Интервалы монотонности функции

Функция называется возрастающей ( убывающей) в данном промежутке значений , если при увеличении значений аргумента в этом промежутке соответствующие значения функции увеличиваются ( уменьшаются).

Теорема: Если значения производной функции в данном промежутке значений  положительны, то функция возрастает в этом промежутке, а если отрицательны, то функция убывает.

Точки , в которых , называются стационарными точками функции.

Для нахождения интервалов монотонности функции надо на ось  нанести все стационарные точки этой функции, после чего проверить знак на каждом из интервалов между соседними стационарными точками. Интервалы, на которых , будут интервалами возрастания, а интервалы, на которых , будут интервалами убывания функции.

Точки экстремума.

Те значения аргумента, при которых значение функции являются наибольшими или наименьшими, называются соответственно точками локального максимума или точками локального минимума функции, а значения функции в этих точках максимальным или минимальным значением функции.

Точки локального максимума и  локального минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.  

Теорема Ферма: Если  - точка локального экстремума для функции , то в этой точке производная функции либо равна 0, либо не существует.

Точки области определения функции , в которых ее производная не существует или равна нулю, называются критическими точками функции.

Если при переходе через критическую точку   в положительном направлении знак  сменяемся с «+» на «-«  , то при функция  имеет максимум. Аналогично при переходе через точку минимума производная сменяет знак с «–« на «+».

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на интервале надо найти все ее внутренние и концевые максимумы на этом интервале, а затем сравнить между собой все соответствующие максимальные значения: наибольший из максимумов и даст наибольшее значение функции. Аналогично находится и наименьшее значение функции на замкнутом интервале.

Участки выпуклости графика и точки перегиба.

         Выпуклая                                   вогнутая                               

Точками перегиба кривой называются точки, которые отделяют выпуклую часть кривой от вогнутой.

Теорема: Если вторая производная функции в данном промежутке значений аргумента               положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, если отрицательна, то кривая выпукла.

Точки перегиба получаются при тех значениях х, при переходе через которые вторая производная меняет знак. В самой же точке перегиба .

Асимптоты графика.

       Асимптоты графика  могут быть вертикальные ( параллельные оу) и невертикальные. Первых может быть сколько угодно, и они находятся так: если при  , то прямая   служит вертикальной асимптотой.

       Невертикальных асимптот не может быть более двух, и они находятся так: пусть прямая  служит асимптотой графика при . Тогда разность   равна     (*) и стремится к нулю при , откуда  т.е.  . Кроме того, в силу (*)  т.е.  

Каждый из этих двух пределов должен существовать и быть конечным, в противном случае асимптот при  нет. Если же эти конечные пределы существуют, то и асимптота существует.

Общая схема исследования функции и построения ее графика.

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить не является ли функция четной, нечетной или периодической.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений)

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Найти промежутки монотонности графика функции и ее экстремумы:

1) найти производную

2) найти критические точки функции, т.е. точки, в которых  или терпит разрыв

3) исследовать знак производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции: если , то функция возрастает, если , то убывает

4) вычислить значения функции в точках экстремума и на концах промежутка

6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба:

1) найти вторую производную

2) найти критические точки функции, т.е. точки, в которых  или терпит разрыв

3) исследовать знак второй производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции: если , то график имеет вогнутую форму , если , то график имеет выпуклость

4) вычислить значения функции в точках перегиба

7. Построить график, используя полученные результаты исследования.