Числовой последовательностью называется занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров.
В общем виде записывают: 
, где 
называется общим членом последовательности.
Последовательность 
называется возрастающей,( убывающей) если каждый ее член начиная со второго, больше (больше или равен) предыдущего, т.е. если для любого n выполняется неравенство: 
.( 
)
Переменная величина 
называется бесконечно малой, если она изменяется так, что, какое бы малое положительное число 
ни взять, абсолютная величина становится, и, при дальнейшем изменении величины , остается, меньше 
.
Если 
- бесконечно большая величина, то обратная ей величина 
будет бесконечно малой.
Если - бесконечно малая величина, то обратная ей величина 
будет бесконечно большой.
Постоянная 
называется пределом переменной х , если х в некотором процессе стремится к конечному пределу и безгранично приближается к 
. Тогда пишут 
или 
.
Число называется пределом последовательности 
, если для любого положительного числа можно подобрать такой номер N0, что начиная с этого номера ( т.е. для всех n 
N0), будет выполнено неравенство: 
( 
)
Если последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся, если не имеет конечного предела, тогда расходящейся.
Свойства пределов:
1. Если последовательность имеет конечный предел, то только один.
2. Предел постоянной величины равен ей самой: 
3. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) их пределов: 
.
4. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов: 
5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: 
( 
)
6. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов:
( 
)
7. Предел корня k-ой степени от сходящейся последовате6льности равен корню этой же степени от предела последовательности: 
Важно знать некоторые пределы:
1. 
, где 
- второй замечательный предел
2. 
3. 
Определение предела функции по Гейне:
Число А называется пределом функции 
при 
стремящимся к 
, если для любой последовательности 
, все члены которой принадлежат области определения функции и не равны выполняется условие что последовательность 
стремится к А.
) 
Определение предела функции по Коши:
Число А называется пределом функции 
при 
, если для любого числа 
можно указать такое 
, что для всех 
, удовлетворяющего неравенству 
, выполняется неравенство 
.
В этом случае пишут 
.
Если число А1 есть предел функции 
при х, стремящемся к а, так, что х принимает только значения, меньшие а, то А1 называется левым пределом функции 
в точке а. При этом пишут 
.
Если число А2 есть предел функции 
при х, стремящемся к а, так, что х принимает только значения, большие а, то А2 называется правым пределом функции в точке а. При этом пишут 
.
Эти пределы называются односторонними пределами функции.
Теорема: Для того, чтобы функция имела предел равный А в точке а, необходимо и
Достаточно, чтобы существовали односторонние пределы функции в этой точке и
были равны между собой.
Теорема 1: Если существуют конечные пределы функций и 
при 
, то существует
предел их суммы (разности), равный сумме (разности) пределов функций и 
:
Теорема 2: Если существуют конечные пределы функций и 
при , то существует
предел их произведения, равный произведению пределов функций 
и 
:
Теорема 3: Если существуют конечные пределы функций и 
при 
, то существует
предел отношения 
, равный отношению пределов функций и :
, где 
Следствия:
1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела: 
, 
.
2. Если 
- натуральное число, то 
, при 
.
3. Предел многочлена 
при равен значению этого многочлена при 
т.е. 
.
4. Предел дробно-рациональной функции 
при 
равен значению этой функции при , если 
принадлежит области определения функции, т.е. 
и 
.
Важно знать некоторые пределы наизусть:
Первый замечательный предел- 
Следствия: 
Второй замечательный предел - 
Следствия: 
Функция называется непрерывной в точке 
если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Функция называется непрерывной в точке 
, если для любого существует 
, такое, что для всех 
из области определения функции, удовлетворяющих условию 
,выполняется неравенство 
.
Функция называется непрерывной в точке 
, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке.
Условия непрерывности функции в точке:
1. 
- определена.
2. 
3. 
Теорема 1: Если функции и непрерывны в точке , то функция 
так же
непрерывна в этой точке.
Теорема 2: Если функции и 
непрерывны в точке 
, то функция 
так же
непрерывна в этой точке.
Теорема 3: Если функции и 
непрерывны в точке и 
, то функция
так же непрерывна в этой точке.
Свойства функций непрерывных на отрезке.
Теорема1: Больцано- Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции.
Если функция определена и непрерывна на отрезке 
, то она ограничена на этом отрезке.
Теорема2: Больцано- Вейерштрасса о достижении верхней и нижней граней
Если функция определена и непрерывна на отрезке 
. Тогда эта функция принимает на отрезке свои наибольшие и наименьшие значения, т.е. существуют такие точки 
, что для любой точки 
справедливы равенства 
.
Теорема3: Больцано- Коши о нулях непрерывной функции
Если функция определена и непрерывна на отрезке 
и на концах его принимает значения противоположных знаков, то существует точка 
на этом отрезке в которой значение функции равно нулю 
.
Теорема4: Больцано- Коши о промежуточных значениях непрерывной функции
Если функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда для любого числа С, заключенного между числами 
и 
, найдется такая точка 
, что 
Если не является непрерывной в точке , то точка 
называется точкой разрыва функции.
Условие непрерывности можно переписать следующим образом: 
(*)
Если хотя бы одно из выражений в равенстве (*) не существует или не выполняется хотя бы одно из равенств, то точка называется точкой разрыва функции.
Точка называется точкой разрыва устранимого режима, если односторонние пределы функции в этой точке существуют и равны между собой, но не равны значению функции в этой точке или функция в этой точке не определена.
У у
0 х0 х 0 х0 х
Точка называется точкой разрыва первого рода (скачок), если односторонние пределы функции в этой точке существуют но не равны между собой.
у 
0 х0 х
Точка 
называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке не существует или равен бесконечности.
у
0 х0 х
Теорема: Если строго монотонна на и произвольная точка этого отрезка, то
верхняя грань совпадает с левым пределом этой функции, не превосходит 
, не
превосходит правого предела и не превосходит правой грани.
Утверждение1: Всякая строго монотонная на промежутке функция имеет односторонние пределы в
каждой точке этого промежутка.
Утверждение2: Если односторонние пределы строго монотонной функции в точке совпадают, то
функция непрерывна в этой точке.
Утверждение3: Если односторонние пределы строго монотонной функции в точке не совпадают, то
это точка разрыва первого рода (скачок).
Дата: 2019-02-02, просмотров: 233.
