Уравнение вида     (3.1)

где  - действительные числа, называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение (3.1) называется однородным (ОЛДУ), в противном случае – неоднородным (НЛДУ).

Общее решение ОЛДУ строится с учётом корней алгебраического уравнения  (3.2), называемого характеристическим уравнением для ЛДУ (3.1).

Каждому действительному корню и каждой паре мнимых сопряжённых корней характеристического уравнения в общем решении ОЛДУ соответствует слагаемое, определяемое таблицей 3.1.

Таблица 3.1.

Вид корней характеристического уравнения	Вид слагаемого в общем решении ОЛДУ
- действительный корень кратности 1
- действительный корень кратности
- пара мнимых корней кратности 1
- пара мнимых корней кратности

Здесь  - произвольные постоянные. Напомним что общее решение дифференциального уравнения порядка содержит  произвольных констант.

Пример 3.1. Найти решение ОЛДУ

а)   (3.3)

Записываем характеристическое уравнение:  Û . Его корни:  - кратности 1, - кратности 2. Первому корню в общем решении соответствует слагаемое , то есть , второму - , то есть . Общее решение ОЛДУ: .

б)   (3.4)

Характеристическое уравнение :

 Û

Его корни:  - все кратности 1. Им соответствуют в общем решении ОЛДУ слагаемые   и .

Итак .

Для нахождения общего решения неоднородного уравнения (3.1) используем теорему о структуре общего решения НЛДУ: , где  - общее решение НЛДУ,  - общее решение соответствующего ОЛДУ,  - какое-нибудь частное решение НЛДУ. Нахождение  описано выше. Для нахождения  будем использовать метод подбора. Этот метод применим в случае, когда правая часть  уравнения (3.1) имеет специальный вид. В таблице 3.2. для некоторых случаев указано, в каком виде следует искать частное решение НЛДУ.

Таблица 3.2.

Вид правой части	Связь с корнями характеристического уравнения	Вид частного решения
	- не корень характ. Уравнения
	- корень характ. Уравнения кратности К
	- не корни характ. Уравнения
	- корни характ. Уравнения кратности К

Здесь  - заданные многочлены,  - многочлены с неопределёнными коэффициентами; индекс указывает степень многочлена, .

Пример 3.2. Найти общее решение НЛДУ.

а)     (3.5)

Общее решение соответствующего ОЛДУ найдено в примере 3.1.: . Правая часть данного уравнения имеет вид , m=1, a=1. Так как a=1 не корень характеристического уравнения, то  ищем в виде: . Для нахождения неопределённых коэффициентов А и В подставим эту функцию в уравнение (3.5). В результате подстановки получим: , то есть

. Сокращаем обе части равенства на  и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях: 4А=4, 4В=8 Þ А=1, В=2.

Итак: , а .

Замечание. Для проверки правильности нахождения частного решения рекомендуется подставить найденное  в исходное уравнение: решение найдено верно, если в результате такой подстановки получим тождество.

б)     (3.6)

Правая часть имеет вид , причём m=2, a=0. Нуль является корнем характеристического уравнения кратности 1. Поэтому  ищем в виде: , то есть . Подставляем в исходное уравнение и приводим подобные:

, отсюда

Следовательно .

.

в) .

Находим общее решение соответствующего ОЛДУ, для чего решаем характеристическое уравнение . Его кони  кратности 1, поэтому  (см. таблицу 3.1).

Правая часть НЛДУ имеет вид , причём , , , , . Так как  не корни характеристического уравнения, то, согласно таблице 3.2,  ищем в виде: ,  - многочлены нулевой степени с неопределёнными коэффициентами. Находим ,  и, подставляя в исходное уравнение, приводим подобные:

, ,

.

Сокращаем обе части на и приравниваем коэффициенты при  и  в левой и правой частях:

     , значит ,

.

Метод подбора применим и в том случае, когда правая часть уравнения (3.1) не имеет вида, представленного в таблице 3.2, но является суммой функций такого вида. Согласно теореме суперпозиции, если  есть решение ЛНДУ , а  - решение ЛНДУ , то  есть решение ЛНДУ .

Поэтому для нахождения частного решения последнего уравнения достаточно найти какие-нибудь частные решения двух предыдущих уравнений и сложить их.

Пример 3.3. Найти общее решение НЛДУ .

Здесь , .

Для уравнения  частное решение найдено в примере 3.2(в):

. Найдём  - частное решение уравнения , то есть    (3.7)

Правая часть этого уравнения имеет вид , причём m=0, a=1. Так как a=1 не является корнем характеристического уравнения, то  ищем в виде: . Подставляя  в (3.7), легко найдём  А=2.

Итак и  ,

.