Различные виды уравнения плоскости

 

       1. Можно доказать утверждение, что если в пространстве задана прямоугольная система координат ОХУZ, то всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными х,у,z  необходимо и достаточно определяет относительно этой системы некоторую плоскость Р. Уравнение это называется общим уравнением плоскости и имеет следующий вид:

 

                                           Ах + Ву + Сz + D= 0                                             (17)

 

(сравните с общим уравнением (15) прямой на плоскости, которое следует из этого при z = 0) и определяет плоскость  Р,  перпендикулярную вектору (А,В,С).

Вектор - нормальный вектор плоскости Р.

      Уравнению (17)  эквивалентны следующие уравнения.

 

      2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М(х0, у0, z0):

 

А(х- х0) + В(у-у0) + С(z-z0) = 0.

 

3. Уравнение плоскости в отрезках

 

                                            ,

 

где ; ; .

 

4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой, записывается в виде определителя

 

                               ,

 

где (х1, y1, z1), (х2, y2, z2), (х3, y3, z3) - координаты заданных точек.

 

     Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами n1 и n2 . Отсюда условие параллельности плоскостей

Р1 и Р2:

                                               

 

и условие перпендикулярности двух плоскостей:

 

                                          А1 А2 + В1 В2 + С1С2 = 0 .

 

Пример 29. Через точку К (1, -3, 2) провести плоскость, параллельную векторам 

 

а = (1, 2, -3)  и b = (2,-1,-1) .

 

Решение. Пусть М (х, у, z) – произвольная точка искомой плоскости. Вектор

КМ = (х - 1, у + 3, z - 2) лежит в этой плоскости, а векторы а и b ей параллельны. Следовательно, векторы КМ, а и b – компланарны. Тогда их смешанное произведение равно нулю:

 

                                             .

 

      Отсюда -(х –1) - (у + 3) – 5(z – 2) = 0 или х+ 7у + 5z + 10 = 0. Это и есть искомое уравнение плоскости.

 

                         Различные виды уравнения прямой в пространстве

 

      Прямую линию в пространстве можно задавать в виде:

      1) линии пересечения двух не совпадающих и не параллельных плоскостей Р1 и Р2 :

                                        ;

 

     2) уравнения прямой, проходящей через данную точку М(х0 , у0, z0) в направлении, задаваемом вектором  L= (m, n, p):

 

                                                ,

 

которое называется каноническим уравнением прямой в пространстве;

 

          3) уравнения прямой, проходящей через две заданные точки М(х1, у1, z1)

 и M(x2, y2, z2):

                                              ;

 

       4) параметрических уравнений:        

                                               .

 

Пример 30. Привести к каноническому и параметрическому видам уравнение прямой

                                                      .

Решение. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Нормальные векторы этих плоскостей n1 = (3,1,-2) и n2 = (4,-7,-1) перпендикулярны к искомой прямой, поэтому их векторное произведение [n1, n2] = L параллельно ей и вектор [n1, n2] (или любой ему коллинеарный) можно принять за направляющий вектор L искомой прямой.                                                        

Находим

            [n1, n2] = .

 

        Примем за L = 3i + j + 5k . Остается найти какую-либо точку на заданной прямой. Положим для этого, например, z = 0. Получим

                                                          .

      Решив эту систему, находим х = 1, у = - 2. Таким образом, точка К (1, -2, 0) принадлежит заданной прямой, а её каноническое уравнение имеет вид

                                                    .

      Параметрические уравнения следуют из канонических, если за параметр t принять каждое из отношений:

                                 ;     .

Откуда                   .

 

Пример 31.  Через точку К (1, 3, -1) провести прямую, перпендикулярную                

                 плоскости 3ху + 2z – 10 = 0.

Решение. Вектор нормали к данной плоскости n = (3, -1, 2). Искомая прямая проходит через точку К и должна быть параллельна вектору n. Поэтому её уравнение можно записать в виде

 

                                             .

 

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Объясните смысл параметров в уравнениях

 

                      ;      .

     2. Напишите уравнения:

          

                                           а) плоскости ХОZ;

      б) осей ОУ, ОХ, ОZ.

    3. Каково взаимное расположение прямой

 

                              

и плоскости 3х + 2у – 5 = 0?

                                  2.3 Поверхности 2-го порядка

 

      Студент должен уметь распознавать указанные в таблице две поверхности 2-го порядка по их каноническим уравнениям, используя при этом метод сечений.

                                                                                                                   Таблица 2                                                                                                                                                                                                                                           

Каноническое уравнение Название Схематический чертеж
Трехосный эллипсоид
Однополостный гиперболоид
Двуполостный гиперболоид
Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид
Конус 2-го порядка

       Следует, также, обратить внимание на цилиндры 2-го порядка

 

                               ;           ;         у2= 2рх

 

и на поверхности вращения 2-го порядка. Например, если в уравнении однополостного гиперболоида

                                             

Положить а = b, то в сечении поверхности плоскостью z = h будут получаться окружности

                                           ,

следовательно, в этом случае поверхность является однополостным гиперболоидом вращения (он получается вращением гиперболы

                                                   вокруг оси ОZ).

 

       Пример 32. Составить уравнение поверхности, образованной вращением линии x2 - pz2 = 4 вокруг оси OZ. Подобрать значение параметра р так, чтобы точка А(1,2,-1) лежала на этой поверхности. Указать название полученной поверхности и сделать её эскиз.

       Решение. Уравнением вращения линии F(x,z) = 0 вокруг оси OZ является уравнение

                                            ,

так как при вращении вокруг оси OZ в уравнении без изменения остается координата  z , а  х  заменяется на  (аналогичный факт имеет место и по отношению к поверхностям, получаемым вращением плоских линий вокруг других координатных осей).

       Таким образом, в рассматриваемом примере получим уравнение

                       или x2 + y2pz2  =  4.

       Найдем параметр р , учитывая требования задачи. Координаты точки А должны удовлетворять найденному уравнению поверхности. Подставляя координаты точки в уравнение, получим 1+ 4 - р = 4 Þр = 1. Тогда искомое уравнение примет вид

x2 + y2 – z2  =  4 или в канонической форме .

       Это уравнение описывает однополостный гиперболоид вращения.

 

       Пример 33. Построить поверхность, определяемую уравнением:

                                 9 x2 + 4 y2+ 36 z2 -18x - 16y +216 z + 313 = 0.

Для выполнения задания необходимо:

а) привести данное уравнение поверхности к каноническому виду;

б) определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат;

с) записать название поверхности и сделать чертеж.

 

Решение. Группируем члены уравнения, содержащие одинаковые переменные:

 

                       (9 x2 - 18 x) + (4 y2 - 16 y) + (36 z2 + 216 z) + 313=0 Þ

 

                         9( x2 - 2 x) + 4( y2 - 4 y) + 36( z2 + 6 z) + 313=0.

 

Выделяем полный квадрат в каждой скобке:

 

          9((x2 - 2x +1) - 1) + 4((y2- 4y+ 4) - 4)+36((z2+ 6z + 9) - 9) + 313 = 0 .

 

     Получим 9((x-1) 2-1) + 4((y-2) 2- 4) + 36((z+3) 2-9) + 313 = 0 Þ

 

                        9(x-1) 2-9 + 4(y-1) 2-16 + 36(z+3) 2-324 + 313=0 Þ

 

                               9(x-1) 2 + 4(y-2) 2 + 36(z+ 3) 2 = 36 .

 

    Разделим обе части уравнения на свободный член и получим каноническое уравнение эллипсоида с центром в точке О1(1,2,-3)

 

                                   .

 

    Для построения этого эллипсоида сделаем в уравнении замену переменных 

x-1= x1, y-2 = y1, z +3 = z1 .

      В новых переменных уравнение эллипсоида примет вид:

 

                                                .

 

Сделаем чертеж. Для этого через центр эллипсоида O1(1,2,-3) проведем оси

O1X1 , O1Y1,  O1Z1 , и в этой системе координат построим эллипсоид     

 

                                 ,   где a = 2 , b = 3 , c = 1 (рис. 7).

 

 

                                                          Рис. 7

 

                                     Вопросы для самопроверки

1. Какие поверхности заданы уравнениями:

 

4x2+9y2+z2 = 36 ;

4x2+9y2-z2 = 36 ;

4x2+9y2-z2= -36 ;

                                                     3x2+4y2 = z2 ;

                                                     3x2- 4y2= z2;

                                                     x2+ y2 = z ;

                                                     x2+ z2= 1;

                                                     x2z2= 0 ;

                                                 y2= 4x .

 

       2. Составить уравнение поверхности, образованной вращением прямой

у = kх  вокруг оси ОХ.

 

       3. Какую поверхность в пространстве описывает алгебрарическое уравнение 2-го порядка, содержащее лишь две переменные?

 

 

                                           Контрольная  работа № 1

  

Вариант 0

 

1. Решить систему линейных уравнений матричным методом и по формулам Крамера.

 

Варианты   Варианты  
10 -5x +4y -3z = 6 -6x - 2y +5z = 9  4x - y - 3z = -8 60 -3x + 4y +5z = -4 -5x +5y +5z = -5      2y - z = 3
20 -2y +3z = -8 3x +y +3z = 1 -x +y +z = -3 70 3x - 4y - 4z = - 6 5x + 3y + z = - 8  4x + 2y - 3z = -3
30 -y - 5z = 2 -5x +y +2z = - 4 -5x +5y +4z = 6 80 3x +4y -z = -8  y - 2z = -8 -3x -y +3z = 8
40 -4x -6y -z = -1 -x -2y -5z = 5 -x +2z = -4 90 -x -3z = 5 3x -2y -z = 3 -x +6y -2z = 9
50 x +4y +z = 7 -3x +2y +z = -1 5x -2y -2z = 5 00 -x -3y = 5 -3x +y +z = -2 -2x +y +3z = 5

 

 

2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение стороны ВС;

3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

4) составить уравнение этой высоты.

 

Варианты 10 20 30 40 50
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (-5, -3) (-7, -9) (-13, -17) (-19, -10) (6, -15) (14, -9) (10, 15) (-14, -13) (-17, -9) (16, 8) (-11, 4) (-15, 1) (19, -1) (-4, -7) (-16, -16)
Варианты 60 70 80 90 00
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (4, -8) (-9, -4) (-13, -7) (-19, -7) (-5, -15) (4, -3) (-6, 6) (-4, 0) (5, -12) (19, -4) (13, 8) (17, 5) (-10, 4) (-18, 5) (-10, -1)

 

 

3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:

1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

2) площадь грани А1А2А3;

3) объем пирамиды А1А2А3А4;

4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;

5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.

 

Варианты 10 20 30 40 50
  (7, 2, -9) (3,-5,-5) (7,-8,-9) (1, 5, -7) (6,-4,-5) (6,-7,-9) (-2, 2,-5) (6, 3, -5) (3, 3, 6) (1, 3, 6) (1,-3, 3) (10,-1,10) (-6, -7, 1) (-3, -5, 7) (1, -1, 7) (-6, -7, 6) (3, 3, -5) (4, 5, -7) (9, 6, -3) (-4, -3, 1)
Варианты 60 70 80 90 00
  (-7, 8, 2) (-1, 5, 4) (-5, 10, 1) (-7, 8, 1) (2, 4, 4) (-4,-3, -2) (5, 2, -2) (-2, -4, 5) (-2, -1,-7) (2,-1,-7) (-2,-1, -6) (-4,-3,-8) (1, 5, -1) (10, 3, 5) (1, 5, -9) (7, 5, -1) (-1, 5, 5) (-3, 6, 3) (-1, 5, 2) (6, 9, 1)

 

4. 1) Составить уравнение поверхности, образованной вращением линии вокруг оси ОZ.

  2) Подобрать значение параметра  p так, чтобы точка  А(x0;y0;z0)  лежала на поверхности.

  3) Сделать схематический чертёж.

 

 Варианты                      Данные   задачи
  Уравнение линии в плоскости х = 0 А(x0;y0;z0)
10 рy2 = z   (1, 0,-1)
20 рy2 + 2z2 = 2 (1,-1, 0)
30 y2 = рz2 (1, 3, 2)
40 y2 + рz2 = 6р (1, 2, -1)
50 рy2 + z2 = 6 (1,-1, 2)
60 y2 = z2 + р (4, 3, 5)
70 рy2 = рz + 4 (1,-2, 1)
80 рy2 + z2 = 4р  (2, 1,-2)
90 рy2 + z2 = 4 (0, 1, 1)
00 y2 + z2 = 6р (2, -1, 1)

 

 

Вариант 1

 

1. Решить систему линейных уравнений матричным методом и по формулам Крамера

 

Варианты   Варианты  
01 3x + 4y - 2z =  1 x + 5y + z = 0  2x + 4y + 3z = 8    51 2x - 5y + z = 1 4x + 2y - 3z = 1 x - y + z = 2        
11 3x + 2y + z = 1 2x - 3y + 2z = 9  x - 8y - 5z = -7   61 3x + 3y - 2z = 4 5x - 7y + 4z = 0  x + 2y - z = 3   
21 2x - y - z = 0       2x + 4y - z = 15  3x - z = 5   71 x + 2y - 2z = 3 5x + 4y - 3z = 4 3x + y - 4z = 7   
31  x + 2y - 3z = -3  2x - 3y + z = - 13  3x + y + 2z = 4    81 5x - y + 8z = 7 2x + 2y - 3z = 9 x + 3y + 2z = 1   
41   x - 2y + 2z = -14  2x - y + z = -4  4x + y + 2z = 7    91 2x - 3y - 4z = -1  x + y + 5z = 0  3x + 2y + 4z = 8   

 

 

2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение стороны ВС;

3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

4) составить уравнение этой высоты.

 

Варианты 01 11 21 31 41
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (-4. 3) (-10, 6) (2, -10) (-16, 13) (14, 3) (20, 11) (10, 11) (-6, 14) (-2, 17) (4, 9) (-9,-2) (-18, 10) (8,-5) (-7,-10) (9, 2)
Варианты 51 61 71 81 91
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (-10, 20) (-5,-5) (-15, 19) (17,-19) (9, 15) (-15, 19) (10,-6) (-3,-6) (7, 18) (10,-16) (1,-18) (-11,-9) (11,-15) (-3, 8) (1, 5)

 

3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:

1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

2) площадь грани А1А2А3;

3) объем пирамиды А1А2А3А4;

4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;

5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.

 

Варианты 01 11 21 31 41
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (3, 1,-3) (3,-6,-3) (9,-6,-9) (2,-3, 5) (-2,-4,-7) (-6,-8,-9) (-2, 1,-7) (-2,-8,-4) (-1, 4,-4) (-4, 4,-8) (-9, 8,-3) (-5, 5, 4) (4,-7, 8) (8,-3, 10) (2,-3, 4) (-2, 1, 8) (-1,-3,-1) (1,-6,-7) (7,-9,-1) (1, 3, 8)
Варианты 51 61 71 81 91
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (5, 3, 1) (5, 3,-4) (-1,-6,-1) (-4, 1, 7) (-2,-10,-1) (-1,-8, 1) (-6,-3, 3) (-5,-4, 1) (2,-5,-7 ) (-4,-3, 2) (-2,-1,-9) (-6, 1,-7) (8, 3,-5) (6, 7,-1) (8, 3,-10) (2,-3,-2) (-1, 8, 3) (1, 8, 3) (-1, 4, 6) (1,-1,-3)

 

 

4. Построить поверхность, определяемую заданным уравнением

 

Вариант Уравнение поверхности
01 x2+2x +2y2 +4y -z2 = 0
11 x2 –4x + 4y2 –8y + z2 = 0
21 0,5x2 +0,25y2 –2z +2 = 0
31 x2–2x+y2–4y +z2–6z = 0
41 x2–6x +y2–2y–z2 –4z = 0
51 x2 + y2 –2х – 4y = 0
61 x2 – 4x – y2 – 2y = 0
71 x2 – 4x + 2z = 0
81 x2 -3x -y2 + 4y -2z2 = 0
91 x2 – 4x +y2 – 2y – z = 0

 

 

 

Вариант 2

                                 

1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

 

Варианты   Варианты  
02 3x + 2z + u = –5 –4x–3y +5z–2u =–1 –2x–4y+6z+u = 4 –x–3y+ 7z – u =–6 52 x–3y + 4z +2u = –3 –y –5z –3u = 5 2x +2y –z +u = –2 2x +y –6z –2u = 4
12 2y +3z –u = 9 –2x –6y +z +2u =–2 –2x –5y –3z +u =–8 –2x –4y +4z +u = 8 62 –2x +4y +4z +u =–4 5x –5y –3z +u = –3  3y +3z +u = –2 –2x +7y+7z+4u =–6
22 –x +3y +2z+3u = –7 –4x +6y –6z –2u =8 –2x +5y –u = 3 –6x+11y–6z–3u=11 72 6x –3y –6z –3u = 6 –3x –4y +6z –u = 6 6x +4y –4z +2u = 4 3x +2z + u = 9
32 4x +4y –z –2u = 5  –3y +3z –u = 5 –2x –y –z –u = –7 4x +y +2z –3u = 11 82 –5x+2y +4z+3u =–3 –3x –4y +6z –u = 6 4x –5y –3z –3u = 5 x –9y +2z –5u = 6
42 6x +y –z +u = –8 5x +4y +z –3u = 4 –x –2y +4z +2u = 5 11x +5y –2u = –4 92 4x –2y +z +2u = –7 –3x –5y –z –2u =–9 y –6z +3u = 6 –3x –2y–7z +u = –2

 

 

2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение стороны ВС;

3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

4) составить уравнение этой высоты.

 

Варианты 02 12 22 32 42
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (20, -7) (-19, 15) (-7,-1) (0, 4) (7,-10) (15,-16) (-12, 19) (3, 3) (15,-2) (-18, 8) (12, 8) (16, 11) (17, 18) (8, 11) (-7,-9)
Варианты 52 62 72 82 92
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (-14, 1) (-7,-10) (-3,-7) (14,-9) (-10,-12) (0, 12) (-18, 20) (0, 9) (-12,-7) (14, 3) (15, -2) (-9,-12) (-4,-9) (15,-12) (12,-16)

 

3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:

1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

2) площадь грани А1А2А3;

3) объем пирамиды А1А2А3А4;

4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;

5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.

 

Варианты 02 12 22 32 42
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (2,-5, 2) (-4,-3,-7) (-2, 2, 6) (4, 1, 5) (2,-3, 2) (-2,-3, 5) (8,-1, 5) (-5,-9,-4) (4, 4,-7) (4,-2, 1) (10,1,-5) (4,-7,-7) (-4, 5,-7) (2, 5, 1) (-4, 9,-7) (-5, 3,-9) (-1, 8,-9) (8, 2,-7) (8, 8,-9) (-1, 7,-9)
Варианты 52 62 72 82 92
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (-3, 4, 2) (5, 3, 6) (3, 10, 9) (5, 3,-2) (5, 5, 2) (3, 5, 2) (6, 1, 10) (5, 5,-7) (-3,10,-2) (-5, 8,-1) (5, 9,-6) (3, 3, 4) (5, 4, 1) (6, 4, 1) (5, 4, 4) (3, 7, 7) (1,-4, 3) (2,-4, 3) (8, 2, 9) (1,-4, 7)

 

 

4. 1) Составить уравнение поверхности, образованной вращением линии вокруг оси ОХ.

2) Подобрать значение параметра p так, чтобы точка  А(x0;y0;z0) лежала на поверхности.

3) Сделать схематический чертёж.

 

Варианты                      Данные   задачи
  Уравнение линии в плоскости y = 0 А(x0;y0;z0)
02 px –2 = z2 (2;-2; 2)
12 x + p = z2 (1; 3; 2)
22 px2 =  z2 (1; 0; -1)
32 px = z2 (2; -2; 2)
42 px2 = z2 – 4 (2; -5; 1)
52 5x2 + pz2 = 10 (2; 3; 3)
62 p – x2 = z2 (2; 1; 1)
72 px2 + z2 = 4 (0; 1; 1)
82 px2 + z2 = 0 (1;-2; 1)
92 px + 4 = z2 (1;-1; 2)

 

 

Вариант 3

 

1. Решить систему линейных уравнений матричным методом и по формулам Крамера

 

Варианты   Варианты  
03 x +2y –2z = –1 –3x +2y +4z = –9 3x –4y –z = 7 53 –3x –2y +3z = –5 –3x +2y – z = –9 5x –3y –3z = 6
13 2x +y +4z = 5 –3x –y +2z = 2 –x – 4z = –3 63 6x +3y = 9 5x +2y +2z = 9 –5x +4y –5z = –6
23 –5x –3y +6z = –2 5x +3y –4z = 4 –6x –2y +3z = –5 73 3x –6y –3z = 9 4x +5y –3z = –3 –x –4y +6z = –7
33 –x +4y +z = –8 4x –4y +3z = 1 –2x +5y –3z = –5 83 4x +3y –4z = 1 –6x –3y +3z = –6  –y –z = 0
43 5x +2y +4z = 8 5x +y +3z = 7 3x –2y –2z = 4 93 5x + y = 6 5x +3y +3z = –1 –x –4y –4z = 7

 

 

2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение стороны ВС;

3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

4) составить уравнение этой высоты.

 

Варианты 03 13 23 33 43
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (-11, 0) (4, 0) (-5, 12) (4, -16) (-14,-17) (-19,-5) (8, 4) (-2, 14) (2,17) (12, 17) (9, 1) (13, 4) (18, 17) (-5, 16) (-13, 10)
Варианты 53 63 73 83 93
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (3, -2) (0, 20) (15, 12) (-3,-2) (19, 18) (3,-12) (7, 2) (2, 7) (14, 16) (-5, 2) (1,-20) (-19,-5) (16, 13) (20,-20) (-4,-2)

 

3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:

1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

2) площадь грани А1А2А3;

3) объем пирамиды А1А2А3А4;

4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;

5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.

 

Варианты 03 13 23 33 43
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (2, -1, 2) (8,-8,-4) (-1,-7,4) (8,-7,-5) (-5, 2, 1) (-1, 3,-7) (-9,-6, 2) (-7, 5,-5) (-6, 8, 2) (-2, 6,-2) (-6, 4,-1) (-4, 8, 2) (-3,-2,-3) (5,-6,-4) (-7, 2, 4) (-9, 1,-5) (8, 3, 3) (6,-3, 6) (2, 9,-4) (4,-5, 2)
Варианты 53 63 73 83 93
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (-4, 3,-1) (-6, 4,-3) (-4, 3,9) (-4, 7,-1) (3,-1,2) (7, 6, 6) (1, 3, 6) (4,-5,-6) (-2, 3, 3) (-1, 5, 1) (-8, 5, 6) (-8, 6, 5) (-1,-1,-3) (-6,-1,-3) (3,-9,-4) (2, 5,-1) (-5,-5, 1) (-5,-5, 9) (-7,-9, 5) (2, 1,-5)

 

 

4. Построить поверхность, определяемую заданным уравнением

 

Варианты Уравнение поверхности
03 x2 +2x +y2 –2y –2z = 2
13 4x2 –8x –9y2 –36y –72z2 = –184
23 x2 -6x + 4y2 +16y + 9 = 0
33 x2 + y2 –2z = 1
43 x +y2 = 4
53 x2 -4x +y2 +2y = z  
63 4x2 –4x –9y2 –6y = z
73 x2+6x+2y2–18y–8z = –49
83 6y +4z +20 = z2 
93 y2 +z2 + 2z = 0

 

 

Вариант 4

 

1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

 

Варианты   Варианты  
04 2x -y + 3z -2u = 1 x - z + 2u = 6 x + y - z + u = 4 3x - y + z - u = 0 54 4x +2y +3z +2u = 5 3x +3y +5z -u = 3 -5x -6y -6z-u = -9 -2x-3y -z -2u = -6
14 3x + 2z + u = –5 –4x–3y +5z–2u =–1 –2x–4y+6z+u = 4 –x–3y+ 7z – u =–6 64 4x +4y –z –2u = 5  –3y +3z –u = 5 –2x –y –z –u = –7 4x +y +2z –3u = 11
24 –x +3y +2z+3u = –7 –4x +6y –6z –2u =8 –2x +5y –u = 3 –6x+11y–6z–3u=11 74 -4x+5z +2u = 9 -4x -y –4z -2u =-8 -x +3y -5z +u = -6 -4x -5y +z   = 1 
34 2y +3z –u = 9 –2x –6y +z +2u =–2 –2x –5y –3z +u =–8 –2x –4y +4z +u = 8 84 x–3y + 4z +2u = –3 –y –5z –3u = 5 2x +2y –z +u = –2 2x +y –6z –2u = 4
44 -4x-2y-5z +u = -3 -2x +6y +4z +u = 0 4x -y +6z -2u = -3  -3y +z -u = -6 94 x +y -4z +2u = 7 2x -6y +2u = -8 -x -5y -5z +u = -9  

 

 

2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение стороны ВС;

3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

4) составить уравнение этой высоты.

 

Варианты 04 14 24 34 44
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (-17,-9) (-3,-6) (3,-14) (12,-13) (-13, 12) (-19, 20) (-3, 11) (11, 8) (-7,-16) (0,11) (13, 12) (10, 16) (-7, 6) (20,-3) (14,-11)
Варианты 54 64 74 84 94
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (5, 12) (-5,-8) (7, 1) (15,-19) (17, 20) (-19,-7) (19, 1) (-17, 3) (19,-12) (6,-16) (4, 13) (0, 16) (1, 4) (14,-9) (19, 3)

 

3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:

1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

2) площадь грани А1А2А3;

3) объем пирамиды А1А2А3А4;

4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;

5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.

 

Варианты 04 14 24 34 44
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (-2,-1,2) (1,-7, 4) (-2, 2, 6) (-4, 8, 8) (-3,-6,-5) (-9,-9, 1) (5,-2,-6) (-5,-8,-4) (-3,-7,-6) (3,-5, 3) (-1,-1,-3) (-9,-5,-9) (2,-7,-3) (8,-7, 5) (-4,-10,-9) (-6,-7, 3) (-4, 1,-2) (-4,-3,-2) (-7, 3, 4) (-5, 1,-2)
Варианты 54 64 74 84 94
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (2, 1,-8) (1, 1,-8) (4,-2,-2) (8,-1,-5) (2, 1,-5) (2, 5,-5) (-2, 5, 2) (-4,-1,-2) (-4,-6,-3) (2,-9,-9) (-2,-4,-2) (-1,-4,-9) (9,-1,-5) (6, 5, 1) (5,-4,-5) (7, 3,-9) (-4,-5, 4) (-4,-5,-8) (-5,-7, 2) (5,-7, -2)

 

4. 1) Составить уравнение поверхности, образованной вращением линии вокруг оси ОZ.

2) Подобрать значение параметра p так, чтобы точка А(x0;y0;z0) лежала на поверхности.

3) Сделать схематический чертёж.

 

Варианты                 Данные  задачи
  Уравнение линии в плоскости Х = 0 А(x0;y0;z0)
04 y 2 - 2 = z 2 (3; -2; 3)
14 рy 2 + z2 = 4 (1; 2; 1)
24 у 2 + 2 = pz 2 (1; 0; 1)
34 рy 2 = z 2 (2; 2; -2)
44 p + y 2 = z 2 (-1; 1; 2)
54 5y 2 + pz 2 = 10 (-1; 1; -1)
64 у 2 + z 2 = p (-2; 1; 1)
74 рy 2 + z 2 = 4 (-1; 1; 0)
84 рy 2 = z 2 (3; 2; 3)
94 рy 2 +4 = z 2 (-5; 2; 1)

 

Вариант 5

 

1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

 

Варианты   Варианты  
05 -x -5y +2u = -4 4x +y -3z -u = -2 x +4y +4z +u = 0  -y +4z +3u = -4 55 -3x -5y -z -3u = 8 -5x +y -4z -u = 5 -4x +y -4z -u = 4 -7x-4y-5z-4u = 12
15 5y -z +3u = 9 -x -y -4z +u = 6 2x -2y -2z -2u = 0 -x+4y-5z+4u =-15 65 3x +y +u = -9 x +3y -z +2u = -3 x +3y -z +2u = -3 4x +4y-z +3u = -12
25 4x -4y -z +u = -4 -3x+2y-3z+2u =-9 -5x +2y +2u = -1 x-2y -4z +3u = -13 75 2x -z +2u = -9 -3x+4y+6z+2u =-5 -2x +4y +4z -u = 0 -5x+8y+10z+u =-5
35 -3x -y +z +2u = 7 -4x -3y -3z-u = -8 -3x-2y +2z -2u = 2 -7x-4y-2z +u = -1 85 2x +y -2z -u = 0 -2x -3y +2 u = -1 -3x-2y+2z +u = -2  -2y -2z +u = -1
45 4x -2y +4z -u = 0 x +3y +4z +2u = -2 -x +5y +z -2u = 6 5x +y +8z +u = -2 95 -3x+3y-2z+2u =-3 -x -2y +4z -2u = 6 2x +3y -5z -u = -7 x +y -z -3u = -1

 

 

2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение стороны ВС;

3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

4) составить уравнение этой высоты.

 

Варианты 05 15 25 35 45
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (19, 7) (16, 18) (10, 10) (13,-3) (-10, 8) (2, 13) (1,-2) (3,-18) (-9,-13) (-15, 11) (-18,-11) (12, 5) (19,-4) (-6,-19) (-9,-15)
Варианты 55 65 75 85 95
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (-11, 3) (15, 10) (-5, -5) (-2, -19) (2, -7) (-6, -1) (-18, 17) (5, 16) (-10,-4) (17, 0) (-2,-18) (-11,-6) (-14, 4) (-15, 7) (-3, 16)

 

 

3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:

1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

2) площадь грани А1А2А3;

3) объем пирамиды А1А2А3А4;

4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;

5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.

 

Варианты 05 15 25 35 45
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (9,-3,3) (2,3,9) (-2,-3,3) (7,-7,7) (2,-5,1) (-4,-3,10) (2,-5,-5) (-4,-8,-1) (3,5,-5) (7,-3,-6) (-3, 8, 1) (9,-1,-2) (-5, 5, 4) (-5, 5,-4) (-7, 9, 8) (-3,-4,-2) (8,-4, 3) (8,-7, 3) (8,-4, 6) (5, 2,-3)
Варианты 55 65 75 85 95
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (-2,-2,-2) (-3,-4,-4) (-2,-6,-2) (-2,-6,-5) (-5,-3,-1) (2, 1, 3) (-6, 1, 7) (-4,-7, 7) (1, 2, 6) (-5,-4, 3) (-1, 4, 7) (9, 6, 7) (-1,-5, 9) (1,-9, 5) (-7,-8, 3) (1,-4, 7) (-7, 4,-7) (-7, 4,-1) (-3,-4,-6) (-1,-2,-4)

 

 

4. Построить поверхность, определяемую заданным уравнением

 

Вариант Уравнение поверхности
05 -4x +y2 -6y + 17 = 0
15 у 2 - 2y + z2 = 0
25 x2-6x+4y2+9z2+36z= 99
35 16x2+3y2 +16z2 -48 = 0
45 2x2 +y2 +4y +2z2 = 4x-4z-7
55 x2 -9y2 -3z2 = 0
65 х2 +4y2 -2z2 = 0
75 x2+2x+2y2+4y+4z2+1= 0
85 x2 +y2 +2z2 -2 -4z = 0
95 9x2-18x+16y2+64y+36z2-216z +253= 0

 

Вариант 6

 

1. Решить систему линейных уравнений матричным методом и по формулам Крамера

 

Варианты   Варианты  
06 x -4y +z = 4 -3x + z = 8 -6x -y -4z = 5 56 5x -5y +3z = -9 5x +3y   = 8 x -4y -3z = 6
16 3y +3z = -6 5x -5y -z = -4 2x -y +5z = -8 66 -2x +4y +z = -5 -2x -6y -z = -3 3x -3y +z = -7
26 x -2y +2z = -1 x -y -z = 1 -2x -4y -3z = 9 76 -3x +6y -5z = -5 -4x -5y +z = -9 -4x -2z = -8
36 -6x +3y -5z = 8 -5x -3y +z = 6 -5x -2y -5z = -4 86 -2x +4y -2z = -4 4x +3y -3z = 4 -x +2y -6z = 3
46 4x +5y -z = 4 x -y +2z = 1 5x +5y +4z = 1 96 y +5z =-7 -4x -5y +3z = -5 -6x -5y -5z = -3

 

2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение стороны ВС;

3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

4) составить уравнение этой высоты.

 

Варианты 06 16 26 36 46
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (-2,-10) (3, 10) (0, 6) (3,-6) (-8,-4) (10, 20) (9,-2) (-1,-17) (-6,-5) (13, 8) (19, 5) (15, 2) (-7, 5) (8,-11) (13, 1)
Варианты 56 66 76 86 96
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (-6,-19) (-7,-17) (11, 7) (-16,-7) (7,-16) (-5, 0) (7, 9) (2, -6) (-4,-14) (5,-18) (10,-13) (-2,-4) (6,-3) (15,-1) (6,-13)

 

 

3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:

1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

2) площадь грани А1А2А3;

3) объем пирамиды А1А2А3А4;

4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;

5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.

 

Варианты 06 16 26 36 46
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (3, 5, 5) (3, 5, 10) (9,-4, 3) (-7, 5, 5) (-4,-2,-5) (-6,-1,-3) (-4,-5,-1) (-6, 4,-2) (3, 3,-7) (5, 9, 2) (-3,5,-4) (9,9,-10) (-5, 4,-7) (-3,-5,-1) (3,-4,-3) (1, 7,-1) (-3,-1,-5) (-1,-7,-8) (-7, 7, 3) (-4,-3,-3)
Варианты 56 66 76 86 96
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (-8, 9,-5) (-2, 3, 2) (-4, 9,-2) (-8, 6,-9) (-2,-5,-5) (1,-9,-5) (-2, 7,-5) (4, 1,-2) (-1, 3,-8) (-7, 5, 1) (-3, 2,-6) (-3, 6,-2) (-7,-6,-7) (5,-6,-7) (-7,-9,-7) (-3,-6,-4) (3,-6,-6) (7, 2, 2) (5,-10,-2) (-3,-8,-3)

 

 

4. 1) Составить уравнение поверхности, образованной вращением линии вокруг      оси ОУ.

2) Подобрать значение параметра p так, чтобы точка  А(x0;y0;z0)  лежала на поверхности.

3) Сделать схематический чертёж.

 

Варианты              Данные задачи
  Уравнение линии в плоскости х = 0 А(x0;y0;z0)
06  у = рz2 (-1; 5; 2)
16 2y2 + рz2 = 2 (1; 0; -1)
26 рy2 + р = z2 (2; 3; 1)
36 y2 + рz2 = 6р (1; -1; 2)
46 y2 + рz2 = 6 (2; -1; 2)
56 y2 + р = z2 (4; 5; 3)
66 рy +4 = рz2 (1; 1; 2)
76 y2 + рz2 = 4р (2; -2; 1)
86 y2 + рz2 = 4 (-2; 1 –1)
96 y2 + z2 = 6р (2; 1; -1)

 

Вариант 7

 

1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

 

Варианты   Варианты  
07 4x -2y +4z -u = 0 x +3y +4z +2u = -2 -x +5y +z -2u = 6 5x +y +8z +u = -2 57 2x +y -2z -u = 0 -2x -3y +2 u = -1 -3x-2y+2z +u = -2  -2y -2z +u = -1
17 x +y -4z +2u = 7 2x -6y +2u = -8 -x -5y -5z +u = -9   67 -3x+3y-2z+2u =-3 -x -2y +4z -2u = 6 2x +3y -5z -u = -7 x +y -z -3u = -1
27 -3x+3y-2z+2u =-3 -x -2y +4z -2u = 6 2x +3y -5z -u = -7 x +y -z -3u = -1 77 4x -4y -z +u = -4 -3x+2y-3z+2u =-9 -5x +2y +2u = -1 x-2y -4z +3u = -13
37 -4x+5z +2u = 9 -4x -y –4z -2u =-8 -x +3y -5z +u = -6 -4x -5y +z   = 1  87 4x +2y +3z +2u = 5 3x +3y +5z -u = 3 -5x -6y -6z-u = -9 -2x-3y -z -2u = -6
47 -3x -y +z +2u = 7 -4x -3y -3z-u = -8 -3x-2y +2z -2u = 2 -7x-4y-2z +u = -1  97 2x -z +2u = -9 -3x+4y+6z+2u =-5 -2x +4y +4z -u = 0 -5x+8y+10z+u =-5

 

 

2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение стороны ВС;

3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

4) составить уравнение этой высоты.

 

Варианты 07 17 27 37 47
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (-8, 9) (-15, 0) (-12,-4) (3, 10) (-15, 1) (5,-14) (-18,-15) (-7,-17) (14, 11) (-12,-9) (-2,-9) (-5.-5) (-12, 5) (14, 7) (5, 19)
Варианты 57 67 77 87 97
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (9,-3) (1, 9) (13, 4) (14,-4) (-11,-12) (-6, 0) (5,-16) (-9,-13) (-1, -19) (3,-20) (-7, 5) (-10, 9) (4,-9) (-6, 11) (0, 3)

 

 

3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:

1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

2) площадь грани А1А2А3;

3) объем пирамиды А1А2А3А4;

4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;

5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.

 

Варианты 07 17 27 37 47
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (3; 2; 2) (3; 5;-2) (2;-6; 6) (9; 8; 5) (2; 8; 4) (-2; 4; 6) (8; 5;-2) (2; 8;-7) (-1;-7; 3) (3;-5;-1) (1;-10; 9) (5; 2; 1) (6; 7; 10) (8; 10; 7) (7; 6;-1) (-3; 4; 5) (-2;-4; 6) (4;-6;-3) (2;-6; 2) (2;-5;-2)
Варианты 57 67 77 87 97
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (-7; 3;-10) (2; 5;-4) (-4; 9;-8) (-3;-1;-3) (-4;-3;-1) (-3; 1;-9) (-4;-3; 9) (-6;-2; 1) (-7; 2;-1) (1;-6;-5) (-1; 9; 5) (-7; 2;-5) (4;-2; 2) (8;-2; 2) (-2;-9; 8) (4; 4; 2) (3;-4; 2) (7;-2;-2) (5;-5; 4) (-3; 2; 5)

 

 

4. Построить поверхность, определяемую заданным уравнением

 

Варианты    Уравнение поверхности
07 x2 -2x +2y2 -8y +3z2 +6z =10
17 x2 -8x + y2 + 10y +z2 -12z -4 = 0
27 8x2 - 4y2 +2z2 - 48 = 0
37 3x2 +24x -4y2 -8y +6z2 -36z + 122 = 0
47 -x2 -4x +2y2 +4y +3z2 -24z +52 = 0
57 2x2 -12x +2y2 -10y +2z2 +8z +1 = 0
67 x2 -2x +y2 -4y +z2 -4 = 0
77 4x2 +16x -9y2-54y +36z2 -72z -65 = 0
87 2x2-12x -6y2-24y +3z2 -24z +30 = 0
97 x2+8x-6y2+12y +3z2 +1 = 0

 

 

Вариант 8

 

1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

 

Варианты   Варианты  
08 x -y +3z +2u = 9 -x +5y -z +2u = 7 x -4y -3z +3u = -8   58 -4x+5z +2u = 9 -4x -y –4z -2u =-8 -x +3y -5z +u = -6 -4x -5y +z   = 1
18 -6x +3y +3u = 3 -5x+2y+4z-3u =-8 5x -y -2z -2u = -2 -11x +5y +4z = -2 68 5x -2y +3z -u = 8 4x + 2z -u = 9 -x +5y -5z -u = 2  
28 2x +2y -3z +u = 3 -x -4y -5z -u = 7 x +4y -u = 9 -5z -2u = 16 78 4x +2y +3z +2u = 5 3x +3y +5z -u = 3 -5x -6y -6z-u = -9 -2x-3y -z -2u = -6
38 x +y -4z +2u = 7 2x -6y +2u = -8 -x -5y -5z +u = -9   88 -5x -y -3z -u = 7 -2x +5y -2z +u = 1  y -3z -u = 0  
48 4x -4y -3z -3u =-7 -2x+2y-4z -u = -8 -5x+2y-2z-2u =-6 2x-2y-7z-4u = -15 98 -4x-2y-5z +u = -3 -2x +6y +4z +u = 0 4x -y +6z -2u = -3  -3y +z -u = -6

 

 

2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение стороны ВС;

3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

4) составить уравнение этой высоты.

 

Варианты 08 18 28 38 48
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (6, 12) (-16,-19) (8, 13) (-17, 13) (-1, 20) (14, 0) (18, 2) (-4, 3) (-16,-6) (7, -9) (-5, 0) (10, 20) (16, 1) (-18, -2) (-15,-6)
Варианты 58 68 78 88 98
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (-13, 6) (-16, 7) (-7, 19) (19, 3) (-13, -1) (-1,-17) (19, -13) (-9, 4) (12,-16) (-1, 13) (-3,-12) (-18,-4) (-1, 7) (-9, 16) (18,-20)

 

 

3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:

1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

2) площадь грани А1А2А3;

3) объем пирамиды А1А2А3А4;

4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;

5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.

 

Варианты 08 18 28 38 48
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (3, 2, 3) (1,-4,-6) (1, 6, 7) (9,-4,10) (5, 5, 2) (5, 8, 2) (7, 1,-2) (7,-1,-1) (-5,-2,-5) (2,-8, 1) (4,-2,-5) (-5, 4,-5) (-1,-4, 5) (2,-4, 9) (-1,-4, 9) (-1, 2, 5) (-9,-2,-5) (-2, 2,-9) (-8,-2,-5) (-9,-2, 6)
Варианты 58 68 78 88 98
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (-4,-7,-2) (-2,-1, 7) (-4,-7,-8) (-10,-9, 7) (-3, 3, 5) (3, 9, 2) (3,-6, 7) (-1, 6,-1) (3,-8, 7) (3,-8,-3) (5,-6, 6) (-3,-2, 4) (5,-5,-1) (4, 3,-5) (3,-5,-1) (-1,-3,8) (-2,-8,-3) (-6,-1,-7) (-2,-8,-2) (4,-6, 6)

 

 

4. 1) Составить уравнение поверхности, образованной вращением линии вокруг оси ОУ.

2) Подобрать значение параметра p так, чтобы точка А(x0;y0;z0) лежала на поверхности.

3) Сделать схематический чертёж.

 

Варианты              Данные задачи
  Уравнение линии в плоскости х = 0 А(x0;y0;z0)
08 у + 1 = pz2 (1; 1; 2)
18 2y2 + pz2 = 2 (1; 0;-1)
28 py2 + p = z2 (-1; 5; 2)
38 y2 + pz2 = 6p (1;-1; 2)
48 y2 + pz2 = 6 (-2; 1; -1)
58 y2 + p = z2 (4; 5; 3)
68 py + 4 = pz2 (2; 3; 1)
78 y2 + pz2 = 4p (2;-2; 1)
88 y2 + pz2 = 4 (2;-1; -2)
98 y2 + z2 = 6p (2; 1;-1)

 

Вариант 9

 

1. Решить систему линейных уравнений матричным методом и по формулам Крамера

 

Варианты   Варианты  
09 -y -3z = 7 x +6y +z = -8 -4x +6y -z = -1 59 2x       + z = 1 5x +5y +6z = 4 -5x +y -z = -3
19 5x -y   = 9 2x -3y +z = -1 -4x +2y +z = -8 69 6x +2y +2z = 4 -2x +5y -5z = 6 -5x -y -5z = 6
29 -5x +2y +4z = -3 4x +6y      = 8  x +6y +5z = -4 79 4x +4y +6z = -6 6x +3y -5z = 8 2x -3y -4z = 9
39 -x +3y +2z = -3  -3y -2z = 2 -x -6y -3z = 5 89 -5x +y -6z = 1  5y -2z = 8 6x -3y +3z = -9
49 -x +5y +z = -1 2x -6y +3z = 8 -3x +2y -5z = -6 99 -x -5y -2z = -4  x - 6y -3z = -2 -5x -3y -2z = -6

 

 

2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение стороны ВС;

3) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

4) составить уравнение этой высоты.

 

Варианты 09 19 29 39 49
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (14, -14) (11, 7) (14, 11) (14, 17) (-3, 1) (9, 17) (-14,-6) (9,-12) (6,-16) (-18,-11) (-4, 7) (-16, -2) (-11,-14) (17, 15) (2, -5)
Варианты 59 69 79 89 99
А(x1;y1;) В(x2;y2;) С(x3;y3;) (12,-19) (14,-8) (18,-11) (5, 14) (-3, -5) (-7, -2) (6, 5) (-8, 2) (-14, 10) (-6, 0) (-12,-2) (12, 16) (12, 5) (4, -4) (-8, 5)

 

3. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти:

1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

2) площадь грани А1А2А3;

3) объем пирамиды А1А2А3А4;

4) уравнение плоскости основания пирамиды А2А3А4;

5) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А1.

 

Варианты 09 19 29 39 49
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (-5; 4;2) (4;2;8) (-3;7;8) (3;5;-2) (-3;-1;7) (-5;-5;3) (-3;-7;7) (1;3;5) (10;-5;2) (4;2;-4) (2;-6;6) (6;-9;9) (-5;6;-7) (1;4;-4) (1; 6; 1) (1; 3;-5) (-7;-7; 1) (-7;-4;-3) (-3;-8;-7) (-10;-1;7)
Варианты 59 69 79 89 99
А1(x1;y1;z1) А2(x2;y2;z2) А3(x3;y3;z3) А4(x4;y4;z4) (3; 1;-5) (3;1;-10) (5;-8; 1) (1; 4; 1) (6;-1; 5) (3;-7; -1) (-2;-5; 4) (6;-3; 5) (-3;-4;-1) (-6;-10;1) (-6;-4;-5) (1;-6; 3) (-1; 1;-3) (-2; 5; 5) (-5;-3;-1) (-3; 4;-9) (-6; 2;-3) (3; 2;-3) (-5;10;-7) (-4; 3;-5)

 

 

4. 1) Составить уравнение поверхности, образованной вращением линии вокруг оси ОZ.

2) Подобрать значение параметра p так, чтобы точка А(x0;y0;z0) лежала на поверхности.

3) Сделать схематический чертёж.

 

Варианты              Данные задачи
  Уравнение линии в плоскости у = 0 А(x0;y0;z0)
09 x2 = pz - 2 (-1; 1;-1)
19 x2 = z + p (1; 1;-2)
29 x2 = pz2 (0; 1;-1)
39 x2 = pz (1; 2;-5)
49 x2 - pz2 = 4 (3;-2; 3)
59 px2 + 5z2 = 10 (1; 2; 1)
69 x2 = p - z2 (1; 0; 1)
79 x2 + pz2 = 4p (-2; 2;2)
89 x2 + pz2 = 0 (2; 1;-1)
99 x2 = pz + 4 (3; 2; 3)

 

 

Учебно-методическое пособие

по курсу

 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

 

Часть 1

 

Дата: 2018-11-18, просмотров: 20.