Интегралы вида , где R –рациональная функция от двух переменных, сводится к интегралам от рациональных функций одной переменной при помощи универсальной тригонометрической подстановки:
(3.1)
Однако в большинстве случаев предпочтительнее воспользоваться рассмотренными ниже частными подстановками:
1).Если - нечетная функция относительно
, то интеграл вычисляется с помощью подстановки
2).Если - нечётная функция относительно
, то используется подстановка
3).Если - четная функция относительно
, то интеграл вычисляется с помощью подстановки
;
Интегралы вида вычисляются следующим образом:
При n – нечётном положительном числе применима подстановка , если m – нечётное положительное число, то
, если же m , n – чётные положительные числа, тогда используют формулы:
Интегралы вида , m – целое положительное число, решаются при помощи замены
или
Интегралы вида , где
- целое положительное число, вычисляются при помощи замены :
.
Для интегралов вида
используются рекуррентные формулы :
.
При вычислении интегралов вида
используют известные соотношения:
.
Пример 3.1 Вычислить .
Решение.
Используем универсальную подстановку:
=
= 4
.
Разложим подынтегральную рациональную дробь на простейшие и получим:
4 = -
=
=- =
=
= .
Пример3.2 Вычислить .
Решение.
=
.
Подынтегральная функция четная относительно
, поэтому используем подстановку
=
=
= =
= =
=
.
Пример 3.3 Найти .
Решение.
Подынтегральная функция нечетна относительно . Сделаем замену
. Тогда
=
=
=
=
= =
=
.
Интегрирование простейших иррациональных функций.
Интегралы вида
(4.1)
где R-рациональная функция своих аргументов
m 1, n 1, m 2, n 2,… целые числа, вычисляются с помощью подстановки , (4.2)
где S-общий знаменатель дробей:
При вычислении интегралов вида: , где
удобно использовать тригонометрические подстановки:
Выражение вида
, где
- рациональные числа,
- действительные числа, называется биномиальным дифференциалом.
Интеграл от биноминального дифференциала
сводится к интегралу от рациональной функции только в следующих случаях:
1). -целое, подстановка вида (4.2);
2). – дробное и
- целое, тогда интеграл от биномиального дифференциала рационализируется подстановкой:
(первая подстановка Чебышева);
3). – дробное и
- целое, тогда применяется подстановка
(вторая подстановка Чебышева).
Пример 4.1. Вычислить
Решение.
=
=
=6
= =
.
Пример 4.2 Вычислить .
Решение.
=
=
=
=9 =
=
.
Пример 4.3 Вычислить .
Решение.
=
,
по условию . Число
дробное, а
=-1-целое. Поэтому будем использовать вторую подстановку Чебышева.
=
=
=-15 =-15
=-
=-
.
Приложения определенных интегралов.
Дата: 2018-12-21, просмотров: 236.