Выполнение контрольных работ

       При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующим.

1. Не следует приступать к выполнению контрольных работ до решения всех задач, рекомендованных в настоящем пособии.

2. Контрольные работы выполняются по УМД одного года издания. Замена издания другим в процессе изучения курса высшей математики не допускается.

      3. Контрольная работа выполняется в обычной ученической тетради. Она должна быть аккуратно и четко написана. Для замечаний преподавателей на каждой странице оставляются поля шириной 3…4 см. Все страницы нумеруются. На обложку тетради наклеивают заполненный адресный бланк, а на первую страницу тетради - титульный бланк.

      4. Решения задач в контрольных работах сопровождается исчерпывающими, но краткими объяснениями. Задачи располагаются в порядке номеров, указанных в заданиях; перед решением задачи выписывается полностью ее условие.

      5. На рецензию одновременно высылается не более одной работы.

      6. По получении из института прорецензированной работы студент обязан выполнить указания, сделанные рецензентом. В случае, если контрольная работа не зачтена, студент обязан в этой же тетради (после заключения рецензента) внести все исправления, решить заново задачи, указанные рецензентом, и представить работу на повторную рецензию.

      7. Контрольная работа выполняется самостоятельно.

      8. В конце работы указывается использованная литература.

      9. Контрольная работа подписывается с указанием даты выполнения.

      10. Контрольные работы, выполненные без соблюдения изложенных выше правил или по чужому варианту, не зачитываются и возвращаются.

 

Сдача экзаменов

      К сдаче экзаменов допускаются студенты, имеющие на руках выполненные и зачтенные контрольные работы. Экзамены сдаются устно.

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

 

1. Матрицы. Основные определения. Действия с матрицами

 

Определение 1. Прямоугольная таблица чисел или иных математических

                                  выражений, состоящая из m строк и n столбцов 

 

                                          -i - я строка

                                                              ­- j - й столбец

 

называется матрицей.

Числа а ij , из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.

 

Определение 2 . Матрица, состоящая из одной строки, называется   

                      матрицей – строкой.

 

Определение 3. Матрица, состоящая из одного столбца, называется

                     матрицей – столбцом.

 

Определение 4. Матрица, у которой число строк совпадает с числом    

                      столбцов, называется квадратной.

 

Пример 1.  квадратная матрица 2 – го порядка;

 

                       квадратная матрица 3 – го порядка.   

 

      Обозначение: матрицы, как правило, обозначаются большими латинскими буквами А, В, С, …, или с указанием их размера m ´ n: А m ´ n , В m ´ n, … , а элементы матрицы обозначаются маленькими буквами а ij ,  в ij ,  с ij, … с индексами, указывающими на номер строки  i  и столбца  j, в которых расположен указанный элемент.

Определение 5. Матрица, у которой все элементы с индексами i¹j (вне      

                     главной диагонали) равны нулю, называется диагональной.

 

Пример 2.   ;  - диагональные матрицы.

 

Определение 6. Единичной называется матрица Е с единицами на главной  

                        диагонали:

 

                                         Е = .

 

Определение 7. Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется   

                      нулевой и обозначается О.

Определение 8. Матрицы А и В называются равными, если они имеют 

                      одинаковые размеры и при этом элементы матриц А и В,   

                      расположенные на одинаковых местах, равны между собой:  

                                           а i j = b i j "i , j .

 

       Действие (или операция), согласно которому все строки некоторой произвольной матрицы А преобразуются в столбцы, а все столбцы этой матрицы преобразуются в строки, называется транспонированием. Транспонированная матрица обозначается А Т.      

Определение 9. Матрица АТ, элементы которой а Т i j= а ij "i , j ,

                       называется транспонированной.

Пример 3. Если матрица А =  то АТ =

 

Определение 10. Симметричной называется квадратная матрица, у  

                          которой а ij = а ji"i , j (т.е. элементы, расположенные  

                          симметрично относительно  главной  диагонали, равны).

 

Пример 4.           .

 

Определение 11. Суммой матриц А и В одинаковых размеров называется  

                          матрица С тех же размеров, элементы которой

                                    с ij = а i j + в i j    "i, j.

 

Пример 5.

 

Свойства сложения матриц

 

        1. А + В = В + А (коммутативность).

 

       2. (А + В) + С = А + ( В + С) (ассоциативность).

 

 3. А + О = О + А = А .

 

Определение 12. Произведением матрицы на число l называется матрица В

                         тех же размеров, что и матрица А, причем b ij = l а ij "i , j .

 

Пример 6.    3×

 

Свойства умножения матрицы на число

 

         1. l(mA) = (lm)A      (ассоциативность).

         2. l(A+ B) = lA + lB (дистрибутивность).

         3. (l + m)A = lA + mA (дистрибутивность).

 

Пример 7. 2

 

Определение 13. Произведением двух матриц А и В называется матрица С,  

                         у которой элемент с ij равен сумме произведений каждого 

                         элемента i –й строки матрицы А на соответствующие

                         элементы j –го столбца матрицы В

 

                             c i j=          (i = 1,2, …,m; j = 1,2, … , n).

          

     Замечание 1. Умножение двух прямоугольных матриц возможно только в том случае, когда число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы, т.е.

                                              А m ´ k × B k ´ n  = C m ´ n .

 

       Замечание 2. Произведением двух квадратных матриц А и В одинакового размера является квадратная матрица С того же размера.

 

Пример 8. Найти произведение АВ, если А =   и В =

Решение. АВ =

                     = .

 

Свойства умножения матриц

 

       1. (АВ)С = А(ВС)       (ассоциативность).

       2. (А + В)С = АС + ВС (дистрибутивность).

       3. АВ ¹ ВА (вообще говоря) – отсутвие коммутативности.

       4. АО = О; ОА = О .

       5. АЕ = А ;ЕА =  А.

 

Определение 14. Матрицы А и В, для которых АВ = ВА называются 

                          коммутирующими (или перестановочными).  

 

 

Дата: 2018-11-18, просмотров: 12.