Замечание:

Воспользовались формулой возрастающей геометрической прогрессии:

Тогда общая формула наращенной суммы ренты будет иметь вид:

- коэффициент наращения ренты, будем находить его, пользуясь математическим калькулятором.

Пример 1. Создается фонд. Средства в фонд поступают в виде годовой постоянной ренты в течении 6 лет в конце года. Размер разового годового платежа 20 тыс. руб. На поступившие взносы начисляются 25% годовых. Найти величину фонда к концу срока.

Решение:

Рассматривается годовая рента постнумерандо, член ренты R=20 тыс. руб., срок ренты n=6 лет, ставка i=25%.

Величина фонда к концу срока

2. Годовая рента, постнумерандо, начисление процентов m раз в году, выплаты p один раз в году  (Характеристики ренты R, n, j, m¹1, p=1)

Наращенная сумма ренты  

Пример 2. В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если проценты начисляются ежеквартально, т.е. m=4.

Решение:

Внимание! Наращенная стоимость возросла. Следовательно, чем чаще начисляются проценты, тем больше S .

3. Рента p-срочная постнумерандо, проценты начисляются один раз в году, выплаты p раз в году  (Характеристики ренты R, n, i, m=1, p¹1)

Наращенная сумма ренты

Пример 3. В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если выплаты делаются ежеквартально, т.е. p=4.

Решение:

4. Рента p-срочная постнумерандо, проценты начисляются m раз в году, число выплат в году p равно числу начислений процентов m (Характеристики ренты R, n, j, m=p¹1)

Наращенная сумма ренты .

Пример 4.

 В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если проценты начисляются ежеквартально, т.е. m=4, число выплат в году также равно p=4.

Решение:

5. Рента р – срочная, проценты начисляются m раз в году, выплаты p не совпадают с начислением процентов (Характеристики ренты R, n, j, )

Наращенная сумма ренты .

Пример 5. В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если выплаты делаются ежемесячно, т.е. m=12, число выплат в году равно p=4.

Решение:

6. Рента годовая постнумерандо, проценты начисляются непрерывно (Характеристики ренты R, n, d, p=1).

Наращенная сумма ренты .

Пример 6. В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если непрерывная ставка d = 25%.

Решение:

7. Годовая рента пренумерандо, проценты начисляются один раз в году

 (Характеристики ренты R, i, n, m=1, p=1)

Положим, что n =4 года и выведем формулу наращенной суммы ренты. Снова применим сумму геометрической прогрессии (см. выше ренту постнумерандо)

Наращенная сумма ренты

Наращенная сумма ренты пренумерандо больше наращенной суммы постнумерандо с такими же параметрами в (1+ i ) раз!

Пример 7. В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если выплаты делаются ежегодно в начале года.

Решение: рента годовая пренумерандо.

Современная стоимость ренты

Под современной стоимостью А потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты.

1. Годовая рента постнумерандо (Характеристики ренты R. n, i, p=1, m=1).

 Схема дисконтирования:

 Пусть n=4 года. Найдем современную стоимость ренты.

Замечание: Воспользовались формулой суммы убывающей геометрической прогрессии

Современная стоимость ренты сроком n лет

 - коэффициент приведения ренты.

Пример 8. Рента постнумерандо характеризуется следующими параметрами:

Член ренты R=4 млн. руб., срок ренты n=5 лет, годовая ставка i = 18,5%. Найти сегодняшнюю стоимость ренты.

Полученная сумма означает, что если сегодня положить 12,368 млн. руб. под годовую ставку18,5%, то в течении 5 лет в конце каждого года можно получать по 4млн. руб.

2. Годовая рента постнумерандо, начисление процентов m раз в году (Характеристики ренты R, n, j, m¹1, p=1)

Современная стоимость ;

3. Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются 1 раз в году (Характеристики ренты R, n, i, m=1, p¹1)

Современная стоимость ;

4.Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются m раз в году, число выплат p совпадает с числом начисления процентов m (Характеристики ренты R, n, j, m=p¹1)

Современная стоимость ;

5.Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются m раз в году, периоды выплат p не совпадают с периодами начислений процентов  (Характеристики ренты R, n, j, m¹p¹1)

Современная стоимость .

Вечная рента постнумерандо

В последней формуле современной стоимости ренты увеличим срок ренты n до бесконечности (n®¥). Коэффициент приведения ренты а_ni стремится к величине , поэтому современная величина такой ренты, называемой вечной, имеет вид .

7. Годовая рента пренумерандо (Характеристики ренты R, n, i, m=1, р=1)                                       Схема дисконтирования

                 Современная стоимость ренты .