1. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов

a и b является равенство нулю их скалярного произведения: (a, b) = 0.

       2. Угол a  векторами a и b определяется соотношением

                  cosa = .                    (12)    

      3. Два вектора a и b составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).

     Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с, обозначаемый с = [a ,b], длина которого равна произведению длин векторов a и b, умноженному на синус угла a между ними, т.е.

                                                                                                                  |с | = |[a ,b] | = с = |a|×|b| sin a = |a|×|b| sin (a ,b),                 (13)

при этом ветор с ортогонален каждому из векторов a и b и направлен так, что тройка векторов a, b и с является правой.

Если векторы a и b определены своими                                                                   декартовыми координатами, то их векторное                                                                   произведение можно записать через                                                                   определитель

                                                                                        [a ,b]   = .                       (14)

               Рис. 6

Раскрывая определитель по элементам первой строки, получаем разложение вектора [a ,b] по базису {i, j, k}

                   [a ,b] = (y _a z _b – y _b z _а) i – (x _а z _b – x _b z _а) j + (x _а y _b– x _b y _а) k .     (14-1)

Алгебраические свойства векторного произведения

1. [a ,b] = - [b, a ] .

       2. [la ,b] = l×[a ,b]  "lÎR .

 3. [a +b, с] = [a ,с] + [b, с] .

       4. [a ,а] = 0.

Геометрические свойства векторного произведения

1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения: [a ,b] = 0.

2. Длина (или модуль) векторного произведения равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b (рис. 6).

    Смешанным произведением трех векторов a, b и с называется число (a, b, с),

которое получается, если вектор а умножить на вектор b, а затем получившийся при этом вектор [a ,b] скалярно умножить на вектор с:

                                             (a, b, с) = ([a ,b], с) .

    Если три вектора a, b и с определены своими декартовыми прямоугольными координатами

             а = ( x _a , y _а , z _а ) ,     b = ( x _в , y _в , z _в ) , c = ( x _с , y _с , z _с ),

то смешанное произведение (a, b, с) равняется определителю, строки которого есть координаты перемножаемых векторов:

                                  (a, b, с) =  .