Ставка i и время n в этих формулах соизмеримы

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Модуль 1. Простые проценты

Золотое правило бизнеса:

Сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра

В основе финансово-экономических расчетов лежит понятие временной ценности денег. В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат.

Фактор времени играет не менее важную роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета фактора времени определяется принципом не равноценности денег, относящихся к разным периодам времени.

Дело в том, что, даже в условиях отсутствия инфляции и риска, 1000 руб., полученных через год, не равноценны этой же сумме, полученной сегодня. Не равноценность определяется тем, что любая сумма денег может быть инвестирована сегодня и принести доход в будущем. Поступившие доходы в свою очередь могут быть реинвестированы и т.д.

Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные.

Известный афоризм, «время - деньги» (Time is money) как нельзя лучше выражает сущность современного количественного финансового анализа.

Расчет и анализ любой финансовой операции начинается с приведения всех платежей, осуществленных в различные моменты времени, к одному моменту (настоящему или будущему), только после этого денежные суммы можно между собой сравнивать, вычитать, складывать.

Описание изменения денежных сумм во времени производится путем вычисления дохода от инвестирования денег, т.е. путем начисления процента на первоначальную сумму, поэтому теория процентных ставок – основа временной стоимости денег.

Основные понятия кредитной операции

Получение кредита – наиболее распространенная финансовая сделка. Она характеризуется следующими величинами:

K – начальный капитал или сумма ссуды;

S – наращенная сумма или полная стоимость кредита с процентами.

I = S - K – доход (процентные деньги, проценты), получаемый кредитором от предоставления денег в долг;

n – период начисления процентов в годах,

, n =1 год – процентная ставка – относительная величина дохода в сумме долга за единицу времени.

Процентная ставка i может измеряться в процентах (%), в виде десятичной или натуральной дроби. Например, i=15% =0.15; i=200%=2.0 и т.д.

В формулах для финансовых расчетов процентная ставка берется в виде десятичной дроби.

1. По базе начисления проценты делятся на простые и сложные.

Если база постоянна на весь период начисления процентов, используют простые проценты. Обычно период начисления в этом случае n < 1 года.

Если за базу для начисления принимается сумма, полученная из предыдущей, с прибавлением к ней процентов, то используют сложные проценты (иначе, процент на процент).

2. По принципу расчета процентов различают ставки наращения i и учетные ставки d.

Плата за кредит может взиматься как в конце срока, так и в его начале.

В первом случае проценты начисляются в конце срока, исходя из величины предоставляемой суммы K, и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами, т.е. S = K + I.

Такой способ начисления процентов называется декурсивным.

Процентная ставка , (n=1 год) называется ставкой наращения.

Во втором случае процентный доход D называемый дисконтом, выплачивается в начале срока. При этом должнику выдается сумма, уменьшенная на его величину, т.е. S - D; а возврату в конце срока подлежит вся исходная ссуда S.

Такой способ начисления процентов называется антисипативным, а процентная ставка – учетной ставкой.

Учетная ставка

3. Процентные ставки могут быть фиксированными (постоянными), когда в контракте (сделке, финансовой операции) указывается их размер или «плавающие», когда фиксируется не сама ставка, а изменяющиеся во времени базовая ставка и надбавка к ней, называемая маржой.

4. По периоду начисления проценты делятся на дискретные проценты и непрерывные проценты.

Дискретные проценты начисляются за фиксированные в договоре интервалы времени (год, полгода, квартал, месяц, день).

Непрерывные проценты связаны с непрерывным интервалом начисления.

Операция наращения состоит в том, что по сегодняшней сумме ссуды K рассчитывается ее будущая стоимость S.

Операция дисконтирования состоит в том, что на сегодняшний момент времени пересчитывается некоторая будущая сумма денег S.

В этом случае сумму K называют современной или приведенной величиной.

Простые проценты

Простые проценты - это метод расчета дохода кредитора от предоставления денег в долг заемщику.

Сущность простых процентов состоит в том, что они начисляются на одну и ту же величину капитала К в течение всего срока ссуды. Простые проценты дают больший доход при их начислении на срок меньше года.

Основная формула простых процентов: или , где

К - начальный капитал,

I - доход (процентный платеж, процентные деньги или просто проценты), получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой;

p - процентная ставка, показывающая сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за пользование 100 ед. капитала за год, т. е. годовая ставка в процентах.

Если ставка измеряется в долях единицы, то она обозначается буквой

Если деньги отданы взаймы под проценты, то заемщик возвращает наращенную сумму

S = K + I = K + Kni = K (1 + ni ), где - процентная ставка в долях единицы, n - время в долях года.

Доход за n лет I = K ni, (1 + ni) - множитель наращения по простым процентам.

Итак, если по начальному капиталу (сегодняшним деньгам) K находится будущая сумма денег S, то операция называется наращением.

Если же, зная будущие деньги S, находят их сегодняшнюю сумму K по формуле: , то операция называется математическим дисконтированием, - дисконтный множитель.

Задача 1. Капитал 200 тыс.руб. вложен в банк на 8 месяцев под 12% годовых.

Найти сумму, которая будет получена к концу срока.

К = 200 тыс. руб., n = года, i = 0,12, p = 12% . S=?

Решение: I способ.

S = K + I, I = , I = = 16 тысяч руб., S = 200 + 16 = 216 тысяч руб.

II способ. Ставка годовая, срок n в месяцах переведем в доли года: n = 8 месяцев = года., S = K(1 + ni)=200(1 + .0,12) = 216 тысяч руб.

Задача 2 . Капитал 200 тыс. руб. вложен в банк на 80 дней под 12% годовых.

Найти величину вклада через 80 дней. Расчет сделать точным и банковским методом.

Решение: K = 200 тысяч руб. n = года или n = года, i = 0,12, S=?

1. Точный метод: Т.К. ставка годовая, срок n переведем в доли года: n = года,

S = K(1 + ni) = 200(1 + тыс. руб.

2.Банковский метод: Срок n = года, тыс. руб.

Банковский метод дает большее наращение.

Задача 5.

Платежное обязательство уплатить через 100 дней 2 млн. руб. с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i=20% годовых, было учтено за 40 дней до срока погашения по учетной ставке d =15%. Требуется найти сумму, полученную при учете.

Решение:

Задача 7.

Кредитор и заемщик договорились, что из суммы кредита, выданного на 200 дней, сразу удерживается дисконт в размере 25% указанной суммы. Требуется определить цену кредита в виде простой годовой учетной ставки d и годовой простой ставки i. Год полагать равным 365 дней.

Решение:

Простые переменные ставки

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки.

Если i₁, i₂,… i_k – последовательные во времени простые ставки,

а n_1, n_2,… n_k – периоды, в течение которых применяются соответствующие ставки, тогда наращенная сумма определяется следующим образом:

Задача 8

Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год – ставка 16%, в каждый последующем полугодии ставка повышается на 1%. Определить множитель наращения за 2,5 года.

Дано:

n₁=1 год, i₁=16%,

n₂=1/2 года, i₂=(16+1)% = 17%,

n₃=1/2 года, i₃=(17+1)% = 18%,

n₄=1/2 года, i₄=(18+1)% = 19%,

Общий срок начисления процентов 1+1/2+1/2+1/2=2,5 года.

Множитель наращения =

Иначе, за 2б5 года начальный капитал увеличился в 1,43 раза.

Реинвестирование

В практике при реинвестировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока, т.е. к реинвестированию средств, полученных на каждом этапе наращения. (Напоминает наращение по сложным процентам, но только напоминает!)

В этом случае наращенная сумма для всего срока составит:

k – количество реинвестиций.

Если периоды начисления и ставки не изменяются во времени, то формула реинвестирования примет вид:

, k – количество реинвестиций.

Задача 9.

Сумму в 100 тысяч рублей положили 1 января на месячный депозит под 20% годовых. Каковой будет наращенная сумма, если операция повторяется 3 раза? Расчет сделать по точным и банковским процентам.

Решение:

По условию задачи депозит в 100 тысяч рублей реинвестируется трижды по простым процентам.

По точным процентам:

(Помните, что в январе 31 день, в феврале – 28 дней, в марте – 31 день!)

По банковским процентам при условии, что в каждом месяце по 30 дней:

Модуль 2. Сложные проценты

Наращение по сложным процентам

В средне и долгосрочных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, то для наращения используются сложные проценты.

Сложные проценты отличаются от простых процентов базой начисления. Если в простых процентах она остается постоянной на весь срок начисления, то в сложных при каждом начислении процентные деньги присоединяются к первоначальной базе. Говорят, идет капитализация процентов.

Формула наращения по сложным процентам, если проценты начисляются один раз в году, имеет вид

, где i - годовая (номинальная) процентная ставка, n - число лет начисления, - множитель наращения по сложным процентам.

Задача 1.

Сумма, равная 800 тыс. руб., инвестируется на 3 года под 80% годовых. Найти наращенную сумму и сумму процентов за этот срок, используя простые и сложные проценты.

Решение:

1.Сложные проценты:

2. Простые проценты:

За 3 года 800 тыс. руб. увеличились в 5,832 раза по сложным процентам и только в 3,4 раза по простым процентам.

Задача 2.

Сумма, равная 800 тыс. руб., инвестируется на 3 месяца под 80% годовых. Найти наращенную сумму и сумму процентов за этот срок, используя простые и сложные проценты.

Решение:

1.Сложные проценты:

2. Простые проценты:

Итак, сложные проценты работают лучше, если срок n больше 1 года и простые проценты лучше работают (дают большее наращение) внутри года. Если срок начисления процентов 1 год, простые и сложные проценты дают одинаковый результат.

Задача 3. Найти сумму долга в 15 млн. руб. через 8 месяцев, 320 дней, 2 года, 10 лет по сложным годовым ставкам 5% и 8%.

Решение:

; .

Сумма долга зависит от процентной ставки и числа лет начисления. Сравните суммы по годам и по процентным ставкам. (Сумма долга растет с увеличением и процентной ставки, и числа лет начисления).

Способ.

По первому способу сумма, с которой идет наращение, увеличивается с каждым наращением процентов, т.к. по определению сложных процентов база для начисления изменяется за счет присоединения полученных на предыдущем шаге процентов, т.е. .

Способ.

По второму способу наращения начальный капитал К=5,0 млн. руб. остается неизменным.

Задача 6.

Сумма 10 млн. руб. инвестирована на 2 года по годовой ставке 120%. Найти наращенные за это время суммы и приросты при начислениях:

1. ежегодном (m=1),

2. полугодовом (m=2),

3. ежеквартальном (m=4),

4. ежемесячном (m=12),

5. ежедневном (m=365).

Решение:

1. при ежегодном начислении процентов

2. при полугодовом начислении процентов

3. при ежеквартальном начислении процентов

Непрерывные проценты

Если число начислений процентов в году m®¥, то формула наращения принимает вид где d - непрерывная ставка, - показатель роста.

Задача 7. На сумму 10 млн руб. начислить проценты по непрерывной ставке d=12% за 5 лет.

Решение:

Дисконтирование по сложным процентам

Найдя из всех формул начальный капитал К, получим уравнение дисконтирования. Полученная при дисконтировании величина К часто называется сегодняшней или современной величиной , .

Задача 8.

Вексель на 10 млн. руб. со сроком платежа через 5 лет учтен:

1) по сложной учетной ставке 10% годовых;

2) по простой учетной ставке 10% годовых.

Какое дисконтирование выгоднее векселедержателю?

Решение:

1) по сложной учетной ставке

2) по простой учетной ставке

Итак, векселедержателю выгоднее дисконтирование по сложной учетной ставке, т.к. в день учета он получит большую сумму.

Задача 9.

Капитал 20 млн. руб. вложен на 4 года под 4% годовых. Найти доход от вложения денег при 1) декурсивном, 2) антисипативном способах расчета.

Какое вложение выгоднее кредитору?

Решение:

Т.к. срок вложения денег больше 1 года, расчет сделаем по сложным процентам.

1) декурсивные проценты

2) антисипативные проценты

Антисипативное начисление процентов выгоднее кредитору, т.к. он получает больший доход.

Задача 12.

Годовая ставка сложных процентов равна 15%. Чему равна эквивалентная сила роста?

Решение:

Воспользуемся уравнением эквивалентности сложной и непрерывной ставок:

Найдем из этого уравнения непрерывную ставку.

Непрерывная ставка d=13,976% и сложная ставка I=15% дают одинаковый финансовый результат. Например, при начальном капитале K=2000 руб., сроке n=4 года, имеем

Инфляция

Инфляция – это обесценивание денег.

В экономике различают более 20 видов инфляции: инфляция, связанная с эмиссией денег; с большими кредитными расходами; превышения спроса над предложением; с ожиданием роста цен; с изменение цен на сырье; с ростом заработной платы и т.д.

Различают скрытую и открытую инфляции. Скрытой инфляции присущи дефицит товаров, отложенный спрос и постоянные цены. При открытой инфляции освобождаются цены и растут доходы.

Освобождение цен при накопившихся излишках денег ускоряет обращение денег в десятки раз в связи с боязнью населения нового витка повышения цен, что приводит к гиперинфляции.

Дефляция – сдерживание обесценивания денег или мероприятия по ограничению денежной массы в обращении. Осуществляется путем увеличения налогов, повышения процентных ставок, ограничения кредитов, снижения роста заработной платы, ограничения продажи ценных государственных бумаг на открытом рынке.

Характеристики инфляции

1. Индекс цен I_p или индекс покупательной способности .

Индекс цен показывает, во сколько раз приросли цены за соответствующий период. Индекс покупательной способности показывает, во сколько раз уменьшилась покупательная способность за этот же период.

Например, пусть сегодня получены 5000 руб. Известно, что за три предшествующих года цены возросли в 5 раз, т.е. , тогда и реальная стоимость С сегодняшних денег в деньгах трехлетней давности

С = 5000× = 1000 руб.

2. Темп инфляции Н - относительный прирост цен за период. Измеряется в %, находится по формуле: .

Следовательно, .

Например, если цены увеличились в 2 раза, то их прирост составил

И наоборот, если темп прироста цен составил 70%, то цены увеличились в

3. Среднегодовой темп роста цен , среднегодовой темп инфляции .

Если рассматривается индекс цен за несколько периодов, то

Если , то .

Задача 9.

Темп инфляции h=10% в месяц. Найти рост цен за год и годовой темп инфляции.

Решение:

т.е. цены выросли за год в 3,1384 раза

Задача 10.

Последовательный прирост цен за 3 месяца составил 25%, 20%, 18%. Найти темп инфляции за эти месяцы.

Решение:

Два случая учета инфляции

Первый случай учета инфляции: при расчете наращенной суммы .

Пусть S - наращенная сумма, С - та же сумма с учетом инфляции. .

Конкретизируем формулу:

Для простых процентов :

Наращенная сумма простых процентов .

Тогда .

Для сложных процентов:

Наращенная сумма сложных процентов . Тогда

Если i > - реальный рост суммы денег;

если i < - “эрозия” капитала, нет реального роста денег;

если i = - наращение поглощается инфляцией.

Задача 11.

Последовательный прирост цен за 3 месяца составил 25%, 20%, 18%. Найти реальную сумму 1,5 млн. руб., накопленные проценты и инфляционную сумму, реальный доход, реальную доходность, если наращение идет по ставке i=50% а) сложных годовых, б) простых процентов.

Решение:

Индекс инфляции найден в задаче 10. Цены за 3 месяца увеличились в 1,77 раз.

Рассчитаем реальную сумму 1,5 млн. руб.

А) по сложным процентам:

Наращенная сумма по сложным процентам

млн. руб.

млн. руб. - реальная стоимость 1,66 млн. руб. с учетом инфляции

Накопленные проценты I = S – K = 1,66 – 1,5 = 0,16 млн. руб.;

инфляционная сумма (сумма, которую “съела” инфляция) K_h = S – C = 1,66 – 0,938 = 0,722 млн. руб.;

реальный доход I₁ = C – K = 0,938 – 1,5 = - 0,562 млн. руб.;

реальная доходность

Сложная годовая ставка 50% при трехмесячной инфляции 77% дает отрицательную годовую доходность 150%.

б) По простым процентам:

Наращенная сумма по простым процентам

млн. руб.

млн. руб. - реальная стоимость 1,6875 млн. руб. с учетом инфляции по простым процентам.

Накопленные проценты млн. руб.;

инфляционная сумма млн. руб.;

реальный доход I₁= C – K = 0,953 – 1,5 = – 0,547 млн. руб.;

реальная доходность

Простая годовая ставка 50% при трехмесячной инфляции 77% дает годовую отрицательную доходность 146%.

Второй случай учета инфляции: п ри измерении эффективности (доходности) финансовойоперации

В этом случае применяется индексация процентной ставки, которая сводится к увеличению ставки процентов на величину, так называемой, инфляционной премии.

Назовем ставку с поправкой на инфляцию брутто-ставкой и обозначим ее r (ставка i + маржа).

Для нахождения брутто-ставки составляется уравнение эквивалентности множителей наращения по брутто-ставке и по ставке i с учетом инфляции.

Рассчитаем брутто-ставки:

1. Для простых процентов:

Уравнение эквивалентности имеет вид:

реальная ставка

2. Для сложных процентов:

Уравнение эквивалентности имеет вид: ,

реальная ставка

Задача 12.

Продолжим решать задачу 11. В условиях этой задачи рассчитаем брутто-ставки для годовой простой и сложной ставки 50%.

а) Брутто-ставка простых процентов

Простая годовая ставка 396,5% годовых компенсирует инфляцию и дает реальный доход 50% годовых.

Проверка:

1) Наращенная сумма денег с учетом инфляции по брутто-ставке:

млн. руб.

2) Наращенная сумма по ставке i без учета инфляции:

млн. руб.

б) Брутто-ставка сложных процентов

Т.к. ставка i – годовая ставка, то темп инфляции должен быть рассчитан за год.

- на столько процентов увеличились цены за год.

Годовая сложная брутто-ставка r = 1372,25% компенсирует инфляцию и дает годовой доход 50%.

Проверка:

1) Наращенная сумма денег с учетом инфляции по брутто-ставке r:

млн .руб.

2) Наращенная сумма по ставке i без учета инфляции:

млн. руб.

Модуль 3. Консолидация и пролонгация финансовых обязательств

Случай 1.

Консолидированный платеж S₀расположен между консолидируемыми платежами. Иначе, есть платежи до и после консолидированного платежа.

Расположим платежи на временной оси в порядке возрастания их дат.

Найдем величину консолидированного платежа S₀, используя простую процентную ставку i. Платежи S₁, S₂, Sj производятся раньше консолидированного платежа s₀, поэтому они наращиваются.

Платежи S_к-1, Sк производятся позднее консолидированного платежа s₀, поэтому они дисконтируются.

Формула для расчета консолидированного платежа будет выглядеть так:

Случай 2.

Консолидированный платеж S₀расположен раньше всех консолидируемых платежей.

Формула для расчета консолидированного платежа будет выглядеть так:

Случай 3.

Консолидированный платеж S₀расположен позднее всех консолидируемых платежей.

Формула для расчета консолидированного платежа будет выглядеть так:

Задача 4.

Три платежа млн. руб., млн. руб., млн руб. со сроками уплаты соответственно через 100, 120 и 150 дней заменяются одним со сроком уплаты через 180 дней при простой ставке 20%. Найти сумму консолидированного платежа (год принять равным 360 дней).

Решение:

Платежи и даты их выплат изобразим точками на временной оси в порядке возрастания дней выплат:

За базовую дату примем день выплаты консолидированного платежа .

Т.к. срок объединяемых платежей меньше срока платежа , то приведение платежей к моменту выплаты консолидированного платежа будет выполняться с помощью операции наращения.

Решение

Возьмем за базовую дату 1.04.01 и составим уравнение эквивалентности, учитывая два условия:

1) все платежи приведены к базовой дате;

2) старые долги равны новым долгам.

Т.к. базовая дата самая поздняя из всех, то платежи и наращиваются.

млн. руб.

Модуль 4. Рентные платежи

Современные финансово-банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д.

Такие последовательности называются потоком платежей, а отдельный элемент последовательности - членом потока.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называется финансовой рентой или аннуитетом.

Характеристики ренты

Рента характеризуется следующими параметрами:

член ренты R - размер отдельного годового платежа;

период ренты - временной интервал между двумя последовательными платежами;

срок ренты n - время от начала первого периода ренты до конца последнего периода;

процентная ставка i;

число p платежей в году;

частота m начисления процентов.

Классификация рент

1. ренты немедленные (начало срока ренты и начало действия контракта совпадают) и ренты отсроченные;

2. ренты с ежегодным начислением процентов (m=1), начислением процентов m раз в году и непрерывным начислением процентов;

3. ренты с постоянными и переменными членами;

4. ренты конечные и бесконечные. Если срок ренты более 50 лет, рента считается вечной.

5. рента обычная или постнумерандо, если платежи производятся в конце периода; рента пренумерандо, если платежи производятся в начале периода.

Пример 4-х летней ренты постнумерандо:

Пример 4-х летней ренты пренумерандо:

Обычно анализ потока платежей предполагает расчет или наращенной суммы или современной стоимости.

Наращенная сумма S ренты

Наращенная сумма - сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

1. Годовая рента постнумерандо

Ее характеристики: член ренты R, срок ренты n, ставка i, число выплат в году p=1, число начислений процентов в году m=1.

Положим n=4 года и выведем формулу наращенной суммы ренты.

Построим схему наращения членов ренты на временной оси. Т.к. срок ренты больше одного года, естественно использовать сложные проценты.

Например, на член ренты R, внесенный в конце первого года, будут начисляться проценты 3 года. К концу срока ренты эта сумма будет составлять .

Подобным образом, на член ренты R, внесенный в конце второго года, будут начисляться проценты 2 года. К концу срока ренты эта сумма будет составлять . И т. д.

Современная стоимость ренты

Под современной стоимостью А потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты.

1. Годовая рента постнумерандо (Характеристики ренты R. n, i, p=1, m=1).

Схема дисконтирования:

Пусть n=4 года. Найдем современную стоимость ренты.

Замечание: Воспользовались формулой суммы убывающей геометрической прогрессии

Современная стоимость ренты сроком n лет

- коэффициент приведения ренты.

Пример 8. Рента постнумерандо характеризуется следующими параметрами:

Член ренты R=4 млн. руб., срок ренты n=5 лет, годовая ставка i = 18,5%. Найти сегодняшнюю стоимость ренты.

Полученная сумма означает, что если сегодня положить 12,368 млн. руб. под годовую ставку18,5%, то в течении 5 лет в конце каждого года можно получать по 4млн. руб.

2. Годовая рента постнумерандо, начисление процентов m раз в году (Характеристики ренты R, n, j, m¹1, p=1)

Современная стоимость ;

3. Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются 1 раз в году (Характеристики ренты R, n, i, m=1, p¹1)

Современная стоимость ;

4.Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются m раз в году, число выплат p совпадает с числом начисления процентов m (Характеристики ренты R, n, j, m=p¹1)

Современная стоимость ;

5.Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются m раз в году, периоды выплат p не совпадают с периодами начислений процентов (Характеристики ренты R, n, j, m¹p¹1)

Современная стоимость .

Вечная рента постнумерандо

В последней формуле современной стоимости ренты увеличим срок ренты n до бесконечности (n®¥). Коэффициент приведения ренты а_ni стремится к величине , поэтому современная величина такой ренты, называемой вечной, имеет вид .

7. Годовая рента пренумерандо (Характеристики ренты R, n, i, m=1, р=1) Схема дисконтирования

Современная стоимость ренты .

Год

Проекты

А Б В А и Б Б и В 0-й 1-й 2-й 3-й -10 0 20 5 -10 10 0 15 -10 0 0 15 -20 0 20 20 -20 10 0 30 Периоды окупаемости проектов 2 1 3 2 3

Основными недостатками срока окупаемости являются:

1. Метод не учитывает влияние доходов последних периодов.

Например, проекты А и В имеют одинаковые затраты – 10 млн. руб.;

годовые доходы:

по проекту А по 4,2 млн. руб. в течение трех лет;

по проекту В по 3,8 млн. руб. в течение десяти лет.

Оба проекта в течение трех лет окупают вложения, но проект В более выгоден.

2. Метод основан на недисконтированных потоках, если потоки дисконтировать, срок окупаемости проектов увеличивается.

3. Показатель не обладает свойством аддитивности, т.е. сроки по разным проектам нельзя суммировать.

Модуль 6. Кредиты.

Планирование погашения долгосрочной задолженности

В это теме речь пойдет о разработке плана погашения займа, который состоит в составлении графика периодических платежей должника.

Расходы должника обычно называются срочными уплатами или расходами по займу.

Методы определения размера срочных уплат зависят от условий погашения долга, которые предусматривают:

1. срок займа n;

2. уровень и вид процентной ставки g (простая; сложная, проценты выплачиваются 1 раз в году, m раз в году);

3. методы уплаты процентов (сразу на всю сумму, и дальнейшее распределение одинаковыми суммами по периодам или проценты начисляются на непогашенный остаток долга);

4. способы погашения основной суммы долга (погашение основного долга равными суммами или погашение всей задолженности срочными уплатами).

Введем обозначения:

D - сумма задолжника (основная сумма без процентов);

Y - срочная уплата;

I - проценты по займу;

R - расходы по погашению основного долга;

g - ставка процентов по займу;

n - общий срок займа;

i - проценты по депозиту.

Планирование погасительного фонда

Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга в конце срока в виде разового платежа, то для накопления таковой суммы обычно создается погасительный фонд.

Погасительный фонд создается из последовательных взносов должника, на которые начисляются проценты. Очевидно, что сумма взносов в фонд вместе с начисленными процентами, накопленная к концу срока долга, должна быть равна его сумме.

Рассмотрим случай формирования фонда, когда взносы регулярны и одинаковы по величине и вносятся в конце года, т.е. речь идет о годовой ренте постнумерандо.

Накопленная к концу срока фонда сумма долга D с процентами есть наращенная сумма ренты S, равная

Обозначим множитель наращения ренты через , тогда член ренты и в фонд систематически вносится сумма

Величина процентного платежа , исчисленного по сложным процентам, вычисляют по формуле:

Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга по ставке g, то срочная уплата .

Для расчета накопленных за t лет сумм погасительного фонда используется формула наращенных сумм постоянных рент:

Пример 1.

Долг суммой 100 тыс. руб. выдан на 5 лет под ставку g= 20%. Для его погашения создается фонд. На инвестируемые средства начисляются проценты по ставке i = 22%. Необходимо найти размеры срочных уплат. Взносы производятся в конце каждого года равными суммами.

Решение:

Множитель наращения ,

Если проценты присоединяются к сумме долга, то срочная уплата тыс. руб.

Если проценты не присоединяются к сумме долга, то ежегодные взносы в банк

Погашение долга в рассрочку

Метод погашения долга в рассрочку частями называется амортизацией долга. Рассмотрим 2 способа погашения долга в рассрочку.

Пример 3.

Долг 1 000 тыс. руб. погашается в течение 5 лет платежами постнумерандо по ставке g = 10%. Составить план погашения кредита равными срочными выплатами с начислением процентов на непогашенный остаток.

Решение: Рассчитаем расход по займу R = Y.

Первая выплата основного долга d₁= 263,787 – 1 000 ´ 0,1 = 163,787 тыс. руб.;

остаток долга D₁ = 1 000 – 163,787 = 836,203 тыс. руб.;

Вторая выплата основного долга d₂= 263,783 – 836,203´0,1 = 180, 177 тыс. руб. и т. д.

Расчеты по погашению долга приведены в таблице 2.

Таблица 2

Год	Остаток долга на начало года	Расходы по займу Y	Проценты I		Погашение основного долга R
1 2 3 4 5	1 000 836,203 656,026 457,831 239,816	263,787 263,787 263,787 263,787 263,787		100,00 83,620 65,603 45,783 23,928		163,787 180,177 198,195 218,014 239,816
Итого		1318,935		318,935		1000

При таком погашении долга процентные платежи уменьшаются во времени, а сумма погашения основного долга увеличивается, расходы по займу остаются постоянными на весь срок, однако в этом случае должник немного переплачивает.

Замечание:

В случае срока кредита больше года применяются сложные проценты. Тогда процентный платеж I=D((1+g)ⁿ-1).

Второй способ: правило 78

Сумма порядковых номеров месяцев в году равна 78, отсюда и название правила.

Допустим, что срок кредита равен 1 год. Тогда согласно правилу 78 доля процентов в сумме расходов в первом месяце равна 12/78, во втором она составит 11/78 и т.д. Последняя уплата процентов равна 1/78.

Таким образом, доля процентов убывает, сумма погашения основного долга увеличивается.

Для годового срока:

Пример:

Потребительский кредит размером 240 тыс. руб., предоставленный на 1 год по ставке 20% годовых погасить по правилу 78.

Решение:

Общая сумма задолженности S = 240(1+0.2) = 288 тыс. руб.

Общая сумма выплаченных процентов I = 48 тыс. руб.

Сумма расходов по обслуживанию долга (ежемесячная выплата)

Y = 288/12 = 24 тыс. руб.

Находим процентные платежи по месяцам.

Для первого месяца:

тыс. руб.

Для второго месяца:

тыс. руб. и т.д.

Для двенадцатого месяца:

тыс. руб.

Обобщим правило 78 для кредита со сроком N месяцев.

Последовательные номера месяцев в обратном порядке представляют собой числа:

t = N, N-1, ..., 1.

Сумма этих чисел находится по формуле суммы арифметической прогрессии:

Ежемесячные выплаты процентов

Сумма списания основного долга

В каждом месяце выплаты процентов сокращаются на величину

, на такую же величину увеличивается сумма списания основного долга.

Важно отметить, что в потребительском кредите при разовом начислении процентов должник фактически выплачивает проценты и за описанные суммы долга, т.е. кредит обошелся бы дешевле, если бы проценты начислялись на остатки долга.

Потребительский кредит в сумме 10 млн. руб. выдан на три года при разовом начислении процентов по ставке 10% годовых. Погашение задолженности помесячное.

Составить амортизационные планы погашения кредита

a) по правилу 78;

б) по методу равномерного распределения выплат процентов.

Решение:

А) по правилу 78:

Общая сумма долга

руб.

Сумма расходов по обслуживанию долга

Сумма последовательных номеров месяцев

Рассчитаем процентные платежи I и суммы погашения основного долга R:

Для 1-го месяца

;

Для 2-го месяца

;

Для 30-го месяца

;

Для 36-го месяца

Общая сумма процентных платежей

Общая сумма выплат основного долга

б) по методу равномерного распределения выплат процентов:

Величину разового платежа Y представим в виде суммы

, где

Ежемесячная выплата основного долга

Ежемесячная выплата процентного платежа

Виды цен облигаций

1) Нарицательная или номинальная цена N:

2) Эмиссионная цена Р или цена первичного размещения долговых обязательств.

Если Р < N, цена называется дисконтной или со скидкой.

Если Р > N, цена называется с премией (ажио).

3) Рыночная или курсовая цена .

Рыночные цены существенно различаются между собой, поэтому для достижения их сопоставимости рассчитывается курс облигации.

Под курсом облигации понимают покупную цену одной облигации в расчете на 100 денежных единиц номинала, т.е. .

4) Выкупная цена или цена по истечению срока займа S.

Пример 1. Определить курс облигации номиналом N=1000 руб., если она реализована на рынке по цене: а) 920,30 руб.; б) 1125,0 руб.

Решение: а) Курс облигации . б) Курс облигации

В случае а) облигация приобретена с дисконтом 1000 - 920,30 = 79,70 руб.;

в случае б) – с премией 1000 – 1125 = -125 руб., означающей снижение общей доходности операций для инвестора.

Пример 2. Облигации номиналом N=25 тыс. руб. продаются по цене 24,5 тыс. руб. Найти курс облигаций.

Решение: Курс облигации Облигация куплена с дисконтом.

Пример 3. Курс ГКО (государственные краткосрочные облигации) номиналом N=100 тыс. руб. равен 77,5. Найти текущую цену облигации.

Решение: Текущая цена облигации равна

Доходность облигаций

Доходность облигации характеризуется рядом параметров, которые зависят от условий, предложенных эмитентом. Для облигаций, погашаемых в конце срока, на который они выпущены, доходность измеряется купонной доходностью, текущей доходностью и полной доходностью.

1. Купонная доходность - норма процента, которая указана на ценной бумаге и которую эмитент обязуется уплатить по каждому купону.

2. Текущая доходность , , – цена покупки или рыночная цена; годовая ставка купона.

3. Полная доходность учитывает все источники дохода. Иногда полную доходность называют ставкой помещения. Ставка помещения является расчетной величиной и в явном виде на рынке ценных бумаг не выступает.

Пример 1. На облигации указана купонная доходность 11,75% годовых. Номинал облигации 1000 руб. На каждый год имеются 2 купона. Найти доход от облигации за полгода и за год.

Решение: Доход от облигации за полгода равен

Доход от облигации за год

Пример 2.Найти текущую доходность облигации, если купонная доходность , курс облигации K= 95,0.

Решение: Текущая доходность облигации .

Облигации с нулевым купоном

Текущая стоимость облигации с нулевым купоном рассчитывается по формуле дисконтирования сложных процентов: , где r - рыночная норма доходности облигации; n – срок погашения облигации; S – сумма, выплачиваемая при погашении облигации.

Пример1. Облигации с нулевым купоном нарицательной стоимости 100 000 рублей и сроком погашения через 5 лет продаются за 63012 руб. Проанализировать целесообразность приобретения этих облигаций, если есть возможность альтернативного инвестирования с нормой доходности 12 %.

Решение: ; .

Приобретение облигаций нецелесообразно, т.к. альтернативное инвестирование имеет большую норму доходности. Иначе, 9,7% < 12%.

Выводы:

1) если рыночная норма дохода больше купонной ставки (18% >15%), то облигация продается со скидкой (дисконтом) по цене меньше номинала;

2) если рыночная норма дохода меньше купонной ставке (10% <15%), облигация продается c премией (ажио);

3) если рыночная норма дохода = купонной ставке, облигация продается по нарицательной стоимости.

Акции

Несмотря на привлекательность получения гарантированного дохода по облигациям, значительную часть рынка ценных бумаг составляют акции.

Акции, за исключением привилегированных акций, не относятся к ценным бумагам с фиксированным доходом. Поэтому эффективность операций с акциями может быть прогнозируема лишь условно.

Инвестор, вложивший свои средства в акции, подвергается воздействию большего финансового риска, чем владелец облигации.

При этом под риском будем понимать неопределенность в получении будущих доходов, т.е. возможность возникновения убытков или получения доходов, размеры которых меньше прогнозируемых.

Доход по акциям определяется двумя элементами:

1. доходом от выплачиваемых дивидендов;

2. разницей в цене покупки и продажи.

Если эффективность инвестиций в акцию выразить относительной величиной, то она может быть записана в следующем виде:

Акции различают простые и привилегированные.

Привилегированные акции является формой облигаций. Владелец имеет право получать фиксированную сумму каждый год, например, 9 % от номинала.

Привилегирование состоит в том, что выплата дивидендов по этим акциям должна осуществляться до распределения дивидендов по остальным акциям. Владение этими акциями не дает прав по управлению корпорациями.

Привилегированные акции, как и бессрочные облигации, генерируют доход неопределенно долго, поэтому их текущая стоимость определяется по формуле:

, где D - годовой дивидендный доход, r - рыночная норма прибыли.

Пример 1.

Чистая прибыль АОЗТ за год составила 48 млн. руб. Количество привилегированных акций составляет 10.000 акций. Средняя ставка ЦБРФ по централизованным кредитам – 90% годовых. Рассчитать курсовую стоимость привилегированной акции.

Решение:

Цена одной акции

Курсовая (текущая) стоимость акции

Различают несколько видов цены акции:

1) Номинальная – цена, указывается на бланке акции;

2) Эмиссионная – цена, по которой акция продается на первичном рынке;

3) Ликвидационная цена определяется в момент ликвидации общества.

Она показывает, какая часть стоимости активов по ценам, возможной реализации, оставшаяся после расчетов с кредиторами, приходится на одну акцию.

Особенность простых акций: они предоставляют право на часть собственности, а доход от вклада капитала в акции (дивиденд) является долей дохода корпорации, выпустившей акции.

Обычные акционеры являются юридическими совладельцами доли корпорации.

Пример 2.

Прибыль АОЗТ для выплаты дивидендов равна 1.200.00 руб. Общая сумма акций 5.000.000.

В том числе:

Привилегированных акций с фиксированным процентом, равным 30% – 500.000 акций; обыкновенных акций – 4.500.000.

Определить величину дивидендов по обыкновенным акциям.

Решение:

Рассчитаем сумму, приходящуюся на все привилегированные акции:

На одну привилегированную акцию приходится

На одну обыкновенную акцию приходится

Пример3.

Имеется АО с величиной акционерного капитала 30 млн. руб., разбитого на 3000 акций по 10000 руб. каждая. По окончании года работы АО получило прибыль 9 млн. руб., 1/3 которой, т.е. 3 млн. руб., была выплачена акционерам в виде дивидендов, а 2/3 нераспределенной прибыли было реинвестировано на расширение производства.

1) Определить величину дивиденда D.

2) Величину дивиденда в будущем году, если все условия останутся неизменными.

Решение:

1) Дивиденд

2) Величина собственного капитала = 30 млн. руб.+6 млн. руб.=36 млн. руб.

Стоимость акции

Дивиденд

Расчет дивидендов

Существует 3 варианта динамики прогнозных значений дивидендов, согласно которым рассчитываются допустимые с позиции инвестора вложения в ценные бумаги:

1 вариант: дивиденды во времени не меняются, расчет дохода по акциям соответствует рыночной цене акций.

Текущая цена акции , r – приемлемая рыночная норма доходности инвестиций на момент приобретения.

По этой формуле можно рассчитывать также текущая стоимость привилегированной акции.

Пример 4.

Величина выплаченного дивиденда составила 2.000 руб. Банки по вкладам выплачивают 10% годовых. Найти текущую цену акции.

Решение:

2 вариант: дивиденды возрастают с постоянным темпом прироста g:

Если D – базовая величина дивидендов, g – ежегодный темп прироста дивиденда, то текущую стоимость акции можно рассчитать по формуле:

(Применяется формула бесконечно убывающей геометрической прогрессии)

Эта формула называется моделью Гордона.

Пример 5.

Дивиденд за прошлый год составил 500 руб. Ожидается прирост дивиденда g =10% в год. Найти дивиденд за текущий год и за следующий год.

Решение:

Дивиденд за текущий год

Дивиденд за следующий год

Пример 6.

Дивиденд за прошлый год составил 500 руб. Ожидаемый ежегодный темп прироста дивиденда g =10% в год, требуемый уровень доходности r = 13%. Найти рыночную цену акции.

Решение:

Рыночная цена акции равна

3 вариант: дивиденды возрастают с изменяющимся темпом прироста дивидендов.

, где

– дивиденд, выплачиваемый в базисный период;

Dк – прогноз дивиденда в к-том периоде;

g – прогноз темпа прироста дивиденда в первые к периодов;

p - прогноз темпа прироста дивиденда в последние периоды.

Пример7.

Последний выплаченный дивиденд по акции равен 1$. Ожидается, что он будет возрастать в течение следующих трех лет с темпом 14%; затем темп прироста стабилизируется на величине 5%. Какова цена акции, если рыночная норма прибыли 15%.

Решение:

Применим формулу текущей стоимости акций с изменяющимся темпом прироста дивидендов:

Основная литература:

1. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих рисков. М., Дело Лтд, 1995.

2. Мелкумов Я.С. Финансовые вычисления. Теория и практика. М., ИНФРА-М, 2002.

3. Ковалев В.В. Финансовый анализ. М., Финансы и статистика, 1996.

4. Черкасов В. Е. Финансовый анализ в коммерческом банке. М., Инфра-М., 1995.

5. Сидорова О.Л. Финансово-экономические расчеты. Методические указания. Тюмень, 1997.

6. Ковалев В. В. Сборник задач по финансовому анализу. М. Инфра-М.,1997.

Дополнительная литература:

1. 1.И.Я. Лукасевич И.Я. Анализ финансовых операций. М, Финансы, ЮНИТИ, 1998.

2. Касимова О.Ю. Введение в финансовую математику. М, АНКИЛ, 2001.

3. Кочович Е. Финансовая математика: теория и практика финансово-банковских расчетов. М., Финансы и статистика, 1994.

4. Башарин Г. П. Начала финансовой математики. М., 1997.

5. Е. К. Овчаренко, О. П. Ильина, Е. В. Балыбердин Финансово-экономические расчеты в EXCEL, изд. 2, М.: Филин, 1998 г.

6. В.В. Капитоленко Финансовая математика и ее приложения. М.: ПРИОР, 1998.

7. В.И. Малыхин Финансовая математика. М.: ЮНИТИ, 2000.

8. Ю.П. Лукашин Финансовая математика. Учебно-практическое пособие. МЭСИ, дистанционное образование.

9. Количественные методы финансового анализа. Под редакцией Стивена Дж. Брауна, Марка П. Крицмена. М.: ИНФРА-М, 1996.