Расширенной матрицей системы линейных уравнений называется таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, записанных в строку.

Теорема Кронекера-Капелли: Для того, чтобы матрица линейных уравнений была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы системы.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными.

первое уравнение при оставим без изменения ( если то поставим на первое место уравнение в котором первый коэффициент отличен от нуля), удобнее когда .

Умножим первое уравнение на  и прибавим ко второму. Получим

К третьему уравнению прибавим первое, умноженное на  получим

Эту операцию проделаем со всеми уравнениями, и последнее уравнение будет

Если то с помощью второго уравнения исключаем  в 3,4,…,m уравнениях, умножая его на  и складывая с третьим уравнением. Аналогично со всеми остальными уравнениями.

       Повторяя эту операцию, получим систему линейных уравнений:

 (5)

Процесс этот конечен.

Возможны три случая:

1. Когда на каком то шаге получим уравнение вида , значит, система не совместна, т.е. не имеет решения.
2. В ходе преобразований система сводится к треугольному виду: в первом n неизвестных, во втором n-1, в последнем 1. В этом случае система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим и последовательно все остальные.
3. Система может свестись к трапециидальному виду. В последнем уравнении больше чем 1 неизвестное. Тогда система имеет множество решений.  Тогда неизвестные , которые образуют треугольник будут основными, а - свободные. Члены, содержащие свободные неизвестные переносятся в правую часть, т.е. основные неизвестные выражаются через свободные. Таким образом, получим общее решение системы. Придав свободным неизвестным произвольные числовые значения и найдя основные получим частное решение.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Систему линейных уравнений можно представить в виде матричного уравнения  вида AX=B и, где А и В известные матрицы а X неизвестная.

       Рассмотрим несколько случаев.

1. А- квадратная матрица и det А=0, В- квадратная матрица и ее detВ  то уравнение решений не имеет.
2. А- квадратная матрица и det А 0 в этом случае существует , такая, что , поэтому умножая первое уравнение на слева получим:

Тема 1.3. Лекция 5. Занятие 7.

Тема: Векторы на плоскости и в пространстве. Основные понятия.

Векторы на плоскости

Если началом вектора  является точка А( ), а концом В( ) , то  имеет координаты: =                                                                                    (1)

Над векторами, заданными своими координатами можно производить следующие действия: если и , то                                               (2)

                                                                                       (3)

                                   , где                                         (4) 

Вектор  коллинеарен вектору , если их координаты пропорциональны: .

Расстояние между точками  и равно                (5)                             

Следовательно длина вектора вычисляется по формуле                      (6)

Если отрезок АВ разделен точкой С в отношении АС:СВ=λ. То координаты точки С находятся по формулам:                        ;  ;                                                    (7)

Если λ=1, то получим формулы для середины отрезка: ;                     (8)       

Скалярное произведение векторов, заданными своими координатами в пространстве вычисляется по формуле                                                                                                           (10) 

Косинус угла между векторами находится по формуле: (11)

Условие перпендикулярности двух векторов:  

Векторы в пространстве

Если началом вектора  является точка А( ), а концом В( ) , то  имеет координаты: =                                                                                    (12)

Над векторами, заданными своими координатами можно производить следующие действия: если и , то                                                (13)

                                                                                              (14)

                               , где                                              (15) 

Вектор  коллинеарен вектору , если их координаты пропорциональны: .

Расстояние между точками  и равно (16)                             

Следовательно длина вектора вычисляется по формуле            (17)

Если отрезок АВ разделен точкой С в отношении АС:СВ=λ. То координаты точки С находятся по формулам:                        ;  ;                                 (18)

Если λ=1, то получим формулы для середины отрезка: ; ; (19)   Направляющие косинусы вектора – это косинусы углов, которые он образует с осями координат.

; ; (20)

                                                                                                              (21)  

Скалярное произведение векторов, заданными своими координатами в пространстве вычисляется по формуле                                                                                                   (22) 

Косинус угла между векторами находится по формуле: (23)

Условие перпендикулярности двух векторов:  

Прямая на плоскости.

Способы задания прямой основаны на аксиомах и теоремах школьного курса. Из школьного же курса известно общее уравнение прямой: .                                  

1. Задание прямой проходящей через точку и имеющую данный угловой коэффициент.

Угловым коэффициентом прямой  называется число, равное отношению второй координаты ее направляющего вектора к первой координате

   Замечание: Геометрический смысл углового коэффициента имеет смысл только в

              ортонормированном базисе: ,

1. Задание прямой проходящей через точку и имеющую данный нормальный вектор.

Всякий вектор, перпендикулярный прямой, называется нормальным   вектором прямой.

 Если прямая задана общим уравнением , то за нормальный вектор можно принять .

Дано: : .

1. Задание прямой через точку, принадлежащую этой прямой, и направляющий вектор.

Направляющим вектором  прямой  называется всякий вектор, параллельный этой прямой или лежащий на ней. Если прямая задана общим уравнением , то направляющим вектором является  или .

Дано: ||  каноническое уравнение прямой будет:  

- . (13)

4. Задание прямой проходящей через две различные точки.

Дано: .                                     

Условие перпендикулярности прямых:

Угол между пересекающимися прямыми вычисляется по формуле:  

Условие параллельности прямых: