Корень квадратный из n - это число, которое  при  умножении само на себя, даёт n. Например, квадратный корень 9 будет 3, потому что 3 х 3 = 9. Квадратный корень используется при решении многих научных и инженерных задач и почти всегда рассчитывается на калькуляторе. Следующий метод обеспечивает точную оценку ответа.

При оценке квадратного корня, ваша цель - прийти к числу, которое при умножении само на себя приближается к исходному. Так как квадратный корень большинства чисел не целое число, ваша оценка, вероятно, тоже будет содержать дробную часть.

Давайте начнём с приближённой оценки квадратного корня 19. Ваше первое действие - размышление о том, какое число при умножении само на себя становится как можно ближе к 19. Ну, 4 х 4 = 16 и 5 х 5 = 25. Так как 25 - через чур много, наш ответ должен быть 4, запятая, «что-то». Ваш следующий шаг - деление 19 на 4, дающее 4,75. Теперь, так как 4 х 4 меньше чем 4 х 4,75 = 19 (что в свою очередь меньше 4,75 х 4,75), то мы знаем, что 19 (или 4 х 4,75) находится между

42  и 4,752. Следовательно, квадратный корень 19 лежит между 4 и 4,75.

Я бы предположил, что квадратный корень 19 будет посередине, на отметке 4,375. В действительности, квадратный корень 19 (округлённый до тысячных) будет 4,359, так что наша приблизительная оценка довольна близка. Мы проиллюстрировали данную процедуру следующим образом:

На самом деле, мы можем получить данный ответ другим способом, который может показаться вам легче. Мы знаем, что 4 в квадрате 16, что меньше 19 на 3. Чтобы улучшить нашу гипотезу, мы

« п р и б а в и м п о г р е ш н о с т ь , д е л ё н н у ю н а н а ш е у д в о е н н о е предположение». Здесь мы прибавим 8, делённое на 3, чтобы получить

4 и 3/8 = 4,375. Мы заметили, что этот метод всегда будет порождать ответ, который слегка больше точного.

Теперь вы попробуйте слегка более сложный пример. Какой будет квадратный корень 87?

Сперва прийдите к своему приблизительному итогу, который вы можете весьма быстро получить, если заметите: 9 х 9 = 81 и 10 х 10 = 100; это означает, что ответ будет 9 с «чем-то». Выполнив деление 87 на 9 (до десятых), вы получите 9,66. Чтобы улучшить приближенную оценку, возьмите среднее между 9 и 9,66, которое равно 9,33 - точный квадратный корень 87, округлённый до десятых! Альтернативным образом, наша приближённая оценка будет выглядеть как 9 + (погрешность)/18 = 9 + 6/18 = 9,33 (в периоде).

Использование этой техники делает приближённую оценку квадратного корня довольно-таки лёгкой для  двузначных  чисел.  Но как на счёт трёхзначных? В действительности,  они  не  намного сложнее. Я могу сказать вам прямо с места в карьер, что все трёхзначные и четырёхзначные числа имеют двузначные квадратные корни (до десятых). И процедура вычисления корня такая же, независимо того, насколько большое число. Например, чтобы посчитать квадратный корень 679, сначала нужно прикинуть итог. Потому что 20 - квадратный корень 400, 30 - квадратный корень 900,

квадратный корень 679 должен лежать между 20  и 30.

Когда вы разделите 679 на 20, то получите примерно 34.

Усреднение 20 и 34 даёт нам приблизительную оценку в размере 27, но

есть прикидка получше. Если вы в курсе, что 25 в квадрате 625, тогда ваша погрешность 679 - 625 = 54. Разделив это число на 50, мы получим 54/50 = 108/100 = 1,08. Следовательно, наша улучшенная оценка будет 25 + 1,08 = 26,08. (для ещё более точной прикидки: если вы в курсе, что 26 в квадрате 676, ваша погрешность будет 3, так что прибавьте 3/52 (приближённо равно 0.06), дабы получить 26,06) Точный ответ будет 26,06, округлённый до десятых.

Чтобы приближ ённо оц енить к в адратный к орень четырёхзначного числа, взгляните на его первые две цифры. Например, чтобы найти квадратный корень 7369, рассмотрим квадратный корень 73. Так как 8 х 8 = 64 и 9 х 9 = 81, то 8 должна быть первой цифрой квадратного корня. Значит, ответ будет 80>. Теперь приступаем к обычному методу решения. Деление 7369 на 80 даёт 92 плюс дробь, так что хорошая приближённая оценка будет 86. Если вы возведёте в квадрат 86, дабы получить 7396, то вы «окажитесь выше» на 27. Так что следует вычесть 27/172 (приближённо равно 0,16) для улучшенной оценки 85,84, которая попадает прямо в точку.

Приближённая оценка квадратного корня  шестизначного  числа на подобие 593 472 может показаться сродни невозможному для непосвященного. Но вы даже не вспотеете. Так как 7002 = 490 000, и 8002 = 640 000, квадратный корень 593 472 должен находиться между 700 и 800. На самом деле, все пяти и шестизначные числа имеют трёхзначные квадратные корни. На практике, ваш нужно только посмотреть на квадратный корень первых двух цифр шестизначного числа (или первые две цифры пятизначного). Как только вы выясните, что квадратный корень 59 лежит между 7 и 8, вы будете знать, что ответ 700>.

А теперь перейдём к привычному способу представления:

Точный квадратный корень 593 472 будет 770,37, так что вы довольно близки. Но вы способны быть ещё ближе, как продемонстрирует следующий трикс. Обратите внимание, что первые две цифры, 59, ближе к 64 (8 х 8), чем к 49 (7 х 7). Благодаря этому, вы можете начать прикидывать с цифры 8 и уже продолжить отсюда:

Просто ради забавы, давайте сделаем что-нибудь с настоящей громадиной - квадратный корень 28 674 529. Это не так тяжело, как кажется. Ваш первый шаг - округление до наибольшего ближайшего числа. В данном случае, просто найдите квадратный корень 29.

Все семизначные и восьмизначные числа имеют четырёхзначные квадратные корни. Таким образом, 5,4 становится 5400 - вашей оценкой. Точный ответ на самую малость больше 5354,8. Неплохо!

Это завершает Главу о приближённых оценках в математике. После выполнения упражнений ниже, переходите к следующей главе о математике с ручкой и бумагой, где вы научитесь записывать ответы на задачки, но куда более быстрым способом, нежели раньше.