Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Прямая как линия пресечения двух плоскостей
4. Угол между двумя прямыми в пространстве
5. Угол прямой с плоскостью
6. Точка пересечения прямой и плоскости
Цели занятия: научиться определять вид уравнения прямой для различных условий; получить представление о пространственном положении прямой различного вида; научиться определять взаимное положение между прямыми и прямой и плоскостью в пространстве.
Роль и место лекции
В предыдущей лекции начато изучение раздела математики «Аналитическая геометрия». Мы познакомились с видом аналитических выражений для различных плоскостей. Полученные знания непосредственно пригодятся в Лекции 12 при определении взаимного положения прямой и плоскости, а также при определении прямой как линии пересечения плоскостей. В данной лекции при решении вопроса о пересечении плоскостей пригодятся знания, полученные по системам линейных уравнений. Кроме того, необходимы знания векторной алгебры. Представленный в этой лекции материал потребуется при рассмотрении прямой в системе координат на плоскости.
1. Векторное, каноническое и параметрическое уравнения прямой
Возьмем произвольную точку 
. Через одну точку можно провести бесконечное число прямых l, поэтому зададим направление прямой, задав направляющий вектор 
. Возьмем текущую точку 
. Очевидно (рис. 1)
. (1)
Поскольку 
, то 
, т. е.
|
. (2)
Из (1) и (2) 
, откуда векторное уравнение прямой
. (3)
Если векторы (3) представить в системе координат, то получим уравнение прямой в пространстве в параметрическом виде
. (4)
Из (4) выразим t : 
, 
, 
. Или представим уравнение прямой (4) в каноническом виде
. (5)
Если за направляющий вектор взять 
, то выражение (5) примет вид
. (6)
2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Пусть l проходит через 
и 
. Тогда за направляющий вектор возьмем 
, и выражение (5) примет вид уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
. (7)
3. Прямая, как линия пресечения двух плоскостей
Даны две плоскости: 
и 
с перпендикулярами 
и 
. Пусть эти плоскости пересекаются. Пересечение плоскостей образует прямую 
. Т. е. 
и 
. Следовательно, общее уравнение прямой l будет определятся системой уравнений
|
. (8)
3.1. Переход от общего уравнения прямой к каноническому
Поскольку и , то 
и 
. Следовательно 
и 
. То есть 
. Решим систему (8). Поскольку плоскости пересекаются 
, то 
. Свободных неизвестных: 3-2=1. Пусть 
, тогда, подставляя ее в (8), получим систему уравнений определяющих точку прямой 
.
ПРИМЕР 1.
Прямая задана системой 
. Представим это уравнение в каноническом виде. Определим направляющий вектор
.
Определим точку . Примем 
.
.
Вычитаем из первого уравнения второе и получим 
, откуда 
, 
, а точка 
, а уравнение прямой в каноническом виде
.
3.2. Переход от канонического уравнения прямой к общему
Запишем (7) в виде системы уравнений
. (9)
|
и 
или двумя плоскостями, параллельными двум координатным осям.
4. Угол между двумя прямыми в пространстве
Заданы две прямые в пространстве 
и 
. Определим угол 
. Угол между прямыми определяется углом между направляющими векторами
. (10)
4.1. Условие перпендикулярности прямых
или 
.
4.2. Условие параллельности прямых
или 
.
5. Угол прямой с плоскостью
Дана плоскость 
и прямая
.
Определение 1.
Углом прямой с плоскостью называется угол, образованный этой прямой и ее проекцией на плоскость 
.
Учитывая 
и правило скалярного произведения, определим
. (10)
|
или 
.
5.2. Условие параллельности прямой и плоскости
или 
.
ПРИМЕР 2.
Даны: 
и 
. Их расположение:
а) 
и 
не перпендикулярны.
б) 
и 
не параллельны.
в) 
.
6. Точка пересечения прямой и плоскости
Дана плоскость и прямая 
. Тогда точка пересечения будет определяться системой уравнений
= 
. (11)
Откуда 
,
.
Рассмотрим три случая:
1. Если 
, то 
. Тогда t подставляем в (11).
2. Если 
и 
, тогда t – множество и 
.
3. Если , но 
, тогда решений нет и l не пересекает , т. е. 
.
|
Даны: точка 
и плоскость 
. Определить точку проекции М1 на плоскость. Определим их положение.
Запишем с учетом 
уравнение прямой, проходящей через точку М 
, тогда точка пересечения будет определяться системой 
, откуда 
. Т. е. 
.
Заключение
В лекции рассматривалось уравнение прямой в пространстве. Важно понять, что плоскость – это частный случай уравнения прямой. Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве аналогичны условиям для плоскостей. При определении прямой как линии пересечения двух плоскостей необходимо знать правило векторного умножения. В следующей лекции будет рассматриваться частный случай прямой в декартовой системе координат на плоскости. Отметим следующее:
- в каноническом уравнении прямой в пространстве двойное равенство;
- общее уравнение прямой в пространстве задается системой двух уравнений плоскости в пространстве;
- если в уравнении прямой отсутствует переменная, то это уравнение плоскости в ;
- угол между плоскостями определяется на основе скалярного произведения векторов нормалей к плоскостям;
- угол между прямой и плоскостью определяется не через косинус, а через синус угла;
- при определении точки пересечения прямой и плоскости необходимо решать систему уравнений.
Литература
1. Рыжков В.В. Лекции по аналитической геометрии. - М.: Факториал пресс, 2000. – 208 с.
2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.
3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с.
Лекция 13
91
Дата: 2018-12-21, просмотров: 280.
