Интегрирование по частям
Пусть u = u ( x ) и v = v ( x ) – непрерывно дифференцируемые (имеющие непрерывные производные) функции на отрезке [a , b], тогда
. (1.1)
Интегрируя (1.1) в пределах от a до b с использованием формулы Ньютона-Лейбница, находим
, (1.2)
или, учитывая, что 
и 
,
. (1.3)
Для неопределенного интеграла имеем формулы
или
.
Замена переменной
Пусть выполняются следующие условия:
1) функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a , b];
2) функция х= j ( t ) строго монотонна и непрерывна вместе со своей производной 
на отрезке [a , b];
3) a = j ( a ), b = j ( b );
4) функция f(j(t)) определена и непрерывна на отрезке [a , b],
тогда справедливо равенство
= 
. 
(1.4)
В случае неопределенного интеграла
.
Пример 1.1 Вычислить интеграл 
.
Решение.
Применим метод интегрирования по частям, опираясь на формулы (1.1), (1.2):
= 
= 
= = 
= 
+ 
=0. 
Пример1. 2 Вычислить 
.
Решение:
Применим метод интегрирования по частям:
= 
= 
= 
= 2 
) = 2 
- 4(2 
- 4 
) = 10 - 16.
Пример 1.3 Вычислить определенный интеграл 
.
Решение.
Применим метод замены переменной с учетом формулы (1.3):
= 
= 
= 
= = 
= 
.
В достаточно простых случаях при интегрировании методом замены переменной можно не вводить обозначение новой переменной, а использовать прием внесения под знак дифференциала 
и инвариантность формул интегрирования.
Пример 1.4 Вычислить 
.
Решение.
= - 
= - 
+ C.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Для неправильной рациональной дроби (дробно-рациональной функции) 
следует выделить целую часть :
. (2.1)
где 
и 
- многочлены степени 
и 
, причем 
.
Разложение правильной дроби 
на сумму простейших дробей имеет вид:
(2.2)
Для вычисления коэффициентов 
следует последнее равенство (2.2) привести к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях 
в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной произвольные числовые значения.
Простейшие дроби 
типов в правой части (2.2) интегрируются следующим образом:
где трехчлен 
не имеет действительных корней, 
. Дроби четвертого типа интегрируются так:
причем при 
интеграл 
вычисляется по рекуррентной формуле:
Пример2.1 Вычислить 
.
Решение.
Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь. Представим ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (например, способом деления числителя на знаменатель) как в (2.1):
= 
.
Следовательно:
= 
+ 4 
. (2.3)
Разложим знаменатель дроби на множители:
= 
, где квадратный трехчлен 
не имеет действительных корней.
Согласно (2.2) можно записать в виде:
= 
. (2.4)
Для определения коэффициентов 
дроби в правой части равенства (2.4) приведем к общему знаменателю и сложим. В результате получим равенство двух дробей с одинаковыми знаменателями. Следовательно, числители дробей в левой и правой частях полученного равенства должны быть равны, т.е.:
.
Два многочлена относительно переменной 
тождественно равны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при одинаковых степенях равны между собой.
Приравняем эти коэффициенты и получим систему уравнений относительно 
:
.
Подставив найденные коэффициенты 
в (2.4), получим:
= 
. (2.5)
Из (2.3) и (2.5) следует, что:
= +4 
( 
) 
= 
+ 2 
= 
+ 2 
= + 2 
= 
+ 
.
Дата: 2018-12-21, просмотров: 247.
