Рассмотрим тело (V), плотность которого известна, но переменна, т.е. в разных точках различна, и предположим, что нам требуется подсчитать массу этого тела. Для этого разобьем тело (V) произвольным образом на элементарные тела соответственно с объемами и выберем в каждом из них по точке . Примем приближенно, что в пределах элементарного тела плотность постоянна и равна плотности в выбранной точке. Тогда масса каждого элементарного тела приближенно выразится следующим образом:
,
масса же всего тела будет
.
В пределе, при стремлении к нулю наибольшего из диаметров d всех областей , это равенство делается точным, так что
, (2.1)
и задача решена.
Предел этого вида и есть тройной интеграл от функции по области . В принятых нами для них обозначениях полученный выше результат запишется так:
.
Определение тройного интеграла
Возьмем произвольную фигуру в пространстве, представляющую собой ограниченную и замкнутую область. Условие существования объема для данной области в пространстве заключается в том, чтобы область была ограничена одной или несколькими гладкими поверхностями. В этом случае область (V) называют кубируемой. В дальнейшем будем рассматривать только кубируемые области пространства.
Определение 1. Ограниченная замкнутая область пространства называется телом.
Пусть в некотором теле (V) задана функция . Разобьем это тело с помощью сети поверхностей на конечное число элементарных тел соответственно с объемами . Выберем в каждом из них произвольным образом по точке . Значение функции в этой точке умножим на объем и составим интегральную сумму для функции по телу
. (2.2)
Определение 2. Конечный предел интегральной суммы (2.2) при стремлении к нулю наибольшего из диаметров d всех элементарных тел называется тройным интегралом функции в области , если он не зависит ни от способа разбиения тела на элементарные тела, ни от выбора точек Mk в каждом из них:
.
Он обозначается символом .
Теорема 1. (необходимое условие существования тройного интеграла). Если функция интегрируема в ограниченной замкнутой области пространства , то она ограничена в этой области.
Теорема 2. (достаточное условие существования тройного интеграла). Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области пространства , то она интегрируема в ней.
Из пункта 2.1. следует физический смысл тройного интеграла. Если функция есть плотность распределения массы по телу , то тройной интеграл от функции в области равен массе этого тела:
.
Свойства тройного интеграла
1. .
2. Если умножить интегрируемую функцию в области на постоянную , то полученная функция также будет интегрируема, и при этом
.
3. Если в области интегрируемы функции и , то интегрируема и функция , причем
.
4. Если в области задана функция и область , то из интегрируемости функции во всей области следует ее интегрируемость в областях и , и обратно – из интегрируемости функции в обеих областях и вытекает интегрируемость в области . При этом
.
5. Если для интегрируемых в области функций и выполняется неравенство , то
.
6. В случае интегрируемости функции интегрируема и функция , и имеет место неравенство
.
7. Теорема О СРЕДНЕМ. Если функция непрерывна в области , то найдется такая точка в области , что , где V – объем области (V).
Дата: 2018-12-21, просмотров: 297.