Тема: Определение производной, ее геометрический и физический смысл.
Приращением функции 
, вызванное приращением 
аргумента, называется разность значений функции в 
точке 
и 
. 
.
Производной функции в точке 
называется предел отношения приращения функции 
в этой точке (если он существует) к приращению аргумента 
, когда 
и обозначается
Вычисление производной называется дифференцированием функции.
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
где 
- угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то 
неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точкеA ( x0 , f ( x0 ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’( x0 ) имеет вид:
y = f ’( x0 ) · x + b .
Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
f ( x0 ) = f ’( x0 ) · x0 + b ,
отсюда, b = f ( x0 ) – f ’( x0 ) · x0 , и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной:
y = f ( x0 ) + f ’( x0 ) · ( x – x0 ) .
Физический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + 
точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) -x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна: va = / . При 
0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0 ) материальной точки в момент времени t0 . Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v ( t0 ) = x’ ( t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).
Производные элементарных функций.
1.  
2.  
а)  
в)  
3.  
а)  
4.  
а)  
5.  
| 6.  
7.  
8.  
9.  
10.  
11.  
12.  
|
Основные правила дифференцирования.
Пусть с- константа, а функции 
и 
имеют производные в некоторой точке
. Тогда функции 
и 
(где 
) также имеют производные в этой точке, причем
1. 
;
2. 
, в частности 
;
3. 
.
Теорема: Пусть дана функция 
и существует производная этой функции в точке 
: 
и дана функция 
, имеющая производную в точке 
: 
. Следовательно,
(4)
Дата: 2019-02-02, просмотров: 333.
