Пусть имеем дифференциальное уравнение второго порядка , (4.1)

, ,  - непрерывные функции. И пусть известна фундаментальная система решений  соответствующего однородного уравнения     (4.2)

тогда  - есть общее решение уравнения (4.2).

Будем искать решение уравнения (4.1) в виде   (4.3), где  и  - неизвестные функции от х.

.

На  и  наложим следующее условие . (4.4)

Тогда . (4.5)

(4.6)

Подставляя (4.3), (4.5), (4.6) в (4.1) получим:

Так как  и  есть решение однородного уравнения (4.2) получаем:     (4.7)

Значит функция  будет решением уравнения (4.1), если функции  и  будут удовлетворять одновременно уравнениям (4.4) и (4.7), то есть системе:

    (4.8)

Определитель системы (4.8) – есть определитель Вронского линейно независимых решений  и  уравнения (4.2), то есть отличен от нуля. Поэтому система (4.8) имеет единственное решение:

Подставляя эти выражения для  и  в (4.3), найдём частное решение (при , ) уравнения (4.1)

.

Общее решение дифференциального уравнения (4.1) будет

.

Пример 4.1. Решить уравнение

Найдём решение характеристического уравнения  Þ , запишем .

будем искать в виде , для этого рассмотрим и решим систему (4.8) для данного уравнения

Û Û

Û   Û      Û  , получим .

Итак .

III. РЯДЫ.

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Вычисление суммы числового ряда.

Рассмотрим числовой ряд:

                                          (1.1)

Сумма  первых членов ряда (1.1) называется его n-ой частичной суммой:

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности  его частичных сумм.

Число  называют суммой ряда и обозначают

Ряд называется расходящимся, если не существует или бесконечен предел последовательности частичных сумм .

Теорема. Необходимый признак сходимости. Если числовой ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю .

При исследовании ряда на сходимость необходимый признак обычно используют в следующей эквивалентной форме: если предел общего члена отличен от нуля или не существует, то ряд расходится.

Пример 1.1. Исследовать ряд на сходимость .

Применим необходимый признак сходимости. Для этого найдем предел общего члена ряда , так как он отличен от нуля, делаем вывод - искомый ряд расходится.

Пример 1.2. Найти сумму ряда .

Воспользуемся определением сходимости ряда, предварительно упростив . Общий член ряда – правильная рациональная дробь. Применим метод неопределенных коэффициентов и представим общий член ряда как сумму элементарных дробей:

Имеем

………………………………………………………………………………

Суммируя члены ряда (выделенные пунктиром слагаемые в суме дают нуль), получим:

,           .

Значит, ряд сходится и его сумма .