) 16:8 = 2 (дет.)            1) 48:16 = 3 (раза)

2) 48:2 = 24(ч)                     2) 8-3 = 24(ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 2, а затем, зная, что у = 2х, нашли значение y при условии, что у = 48.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свой­ством прямой пропорциональности: во сколько раз увеличивается количество деталей, сделанных токарем, во столько же раз увеличива­ется и количество времени на их изготовление.

Перейдем теперь к рассмотрению функции, называемой обратной пропорциональностью.

Если t- время движения пешехода (в часах), v - его скорость (в км/ч) и он прошел 12 км, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой v · t = 20 или v= 20/ t. Так как каждому значению t (t≠0) соответствует единственное значение скорости v, то можно говорить о том, что с помощью формулы v =20/ t задана функция. Ее называют обратной пропорциональностью и определяют следующим образом.

Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = k/ x, где k – не равное нулю действительное число.

Название данной функции связано с тем, что в у = k/ x есть перемен­ные x и у, которые могут быть значениями величин. А если произведе­ние двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их называют обратно пропорциональными. В нашем случае xy = k (к ≠ 0). Это число k называют коэффициентом пропорциональности.

Функция у = k/ x является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана перед определением обратной пропорциональ­ности. Другой пример: если купили 12 кг муки и разложили ее в x банок по у кг в каждую, то зависимость между данными величинами можно представить в виде х · у = 12, т.е. она является обратной про­порциональностью с коэффициентом k = 12.

Напомним некоторые свойства обратной пропорциональности, известные из школьного курса математики.

1. Областью определения функции у = k/ x и областью ее значений x является множество действительных чисел, отличных от нуля.

2. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

3. При k > 0 ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях и функция у = k/ x является убывающей на всей области определения x (рис. 90). При k < 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция у = k/ x является возрастающей на всей области определения х (рис.91)

4. Если функция f - обратная пропорциональность и (х₁,у₁), (х₂,у₂) - пары соответственных значений переменных х и у, то x₁/ x₂ = y₁/ y₂.

Действительно, если функция f- обратная пропорциональность, то она может быть задана формулой у = k/ x, и тогда у₁ = k/ x₁, у₂ = k/ x₂.  Так как х ≠ 0, х₂ ≠ 0 и k ≠ 0, то y₁/ y₂ = k/ x₂ : k/ x₁ = k ·x₁/ k · x₂ = x₁/ x₂.

Если значениями переменных x и у служат положительные дейст­вительные числа, то это свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рас­сматриваются обратно пропорциональные величины.

Задача 2. Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 км/ч, проехал расстояние от А до В за 6 ч. Сколько времени потратит велосипедист на обратный путь, если будет ехать со скоростью 20 км/ч?

Решение. В задаче рассматриваются величины: скорость движе­ния велосипедиста, время движения и расстояние от А до В, причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, скорость и время движения - величины об­ратно пропорциональные, так как их произведение равно некото­рому числу, а именно пройденному расстоянию. Если время движе­ния велосипедиста обозначить буквой у, скорость - х, а расстояние АВ – k, то получим, что ху = k или у = k/ x, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является обратная пропор­циональность.

Решить задачу можно двумя способами:

1 способ:                                      2 способ:

1) 10-6 = 60 (км)              1) 20:10 = 2 (раза)

2)60:20 = 3(ч)                   2)6:2 = 3(ч)

Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 60, а затем, зная, что у = 60/ x, нашли значение у при условии, что х = 20.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойст­вом обратной пропорциональности: во сколько раз увеличивается скорость движения, во столько же раз уменьшается время на прохож­дение одного и того же расстояния.

Заметим, что при решении конкретных задач с обратно пропор­циональными или прямо пропорциональными величинами наклады­ваются некоторые ограничения на x и у, в частности, они могут рас­сматриваться не на всем множестве действительных чисел, а на его подмножествах.

Задача 3. Лена купила х карандашей, а Катя в 2 раза больше. Обозначьте число карандашей, купленных Катей, через у, выразите у через х и постройте график установленного соответствия при усло­вии, что х ≤ 5. Является ли это соответствие функцией? Какова ее об­ласть определения и область значений?

Решение. Катя купила у = 2х каранда­шей. При построении графика функции у = 2х необходимо учесть, что переменная х обо­значает количество карандашей и х ≤ 5, значит, она может принимать только зна­чения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Это и будет область определения данной функции. Чтобы полу­чить область значений данной функции, надо каждое значение х из области опреде­ления умножить на 2, т.е. это будет множе­ство {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Следовательно, гра­фиком функции у = 2х с областью опреде­ления {0, 1, 2, 3, 4, 5} будет множество то­чек, изображенных на рисунке 92. Все эти точки принадлежат прямой у = 2х.

Упражнения

1. Известно, что функция f является прямой пропорциональ­ностью, задана на множестве X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и при х, равном 3, значение функции равно 12.

а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график.

б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при по­мощи таблицы и графика?

в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая задачу: «В 3 пакета разложили поровну 12 кг муки. Сколько кило­граммов муки можно разложить в 6 таких пакетов?»

2. Известно, что функция f является обратной пропорционально­стью, задана на множестве X = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} и при х, рав­ном 5, значение функции f равно 6.

а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график.

б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при по­мощи таблицы и графика?

в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая за­дачу: «Муку разложили в 10 пакетов по 3 кг в каждый. Сколько полу­чилось бы пакетов, если бы в каждый положили по 6 кг муки?»

3. Покажите, что зависимость между величинами, о которых идет речь в нижеприведенной задаче, может быть выражена формулой у = kх.

Из 24 м ткани сшили 8 одинаковых платьев. Сколько потребуется ткани на 16 таких же платьев?

4. Учитель, проводя с детьми анализ задачи (см. упр. 3), спрашива­ет: «Если на 8 платьев израсходовали 24 м ткани, то на 16 платьев израсходуют больше или меньше ткани?» Дети отвечают, что больше, так как 16 больше 8.

О каком свойстве и какой функции в этом случае идет речь?

5. Задайте при помощи формулы соответствие, которое рассматри­вается в задании:

а) Запиши несколько примеров на деление с результатом 10.

б) Составь все возможные примеры на сложение однозначных чи­сел с ответом 10.

Установите, являются ли эти соответствия функциями.

Одна сторона прямоугольника 3 см, а другая - х см. Какова площадь (у см²) этого прямоугольника? Постройте график полученно­го соответствия при условии, что х ≤ 6. Докажите, что это соответст­вие - функция.

Площадь прямоугольника с основанием х см равна 12 см². Како­ва высота (у см) этого прямоугольника?

Покажите, что соответствие между значениями переменных x и у является функцией и постройте ее график при условии, что 1 ≤ х ≤ 12.

Учащимся дано задание заполнить таблицу

Задает ли эта таблица функцию? Какую? Какое свойство этой функ­ции можно проиллюстрировать при помощи данной таблицы?

9. Обоснуйте, используя определения прямой или обратной пропорциональности и их свойства, решение различными арифметиче­скими способами следующих задач:

а) С участка собрали 6 мешков картофеля по 40 кг в каждом. Этот картофель разложили в ящики по 20 кг в каждый. Сколько ящиков потребовалось?

б) Из куска ткани длиной 24 м сшили 8 одинаковых костюмов. Сколько потребуется ткани на 32 таких же костюма?

10. Какие вспомогательные модели можно использовать на этапе поиска плана решения задач из упражнения 9, если рассматривать их в начальной школе, т.е. при условии, что дети не знают ни прямой, ни обратной пропорциональности?

11. Какие из нижеприведенных задач можно решить в начальной школе двумя способами:

а) Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч и был в пути 2 ч. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти это расстояние со ско­ростью 4 км/ч?

б) Из 100 кг свеклы при переработке получается 16 кг сахара. Сколько килограммов сахара получится из 3 т свеклы?

в) Два опытных участка имеют одинаковую площадь. Ширина первого участка 30 м, ширина второго — 40 м. Найдите длину первого участка, если известно, что длина второго участка равна 75 м.

46. Основные выводы § 9

Рассмотрев материал данного параграфа, мы уточнили наши зна­ния о таких понятиях, как:

- числовая функция;

- область определения функции;

- область значений функции;

- график функции;

- прямая пропорциональность;

- обратная пропорциональность.

Вспомнили, что числовую функцию можно задать с помощью формулы (она представляет собой уравнение с двумя переменными), графика на координатной плоскости, таблицы.

Выяснили, что функции могут обладать свойством монотонности, т. е. возрастать или убывать на некотором промежутке.

Особо выделили свойства, присущие только прямой и обратной пропорциональности, поскольку их можно использовать при обуче­нии младших школьников решению задач с пропорциональными величинами.