Определение 1.
Системы с n уравнениями и n неизвестными называются системами вида
, (1)
где 
– коэффициенты системы уравнений, 
– свободные члены, 
– неизвестные. В более компактном виде систему (1) можно записать как
. (2)
|
, 
, 
.
Согласно правилу умножения матриц запишем систему (1) в матричном виде:
. (3)
Определение 2.
Совокупность значений неизвестных 
, обращающая каждое уравнение системы (1) в числовое равенство, называется решением системы.
Определение 3.
Система называется совместной, если она имеет решения, и несовместной – если решений не имеет.
Определение 4.
Совместная система называется определенной, если имеет одно решение, и неопределенной, если решений множество.
Так как основная матрица квадратная, то существует определитель системы
.
Заменим j-й столбец (при коэффициентах 
) столбцом свободных членов. При этом получим j-й определитель 
:
.
1.1. Метод Крамера
Теорема 1 (Крамера).
|
, то система имеет единственное решение, определяемое по формуле
. (4)
Доказательство.
Умножим каждое уравнение системы на соответствующие алгебраические дополнения к элементам первого столбца, т. е. первое уравнение (1) умножим на 
, второе уравнение умножим на 
, треть уравнение умножим на 
и т. д. Результаты умножения сложим и согласно теореме Лапласа получим:
.
Отсюда следует 
или 
. Аналогичным образом, умножая уравнения на алгебраические дополнения последующих столбцов, можно доказать (4) для любого i.
ПРИМЕР 1.
Для системы имеем основную матрицу и определитель
, 
.
Запишем соответствующие j-е определители для столбцов
, 
, 
.
Тогда решение системы: 
, 
, 
. Решение 
.
1.2. Матричный метод
Если системы, то матрица А – невырожденная и существует 
. Тогда разрешая систему (3) относительно матрицы неизвестных X, получим уравнение
. (5)
|
Для системы из предыдущего примера найдем обратную матрицу:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Тогда
, 
Результат соответствует методу Крамера.
3. Системы с m линейными уравнениями и n неизвестными
Определение 5.
Системы с m линейными уравнениями и n неизвестными называются системы вида
. (6)
Определение 6.
Расширенной матрицей называется матрица, составленная из основной матрицы путем добавления столбца свободных членов:
.
Теорема 1 (Кронекера – Капелли).
Системы с m линейными уравнениями и n неизвестными совместны тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы 
.
Следствия !!!
1. Если 
, то система не совместна.
2. Если 
(числу неизвестных), то система имеет единственное решение. Для отыскания этого решения берут n уравнений и решают любым методом.
|
, то система имеет множество решений. В этом случае решения находят следующим образом.
- Пусть 
.
- За свободные переменные принимают любые 
неизвестных.
- Оставшиеся r неизвестных выражают через свободные переменные.
- Свободным переменным придают некоторое значение и находят решение известными методами. Для других значений свободных переменных находят другие решения и т. д.
ПРИМЕР 2.
, 
,
множество решений. Примем 
свободных неизвестных. Пусть 
. Из второго уравнения 
. Из первого уравнения 
, 
или 
. Запишем решение: 
.
3. Системы линейных однородных уравнений
Определение 7.
Система m линейных уравнений с n неизвестными называется однородной, если свободные члены равны нулю.
. (7)
Очевидно !!!
1. Значения 
- решение системы (7). Следовательно, однородные системы совместны. Матрицы А~В, так как они отличаются нулевым столбцом, т. е. 
и по теореме Кронекера – Капелли система совместна.
2. Если 
, решений множество и нулевое будет среди них.
Для отыскания ненулевых решений (7) берут любые 
уравнений, таких, что коэффициенты образуют 
. Из этих уравнений r неизвестные также выражаются через остальные , называемые свободными.
|
, то очевидно, что можно сформировать 
линейно-независимых решений, принимая значения свободных переменных в соответствии с
. (9)
Определение 8.
Совокупность решений, полученная на основе полной линейно-независимой системы значений свободных переменных, называется фундаментальной.
ПРИМЕР 3:
, 
.
Это однородная система ( 
, 
). Примем 
свободных неизвестных. Пусть 
- свободные. Выразим оставшиеся переменные через свободные переменные. Вычтем из второго уравнения удвоенное первое и получим
.
Из третьего уравнения вычтем первое, умноженное на 6, и получим
.
Тогда система решений имеет вид 
. Примем значения такие, что 
, 
и вектор решения 
. Примем 
, 
и вектор решения 
. Поскольку вектора 
и 
линейно независимы, множество решений будет определяться линейной комбинацией этих векторов 
.
4. Метод Жордана – Гаусса
Поскольку 
, то, если путем элементарных преобразований свести матрицу A к единичной матрице 
, получим 
. То есть для решения системы необходимо путем элементарных преобразований свести расширенную матрицу к единичной диагональной. Тогда столбец свободных членов примет значения, соответствующие решению
|
~ 
~
~ 
.
Таким образом, последний столбец соответствует решению системы линейных уравнений 
. Если в системе уравнений , то принимаются определенные значения свободных переменных в соответствии с (9). Полученные коэффициенты добавляются к столбцу свободных членов и решения находятся по описанному выше алгоритму.
ПРИМЕР 4.
, 
~ 
~ 
~ 
~ 
~ 
~ 
.
Ответ сходится с решением методом Крамера.
|
В лекции введено понятие «система линейных уравнений». Для правильного ее решения важно понимать и уметь вычислять определитель и ранг обычной и расширенной матриц. При возникновении затруднений в этом вопросе рекомендуется вернуться к двум прошлым лекциям. Видно, что методов решений множество. Далеко не все здесь представлены. Так метод матриц компактен, но не нагляден. Методы Крамера и Жордана – Гаусса более наглядны, однако необходимо большое количество операций при вычислении. За счет однотипности операций метод Жордана – Гаусса легче переводится на языки программирования. Известный еще со школы метод непосредственной подстановки наиболее нагляден и прост, но и он требует наибольшее количество вычислений, и переложить его на язык программирования практически невозможно. Важно отметить необходимость понятия «фундаментальное» решение. Отметим следующее:
- ранги обычной и расширенной матриц могут быть не равны, и система в этом случае не совместна;
- в случае их равенства решение может быть единственным (квадратная матрица) или их может быть множество (прямоугольная матрица);
- в матричном методе используется обратная матрица;
- в методе Крамера используются дополнительные определители;
- в методе Жордана – Гаусса необходимо свести основную матрицу к единичной;
- в однородных уравнениях правые части равны нулю;
- с помощью фундаментального решения системы однородных уравнений можно получить множество решений.
Литература
1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2001.
3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа,1998.
4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с.
Лекция 11
Дата: 2018-12-21, просмотров: 320.
