Уравнение прямой на плоскости

 

       Прямая линия на плоскости может быть задана различными способами.

 

       1. Общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе ОХУ:

 

Ах + Ву + С = 0 .

       Прямая, определяемая этим уравнением, ортогональна к вектору n, координаты которого А и В, т.е.  n = {A,B}.

       Вектор  nнормальный вектор  данной прямой.

 

          2. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку М(х 0, у 0):    

 

А(х- х 0) + В(у- у 0) + С = 0 .

 

       3. Уравнение прямой в отрезках:

 

                                                  ,

где а =     и b =   .

 

       4. Каноническое уравнение прямой:

 

                                               ,

где  m  и  n – координаты направляющего вектора L = {m , n} ( параллельного данной прямой).

 

       5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М 1 1, у1) и

 М2 2,  у2) :

                                                      .

 

       6. Параметрическое уравнение прямой

 

                                                ,

где t – параметр, т.е. при одном и том же значении t эти уравнения определяют координаты х и у некоторой точки линии. При изменении параметра t изменяются х и у, и соответствующая точка перемещается вдоль заданной линии.

 

      7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом  k =

у – у0  =  k(х – х0)        или   у  = k х + b.

 

      8. Нормальное уравнение прямой

 

                                             xcosa + ysina – p = 0,

 

где a – угол между нормальным вектором n к данной прямой и осью ОХ;

p – длина отрезка прямой, совпадающего по направлению с вектором n и соединяющего начало координат с заданной прямой.

 

      При решении различных задач то или иное из этих уравнений оказывается удобным. Поэтому надо научиться приводить уравнение прямой к любому из указанных видов, когда это возможно (например, прямая, параллельная оси ординат, не может быть представлена уравнением с угловым коэффициентом), и хорошо уяснить геометрический смысл параметров А, В, m , n , a , b в указанных уравнениях.

      Не следует думать, что все способы построения прямой по её простейшим уравнениям одинаково удобны. Обычно построение прямой легче всего производить, исходя из её уравнения в отрезках.

Необходимо научиться проводить прямую через данную точку в заданном направлении и прямую через две заданные точки, уметь определять угол между двумя прямыми, применять условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Следует обратить внимание на то, что в аналитической геометрии «провести» означает «написать уравнение».

 

Пример 28. Вершины  треугольника  находятся  в  точках А(-4, 16),  В(-10, -1)  и

                С(14, -8).

              Найти длину высоты, опущенной из вершины В, и величину угла А.

Решение. 1. Находим уравнение прямой АС как прямой, проходящей через две заданные точки:

                      .

     Отсюда угловой коэффициент прямой kАС = .

     Длина высоты ВС (|ВС| = h) равна расстоянию от точки В до прямой АС , которое можно найти по формуле расстояния между заданной точкой М(х0, у0) и прямой Ах +Ву + С = 0:

h = .

         

 

                                             В нашем случае  h =  ед. дл.

    2. Для нахождения угла А находим уравнение прямой АВ :

                                                   ,

откуда 17х – 6у + 164 = 0 или у = .

      Итак, k 1 = kAB = ,  а k 2 =  kAC  = - (было найдено ранее).

      Тогда tgA =  .

      Из чертежа видно, что угол А – острый. По калькулятору или по таблицам В.М.Брадиса находим: ÐА » 56 019¢ (или в радианах ÐА » 0,98 рад.).

      Замечание. Угол А можно найти и другим способом: как угол между нормальными векторами прямых АВ и АС по формуле

 

сos j = ,

 

по таблице j» 56 019¢ .

 

 

                                  Вопросы для самопроверки

 

1. Какие виды уравнения на плоскости вы знаете?

2. Объясните смысл параметров в каждом из видов уравнения прямой.

3. Как определяется угол между прямыми на плоскости?

4. В чем заключается условие параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости?

 

 

                                  1.3 Кривые второго порядка

 

     Кривые второго порядка – линии, определяемые в декартовых координатах алгебраическими уравнениями второй степени (16):

 

                                       Ах 2 + Вху + Су 2 + Dx + Ey + F =0 .                                              

 

    Такими линиями являются – эллипс, гипербола, парабола, пара прямых. Они часто встречаются в различных вопросах естествознания и техники. Например, детали круглой формы и вращательное движение в технике; движение планет и искусственных спутников Земли по эллипсам; для функции у =  графиком является гипербола; при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний, сдвинутых по фазе на ,

                                                

получается уравнение эллипса .

      Окружность является частным случаем эллипса (когда a = b), но целесообразно её самостоятельное изучение.

      Следует знать канонические и параметрические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы.

      При определенных соотношениях между коэффициентами А, В, С, D , E из уравнения (16) следуют канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. Сведем их для удобства в таблицу 1.

 

                                                                                                        Таблица 1

 

  Эллипс Гипербола Парабола
Каноническое уравнение
Малая полуось         __
Эксцентриситет   e = 1
Асимптоты ¾- ¾
Фокальные радиусы z 1 = a + ex z 2 = a-ex правая ветвь z1 = ex + a z2 = ex-a левая ветвь z 1 = -ex-a z 2 = -ex + a    
Директрисы

 

Вопросы для самопроверки

 

        1. Что такое эллипс и каково его каноническое уравнение?

        2. Что такое гипербола и каково ее каноническое уравнение?

        3. Что такое парабола и каково ее каноническое уравнение?

        4. Что такое эксцентриситет и каким он может быть у эллипса, у

гиперболы, у параболы?

        5. Какие из кривых второго порядка имеют асимптоты и каковы их

уравнения?

        6. Какая линия называется алгебраической и как определяется ее порядок?

 

                   2.   Аналитическая геометрия в пространстве

 

Дата: 2018-11-18, просмотров: 12.