при известных суммах выплат всех платежей

В этом случае все платежи приводятся на одну более раннюю дату операцией дисконтирования. Составляется уравнение эквивалентности, в левой части которого стоит дисконтированная стоимость платежа S ₀, а в правой – сумма дисконтированных стоимостей объединяемых платежей P₀.

Решаем задачу, используя ставку i. Запишем уравнение эквивалентности, дисконтируя все платежи, включая S₀ на начальную дату «0».

.

Обозначим через P₀ сумму дисконтированных стоимостей объединяемых платежей, т.е. . Тогда .

Очевидно, что в полученной формуле консолидированная стоимость платежей S ₀ должна быть больше суммы дисконтированных консолидируемых платежей P ₀ . Иначе срок платежа n ₀ получится отрицательным.

Задача 6 .

 Фирма, в погашение задолженности банку за предоставленный кредит под 70% годовых, должна произвести 2 платежа в сроки 18.05 (138-й день), 1.09 (244-й день) суммами млн. руб. и  млн. руб. Фирма договорилась объединить оба платежа в один суммой  млн. руб. с продлением срока выплаты.

 Найти срок выплаты консолидированного платежа. (В скобках указан порядковый номер даты платежа)

Решение:

Срок выплаты консолидированного платежа найдем по формуле

, где P -современная величина консолидируемых платежей.

 млн. руб.

года

t = 365 дней × 0,7937»287 дней. По календарю это 14 октября (приложение табл.1).

Общая постановка задачи изменения условий выплаты платежей

При решении задачи изменения условий выплаты платежей составляется уравнение консолидации по следующему правилу:

«Старые» долги равны «новым» долгам, но и те, и другие должны быть приведены на одну дату консолидации.

Дата консолидации либо устанавливается во взаимном соглашении, либо выбирается произвольно.

Задача 7.

Две суммы 12 и 8 млн. руб. должны быть выплачены 1.09.00 (244) и 1.01.01 (1). Стороны договорились пересмотреть условия контракта: должник 1.12.00 (335) выплачивает 10 млн. руб., остаток долга гасится 1.04.01 (91). Найти эту сумму при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых процентов, равной 12% (год равен 365 дней).

Решение

Возьмем за базовую дату 1.04.01 и составим уравнение эквивалентности, учитывая два условия:

1) все платежи приведены к базовой дате;

2) старые долги равны новым долгам.

Т.к. базовая дата самая поздняя из всех, то платежи  и  наращиваются.

 млн. руб.

Модуль 4. Рентные платежи

Современные финансово-банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д.

Такие последовательности называются потоком платежей, а отдельный элемент последовательности - членом потока.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называется финансовой рентой или аннуитетом.

Характеристики ренты

Рента характеризуется следующими параметрами:

член ренты R - размер отдельного годового платежа;

период ренты - временной интервал между двумя последовательными платежами;

срок ренты n - время от начала первого периода ренты до конца последнего периода;

процентная ставка i;

число p платежей в году;

частота m начисления процентов.

Классификация рент

1. ренты немедленные (начало срока ренты и начало действия контракта совпадают) и ренты отсроченные;

2. ренты с ежегодным начислением процентов (m=1), начислением процентов m раз в году и непрерывным начислением процентов;

3. ренты с постоянными и переменными членами;

4. ренты конечные и бесконечные. Если срок ренты более 50 лет, рента считается вечной.

5.    рента обычная или постнумерандо, если платежи производятся в конце периода; рента пренумерандо, если платежи производятся в начале периода.

Пример 4-х летней ренты постнумерандо:

Пример 4-х летней ренты пренумерандо:

Обычно анализ потока платежей предполагает расчет или наращенной суммы или современной стоимости.

Наращенная сумма S ренты

Наращенная сумма - сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.     

1. Годовая рента постнумерандо

Ее характеристики: член ренты R, срок ренты n, ставка i, число выплат в году p=1, число начислений процентов в году m=1.

Положим n=4 года и выведем формулу наращенной суммы ренты.

Построим схему наращения членов ренты на временной оси. Т.к. срок ренты больше одного года, естественно использовать сложные проценты.

Например, на член ренты R, внесенный в конце первого года, будут начисляться проценты 3 года. К концу срока ренты эта сумма будет составлять .

Подобным образом, на член ренты R, внесенный в конце второго года, будут начисляться проценты 2 года. К концу срока ренты эта сумма будет составлять . И т. д.