Гидростатика. Основное уравнение гидростатики

Основное уравнение гидростатики получают из дифференциаль­ных уравнений равновесия жидкости. Рассматривают равновесие жид­кости, находящейся в относительном покое. В этом случае на нее действуют массовые силы – силы тяжести и инерции – и поверх­ностные – сила гидростатического давления. Из всего объема жидкости выделяют элементарный параллелепипед объемом dV .

Ребра параллелепипеда d х, d у, dz располагают параллельно осям х, у, z (рис. 1.1). Среднее значение силы гидростатичес­кого давления, действующей на каждую грань со стороны окружа­ющей жидкости, равна произведению гидростатического давления р(х, у, z) на площадь грани параллелепипеда.

Соста­вляют сумму проекций на оси х, у, z всех сил, действующих на элемен­тарный параллелепипед.  Если  обозначить проекции на оси х, у, z всех, отнесенных к единице массы, массовых сил через X , Y , Z то, например,  проек­ция объемных сил на ось х будет равна Q_x = Х d т , где масса жидкости d т = rd х d у dz , или dQ_x = Хrd х d у dz . Согласно условию равновесия  сумма проекций всех сил, действующих на жидкость, в случае покоя равна нулю.

Поэтому сумма проекций сил на ось х

p d у dz - (p + )d у dz + Хrd х d у dz = 0,                           (2.1)

где p d у dz - сила гидростатического давления, действующего на левую грань; ¶ p/¶ x - изменение гидростатического давления в данной точке по оси х;  - изменение гидростатического давления по длине ребра d x.

Тогда гидростатичес­кое давление на пра­вую грань будет равно

p + , а проекция средней силы гидроста­тического давления на ось х (p + )dydz .

После раскрытия скобок и сокращения на основе выражения (2.1) имеют

   -  + Хr = 0.

    Аналогично, получают уравнения равновесия по осям y  и z

-  + Yr = 0,

-  + Zr = 0.

   Или, в сово­купности

   -  + Хr = 0,

-  + Yr = 0,                                                                   (2.2)

-  + Zr = 0.

Рис. 2.1

    Систему уравнений (2.2) полагают в основу расчета гидродинамике.

 Гидродинамика

В зависимости от закономерностей движения жидкости разли­чают установившееся и неустановившееся движение.

При установившемся движении скорости v, ускорения частиц жид­кости, давления, глубины не меняются во времени (¶v /¶t = 0, ¶р/¶t  = 0 и т. д.), а являются только функцией координат, т. е. зави­сят лишь от положения в потоке жидкости рассматриваемой точки:

v = f₁(x,y,z); p = f₂(x,y,z),

где v - скорость движения жидкости; р - давление.

При неустановившемся движении скорость и давление потока являются функциями как координат, так и времени:

v = f₁(x,y,z, t); p = f₂(x,y,z, t).

Установившееся движение потоков характерно для непрерыв­ных процессов, а неустановившееся - для периодических.

Установившееся движение может быть равномерным и неравно­мерным.

Равномерное движение имеет место, когда скорость, давление, глубина и форма потока не меняются по длине потока. Примером равномерного движения является движение жидкости в трубопро­воде постоянного сечения с постоянной скоростью.

Неравномерное движение происходит, например, в конической трубе, когда скорость, давление и глубина потока меняются по длине трубы.

Если рассмотреть поперечное сечение потока жидкости и мысленно представить его состоящим из отдельных элементарных струек, то окажется, что частицы жидкости, находящиеся в струй­ках, расположенных на различном расстоянии от оси потока, дви­жутся с различными скоростями.

Скорость движения жидкости будет максимальной по оси потока и минимальной в струйках у стенки трубы. Распределение скоростей в потоке зависит от режима движения жидкости.

Уравнение неразрывности потока

Рассматривают зависимость между скоростями в потоке жидкости в условиях неразрывности движения.

Для этого выделяют внутри потока элементарный параллелепи­пед, объем которого dV = dxdydz (рис. 2.1). Если v_x - составляющая скоро­сти вдоль оси х, то тогда через левую грань параллелепи­педа площадью dydz за бесконечно малый проме­жуток времени d t в него войдет масса жидкости, равная (рис. 2.2)

M_x = rv_xdydzd t.

Рис. 2.2

На противоположной грани параллелепипеда скорость жидкости будет отличаться от скорости на левой грани на величину   и будет равна

Через правую грань за тот же промежуток времени dt выйдет масса жидкости, равная

M_{x + dx} = r( )dydzd t.

Приращение массы в параллелепипеде в направлении х будет

dM_x = M_x -   M_{x + dx} = -r(¶v_x/¶x)dxdydzdt.

Соответственно вдоль осей у и z изменение массы жидкости составит

dM_y = M_y -  M_y+dy = -r(¶v_y/¶y)dxdydzdt,

dM_z = M_z -  M_z+dz = -r(¶v_z/¶z)dxdydzdt.

Общее изменение массы жидкости в параллелепи­педе за время dt  будет равно сумме ее изменений по осям координат:

dM = dM_x + dM_y + dM_z =                 (2.3) Если жидкость несжимаема, т.е. r = с onst, то масса жидкости внутри параллелепипеда должна быть постоянной, а, следовательно, общее изменение массы dM = 0, и  поэтому в силу (3.3)

                            ,                                              (2.4)

 где  изменение скорости в направ­лении осей х, у, z .

Это уравнение называют дифференциальным уравнением неразрывности потока несжимаемой жидкости или уравнением сохранения массы.