В данной лекции, исходя из закона сохранения импульса, проводится количественный анализ кинематических характеристик взвешенного в восходящем воздушном потоке коллектива частиц из различающихся по механическим и геометрическим свойствам компонентов смеси, дается обоснование эффективности процесса разделения смеси частиц с различающимися показателями аэродинамического сопротивления в вертикальном пневмосепарирующем канале.
Значительная часть современных инновационных технологических процессов в перерабатывающих производствах АПК, а также других отраслях промышленности связана с изготовлением, разделением и применением измельченных и порошкообразных материалов. Удаление твердых частиц небольшого диаметра осуществляют с помощью таких физических операций как гравитационное осаждение, центрифугирование, инерционный или прямой захват, броуновская или вихревая диффузия, термическое, электростатическое или магнитное осаждение, турбулентное разделение и др. При проведении данных процессов встают проблемы разделения компонентов обрабатываемых смесей, эвакуации посторонних примесей, нейтрализации вредных выбросов в атмосферу продуктов переработки и др., для чего, в частности, используют такие машины и аппараты как сепараторы, циклоны, фильтры и т.п. Причем, очевидно, что создание прогрессивного оборудования для обработки фаз смеси невозможно без обоснования рациональных режимных, геометрических и механических параметров данного процесса.
Анализ кинематики частицы
Поскольку исследуемый процесс сепарирования смеси осложнен многими факторами, то количественное моделирование данного процесса может быть осуществлено лишь при определенной схематизации рассматриваемого явления.
В качестве упрощающих предположений, полагаемых в основу схемы процесса сепарирования смеси в потоке воздуха, используют допущения, не сильно искажающие реальную картину протекания исследуемого явления. А именно, считают, что объемная концентрация частиц в потоке воздуха невелика и поэтому кинематику частицы полагают не зависящей от движения коллектива соседних частиц. В результате, учитывая, что объемная концентрация частиц в воздушном потоке в реальных условиях не превышает одного процента (т.е. имеют малоконцентрированную смесь “газ-твердое”), при описании движения частицы вместе с коллективом соседних может быть использована бесстолкновительная модель кинетики процесса.
Кроме того, предполагают, что основной поток (поток воздуха) одномерный, а распределение скорости воздуха по поперечному сечению потока незначительно отличается от расходной скорости его. Данное допущение подтверждается опытными измерениями скорости потока воздуха, ограниченного параллельными стенками. В результате, если считать воздушный поток равномерным, инерционным, то при анализе относительного движения частицы, т.е. ее перемещения по отношению к системе отсчета, связанной с потоком, будет выполняться принцип относительности классической механики: действующие на частицу силы в подвижной системе координат будут такими же, как и в абсолютной системе отсчета.
При обосновании силового воздействия потока воздуха на частицу (т.е. при решении внешней задачи аэродинамики), полагаем, что действующие на частицу силовые факторы выбираются такими же, какими они были бы при решении внутренней задачи аэродинамики однородного потока газа в том месте, где находится частица. При этом учитываем, что на изолированную частицу весом G, введенную каким-либо образом в невозмущенный поток, и движущуюся со скоростью V, со стороны окружающей среды гипотетически действуют: сила сопротивления среды Fс, сила давления Р, подъемная сила Магнуса-Жуковского FЖ и др. (рис. 5.1)
| Поток воздуха |
| L |
| y |
| x |
| Зона осаждения лёгких частиц (примесей) |
| Зона осаждения тяжёлых частиц (целевого) продукта |
| О |
| V 0 |
| j |
| Траектория лёгкой частицы |
| Траектория тяжёлой частицы |
| U |
Рис. 5.1.
Анализ процесса проводят для случаев:
а) отнесенное к размеру d частицы число Рейнольдса Re < 1, и поэтому силу сопротивления среды Fс принимают в виде закона Стокса;
б) число Рейнольдса значительно превышает 1, и поэтому в качестве силы сопротивления Fс выбирают квадратический закон по местной (относительной) скорости частицы в потоке (по скорости витания).
Число Рейнольдса Re < 1
В таком случае, если среди действующих на частицу сил сохранить лишь наибольшие по порядку величины - вес G и силу сопротивления Fс (рис. 5.1), то в результате согласно основному закону динамики для точки приходят к уравнению
mdV/ dt = G + Fс, (5.1)
где m - масса частицы, кг; t - время, с; G = {0, -mg} - вектор силы тяжести, Н; g - ускорение свободного падения, м/с2; Fc = -3pmd(V - U), m - динамический коэффициент вязкости, Па×с; d - диаметр частицы, м; V = {Vx, Vy} - вектор скорости частицы, U = {0, U}, U - скорость потока воздуха, U > 0, м/с.
Выбирая при исследовании поставленной задачи оси координат естественным путем (рис. 5.2), направляют ось у вверх, против силы тяжести, а ось х перпендикулярно оси у.
| G |
| V |
| Fc |
| U |
Рис. 5.2
В таком случае, проецируя векторное уравнение (5.1) по осям х и у, получают
dVx/dt = -kVx, (5.2)
dVy/dt =-g - k (Vy - U). (5.3)
где
k = 18m/(r1d2),
где r1 - плотность частицы, кг/м3.
Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5.2), (5.3) согласуют с начальным условием (рис. 5.1)
Vx0 = V0Cosj, Vy0 = -V0Sinj при t = 0. (5.4)
Частным решением задачи (5.2) - (5.4) является
Vx = Vx 0ехр(-kt), (5.5)
Vy = [(g + kw 0) ехр(-kt) - g]/k + U, (5.6)
где временно обозначено w 0 = Vy 0 - U .
Поскольку Vx = dx / dt, V у = d у/ dt, то на основе (5.5), (5.6) могут быть найдены зависимости декартовых координат частицы от времени, удовлетворяющие начальным условиям
х = 0, у = 0 при t = 0. (5.7)
В результате, интегрируя (5.5), (5.6), с учетом (5.7), имеют
x = Vx 0 [1 - ехр(-kt)]/k, (5.8)
y = (g + kw 0)[1 - ехр(-kt)]/k2 + (U - g / k)t . (5.9) С целью получить уравнение траектории точки в аналитической форме выражают время t из уравнения (5.8)
1 - ехр(-kt) = kx/Vx 0, t = -ln[1 - kx/Vx 0 ]/k. (5.10)
В результате чего в соответствии с (5.9), (5.10) в явном виде, как функцию у от х, получают уравнение траектории частицы в рабочем объеме пневмосепаратора:
y = (g + kw 0)x/(k Vx 0) + (g / k - U)ln[1 - kx/Vx 0 ]/k . (5.11)
Таким образом, в рамках принятых допущений решение задачи (5.4) - (5.7), в виде зависимостей (5.5), (5.6), (5.8)- (5.10), по проекциям скорости, координатам и уравнению траектории моделирующей частицу точки в рабочем объеме пневмосепаратора получено полностью. На базе данных зависимостей может быть реализован полный конструктивный анализ кинематики частицы в рабочей полости вертикального пневмосепарирующего канала.
Так, в частности, из условия обращения в нуль производной y¢(х) = 0 вытекает, что в точке с абсциссой хопт = Vx 0[1- (Uk - g)/(g + kw 0)]/k траектории частиц достигают экстремальной высоты
Если L - ширина канала, то на основе формулы (5.10) определяют время Т достижения частицей противоположной стенки канала (эффективное время осаждения частицы на вертикальной стенке):
Т = -ln[1 - kL/Vx 0 ]/k.
Поскольку эффективность работы сепаратора в некоторых случаях оценивают, в основном, по содержанию тяжелых частиц в зоне осаждения легких частиц (примесей), то анализ эволюции дисперсности взвеси проводят по поведению траектории ОАВ (рис. 5.3) именно для этого компонента смеси. Данную траекторию, как и размер частицы, движущейся по этой линии, в теории сепарирования жидкостных и газовых смесей называют, соответственно, критической траекторией и критическим диаметром dк частицы. При этом критический диаметр dк частицы является корнем уравнения траектории, проходящей через точку В(L, 0), координаты которой удовлетворяют (5.11)
(g + kw0)L/(k Vx0) + (g/k - U)ln[1 - kL/Vx0 ]/k= 0. (5.12)
где dк входит в уравнение (5.12) через параметр k, а именно,
d = [18m/(kr1)]1/2. (5.13)
Учитывая, что уравнение (5.12) зависит от dк неявным образом, данный параметр определяли численным путем как корень трансцендентного уравнения по dк. Причем, при выполнении вычислений, например, в такой операционной системе как MATH С AD, выкладки, связанные с получением в явной форме уравнений типа (5.12), проводили в символьном виде.
| О |
| х |
| у |
| В |
| В |
| А |
Рис. 5.3
При этом согласно определению понятия критического диаметра dк частицы, размером больше dк, отводятся вниз, а размером меньшим dк - уходят с потоком воздуха в зону осаждения легких частиц. В свою очередь, если эффективность процесса сепарирования смеси базируется на понятии критической скорости витания vк частицы, то частицы, движущиеся со скоростью меньшей критической, отводятся в зону целевого продукта, а движущиеся со скоростью больше критической - в зону осаждения легких частиц.
Число Рейнольдса Re > 1
Если процесс сепарирования смеси развивается в условиях, когда размеры разделяемых частиц имеют величину порядка нескольких миллиметров, при скорости потока воздуха порядка нескольких метров в секунду, то кинетика частиц в рабочем объеме воздушного сепаратора протекает при немалом значении числа Рейнольдса. Поэтому в качестве силы сопротивления Fс движению частицы со стороны потока воздуха принимают квадратический закон по местной (относительной) скорости частицы в потоке, т.е. по так называемой скорости витания.
В таком случае силу сопротивления Fс принимают по зависимости
Fc = -k1VотнêVотнê,
где k1 = 0,5rвсуS - коэффициент пропорциональности, rв - плотность воздуха, кг/м3; су - аэродинамический коэффициент сопротивления; S - площадь проекции частицы на плоскость, нормальную направлению ее движения, м2; V = {Vx, Vy} - вектор скорости частицы, Vотн = v = V - U, U = {0, U}, U - скорость потока воздуха, U > 0, Vотн - вектор местной скорости частицы, м/с.
Тогда векторное уравнение (5.1) в проекциях по осям х и у принимает вид
mdVx / dt = - kVxçv ç, (5.14)
mdVy / dt =- mg - k(Vy - U) çv ç. (5.15)
Поскольку çv ç= [Vx2 + (Vy - U)2]1/2, то согласно уравнениям (5.14), (5.15) имеют
dVx/dt = -kVx[Vx2 + (Vy - U)2]1/2, (5.16)
dVy/dt =-g - k(Vy - U) [Vx2 + (Vy - U)2]1/2. (5.17)
где k = k1/m.
Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5.16), (5.17) согласуют с начальным условием (рис. 5.1)
Vx = V0Cosj, Vy = V0Sinj при t = 0. (5.18)
Поскольку система уравнений (5.16), (5.17) является нелинейной относительно искомых проекций скорости V х и V у, то ее решение может быть найдено лишь численным методом.
Для того чтобы получить зависимости, позволяющие прогнозировать результаты сепарирования смеси в вертикальном пневмосепарирующем канале, необходимо располагать аналитическим, пусть даже упрощенным, решением задачи (5.16) - (5.18) по проекциям скорости частицы и ее координатам. С помощью численного моделирования (в критериальной форме) задачи Коши (5.16) - (5.18), на базе стандартных процедур, в области реальных значений параметров процесса было выявлено, что обычно выполняется неравенство Vx2 < (Vy - U)2. Поэтому, имея в виду, что U - V у > 0, вместо уравнений (5.16), (5.17) приближенно имеют
dVx/dt = -kVxçVy - Uç, (5.19)
dVy/dt =-g - k(Vy - U) çVy - Uç. (5.20)
Вводя скорость v витания частицы, и учитывая, что Vx > 0, системе уравнений (5.19), (5.20) придают форму
dVx/dt = kVx v, (5.21)
d v/dt =-g + k v2. (5.22)
При этом начальные условия (5.4) по проекциям скорости частицы принимают вид
Vx = Vx0 = V0Cosj, v = v0 при t = 0, (5.23)
где v0 = V0Sinj - U.
Общим интегралом уравнения (5.22) является
ln[(b - v)/(b + v)]/a = t + lnC2/a, (5.24)
где С2 = const, и для сокращения преобразований введены обозначения а = 2(gk)1/2, b = (g/k)1/2.
Исходя из (5.23), (5.24) находят
v = b(c - eat)/(c + eat), (5.25)
где обозначено с = (b + v0)/(b - v0).
И, поскольку v = V - U, то в соответствии с (5.25)
Vy = U + v = U + b(c - eat)/(c + eat). (5.26)
Подставляя (5.26)в уравнение (5.21), получают
dVx / dt = kVx b(c - eat)/(c + eat),
откуда, имея в виду связь kb = a/2, находят общий интеграл
Vx = С1[eat/2/(c + eat)], (5.27)
где С1 = const.
Согласуя (5.27) с (5.23), получают частное решение уравнения (5.21)
Vx = Vx0×(с + 1)×eat/2/(c + eat). (5.28)
Поскольку Vx = dx / dt, V у = d у/ dt, то на основе (5.26), (5.28) находят зависимости декартовых координат частицы от времени, удовлетворяющие начальным условиям
х = 0, у = 0 при t = 0. (5.29)
В результате, интегрируя (5.26), (5.28), с учетом (5.29), имеют
х = 2Vx0(с + 1)/(ac1/2)[arctg(eat/2/c1/2) - arctg(1/c1/2)], (5.30)
y = Ut + (2b/a)ln[(с + 1)eat/2/(c + eat)]. (5.31)
С целью получить уравнение траектории точки в аналитической форме выражают время t из уравнения (5.30)
t = 2ln[c1/2tg(a + xх)]/a, (5.32)
где для сокращения записи приняты обозначения
a = arctgc-1/2, x = ac1/2/[2Vx0(с + 1)].
Поэтому, согласно (5.32)
eat /2 = с1/2×tgb, c + eat = с(1 + tg2b), (5.33)
где временно введено обозначение b = xх + a.
В результате чего в соответствии с (5.30), (5.32) в явном виде, как функцию у от х, получают уравнение траектории частицы в рабочем объеме пневмосепаратора:
y = Ut + (2b/a)ln[(с + 1) eat/2/(c + eat)] =
= U(2/a)ln[c1/2tg(xх + a)] + (2b/a)ln{0.5(с + 1)c-1/2sin[2(xх + a)]}. (5.34)
Таким образом, в рамках принятых допущений решение задачи (5.21) - (5.23), в виде зависимостей (5.26), (5.28), (5.30), (5.31), (5.34) по проекциям скорости, координатам и уравнению траектории моделирующей частицу точки в рабочем объеме пневмосепаратора получено полностью. На базе данных зависимостей может быть реализован полный конструктивный анализ кинематики частицы в рабочей полости вертикального пневмосепарирующего канала при немалых значениях числа Рейнольдса.
Так, если L - ширина канала, то на основе формулы (5.32) определяется время Т достижения частицей противоположной стенки канала (эффективное время осаждения частицы на вертикальной стенке):
T = ln[tg2(a + xL)c]/a . (5.35)
Поскольку эффективность работы сепаратора в некоторых случаях оценивают, в основном, по содержанию тяжелых частиц в зоне осаждения легких частиц (примесей), то анализ эволюции дисперсности взвеси проводят по поведению траектории ОАВ (рис. 5.3) именно для этого компонента смеси. Данную траекторию, как и размер частицы, движущейся по этой линии, в теории сепарирования жидкостных и газовых смесей называют, соответственно, критической траекторией и критическим диаметром dк частицы. При этом критический диаметр dк частицы является корнем уравнения траектории, проходящей через точку В(L, 0), координаты которой удовлетворяют (5.11):
Uln[c1/2tg(xL + a)] + bln{(c + 1)sin[2(xL + a)]/(2c1/2)] = 0, (5.36)
где dк входит в уравнение (5.36) через параметры
а = 2(gk)1/2, b = (g/k)1/2, 2b/a = 1/k, c = (b + w0)/(b - w0),
x = ac1/2/[2Vx0(с + 1)], k = 0.75су(rв/rч)/dк.
Учитывая, что уравнение (5.36) зависит от dк неявным образом, данный параметр определяли численным путем как корень трансцендентного уравнения по dк. Причем, при выполнении вычислений, например, в такой операционной системе как MATH С AD, выкладки, связанные с получением в явной форме уравнений типа (5.36), проводили в символьном виде.
При этом согласно определению понятия критического диаметра dк частицы, размером больше dк, отводятся вниз, а размером меньшим dк - уходят с потоком воздуха в зону осаждения легких частиц. В свою очередь, если эффективность процесса сепарирования смеси базируется на понятии критической скорости витания vк частицы, то частицы, движущиеся со скоростью меньшей критической, отводятся в зону целевого продукта, а движущиеся со скоростью больше критической - в зону осаждения легких частиц.
С целью сопоставить результатов расчетов по количественному моделированию кинетики смеси в вертикальном пневмосепарирующем канале будем предполагать, что все частицы смеси имеют сферическую форму диаметром d, причем, аэроотделимые примеси характеризуются значением аэродинамического коэффициента сопротивления су l = 1,2 (условно - легкий компонент смеси), а целевого продукта - значением су s = 0,8 (условно - тяжелый компонент смеси). Что близко к имеющим место данным величинам в практических условиях.
И пусть плотность частицы смеси rп = 1200 кг/м3; плотность воздуха rв = 1.3 кг/м3; масса частицы m = 3×10-5 кг; скорость потока воздуха U = 6 м/с; скорость подачи смеси V0 = 0,5 м/с; угол подачи смеси j = - 45°.
Из анализа графиков на рис. 5.3 (кривая 1) видно, что тяжелые частицы крупностью d = 1×10-3 м уходят в зону осаждения легких частиц, а более крупные размером - d = 2×10-3 м и d = 3×10-3 м (кривые 2,3) - опускаются, и в дальнейшем отводятся из рабочего объема. В свою очередь, легкие частицы крупностью d = 1×10-3 м и d = 2×10-3 м отводятся в зону осаждения легких частиц, а размером - d = 3×10-3 м - опускаются. Как видно из анализа кривых 4 на рис. 5.3 а, б, соответствующих траекториям тяжелых и легких частиц критическими диаметрами d = dк, частицы этих размеров для обеих фаз смеси практически находятся во взвешенном состоянии.
Помимо этого по данным расчетов можно заключить, что частицы тяжелого компонента смеси в горизонтальном направлении движутся быстрее, а в вертикальном направлении - медленнее, чем частицы аэроотделимой примеси. Эта особенность перемещения частиц обусловлена большей “парусностью” частиц с большим значением аэродинамического коэффициента сопротивления су у аэроотделимой примеси.
а)
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
б)
|
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 2 |
Рис. 5.3
Траектории частиц (rп = 1200; rв = 1,3 кг/м3; L = 0.14 м; U = 6 м/с; V0 = 0,5 м/с; j = -40°): (а) - целевого продукта (с s = 0,8) - 1 - d = 1´10-3 м; 2 - d = 2´10-3 м; 3 - d = 3´10-3 м; 4 - d = dк = 1,70´10-3 м); (б) - аэроотделимой примеси (с l = 1.2) - 1 - d = 1´10-3 м; 2 - d = 2´10-3 м; 3 - d = 3´10-3 м; 4 - d = dк = 256 ´10-3 м)
Подробный количественный анализ на базе формул (5.26), (5.28), (5.30), (5.31) выявляет заметную зависимость результатов расчетов траекторий частиц от величин скоростей U и V0.
Исходя из формул (5.26) и (5.32), значение вертикальной составляющей V у(Т) скорости частицы в момент достижения ею стенки канала, имеет вид
V у ( Т ) = U + w = U + b(c - eat)/(c + eat)çt=T =
= U + b×cos{2[arctg(c-1/2) + xL)]}. (5.37)
На основе рассчитанного по (5.36) значения dк, а также формул (5.32), (5.35) находят выражение скорости V В для частицы в точке В:
V В = (V Вх2 + V Ву2)1/2 » V Ву , (5.38)
где проекции V Вх, dк по осям координат вектора скорости VВ вычисляются по формулам (5.14), (5.16) при х = L.
Дата: 2019-02-02, просмотров: 227.
