Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

 

       Для двух векторов а и b определены операции скалярного и векторного произведения, а для трех векторов a, b и с – операция смешанного произведения, которые обладают рядом свойств.

    

                                              Скалярным произведением двух векторов a и b называется число (a, b ), равное произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла a между ними

 

                               (a,b)= |a||b|cos (a,b) = |a||b| cos a = |a|прb а.                     (10)

 

Если векторы a и b определены своими декартовыми координатами

а = ( x a, y a, z a ) ; b = ( x b, y b, z b), то их скалярное произведение будет равно

                            (a,b) = x a x b + y a y b + z a z b .                                      (11)

 

 

                      Алгебраические свойства скалярного произведения

 

1. (a, b) = (b,a) .

2. ( la, b) = l(a, b). 

3. (a+ b,с) = (a, с) +(b,с).

        4. (a,а) ³ 0 для любого а.

 

 

                      Геометрические свойства скалярного произведения

 

       1. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов

a и b является равенство нулю их скалярного произведения: (a, b) = 0.

       2. Угол a  векторами a и b определяется соотношением

 

                  cosa = .                    (12)    

 

      3. Два вектора a и b составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).

 

     Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с, обозначаемый с = [a ,b], длина которого равна произведению длин векторов a и b, умноженному на синус угла a между ними, т.е.

               

 

 

                                                                                                                  |с | = |[a ,b] | = с = |a|×|b| sin a = |a|×|b| sin (a ,b),                 (13)

 

при этом ветор с ортогонален каждому из векторов a и b и направлен так, что тройка векторов a, b и с является правой.

Если векторы a и b определены своими                                                                   декартовыми координатами, то их векторное                                                                   произведение можно записать через                                                                   определитель

                                                                                        [a ,b]   = .                       (14)

 

             

               Рис. 6

 

Раскрывая определитель по элементам первой строки, получаем разложение вектора [a ,b] по базису {i, j, k}

 

                   [a ,b] = (y a z by b z а) i – (x а z bx b z а) j + (x а y bx b y а) k .     (14-1)

 

 

Алгебраические свойства векторного произведения

1. [a ,b] = - [b, a ] .

       2. [la ,b] = l×[a ,b]  "lÎR .

 3. [a +b, с] = [a ,с] + [b, с] .

       4. [a ,а] = 0.

 

 

Геометрические свойства векторного произведения

 

1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения: [a ,b] = 0.

2. Длина (или модуль) векторного произведения равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b (рис. 6).

 

 

    Смешанным произведением трех векторов a, b и с называется число (a, b, с),

которое получается, если вектор а умножить на вектор b, а затем получившийся при этом вектор [a ,b] скалярно умножить на вектор с:

 

                                             (a, b, с) = ([a ,b], с) .

 

    Если три вектора a, b и с определены своими декартовыми прямоугольными координатами

             а = ( x a , y а , z а ) ,     b = ( x в , y в , z в ) , c = ( x с , y с , z с ),

то смешанное произведение (a, b, с) равняется определителю, строки которого есть координаты перемножаемых векторов:

 

                                  (a, b, с) =  .

 

Дата: 2018-11-18, просмотров: 20.