Скалярное произведение векторов
Угол между векторами; направляющие косинус векторы
Цели занятия: познакомиться с понятием эвклидова пространства; на основе предыдущей лекции рассмотреть эвклидово пространство как частный случай; понять смысл скалярного произведения; научиться определять скалярное произведение векторов, представленных в различных видах.
Роль и место лекции.
Полученные знания будут необходимы для восприятия темы «Векторный анализ, элементы теории поля». Такое фундаментальное понятие, как «скалярное произведение» позволит взглянуть на понятие пространства с другой стороны и осознать, что эвклидово пространство – это некоторая часть нашего мира, удовлетворяющая лишь определенным условиям. На основе этого пространства формируются аксиомы. В другом пространстве может формироваться новая математика.
1. Понятие «эвклидово пространство»
Возьмем трехмерное линейное пространство L= .
Определение 1.
Скалярным произведением двух элементов и пространства L называется функционал , удовлетворяющий определенным свойствам:
. (1).
Обозначается скалярное произведение как или .
Возьмем n-мерное линейное пространство , в котором заданы два вектора и .
|
Скалярным произведением векторов и называется число , равное сумме попарных произведений соответствующих координат этих векторов.
. (2)
Проверим, удовлетворяет ли (2) определению 1.
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Аналогичным образом необходимо проверять любые функционалы, претендующие на скалярное произведение. Возьмем пространство - квадрат интегрируемых функций
Определение 3.
Скалярным произведением функций и называется интеграл произведения этих функций на отрезке
. (3)
Удовлетворяет ли выражение (2) условиям (1) предлагается проверить самостоятельно.
Определение 4.
Пространство, в котором определено скалярное произведение, называется эвклидовым, т. е. и – эвклидовы.
Теорема 1.
Всякое эвклидово пространство нормировано.
Доказательство.
Норма в эвклидовом пространстве задается как
|
1) ;
2) ;
3) .
1. , следовательно, .
2. Для проверки второго условия воспользуемся неравенством Коши-Буняковского:
. (4)
С учетом второго условия и (4) рассмотрим норму суммы:
.
3. = = .
Все три условия выполняются. Теорема доказана.
2. Скалярное произведение в трехмерном пространстве
Возьмем два вектора , .
Определение 5.
Скалярным произведением векторов в называется число , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
, где . (5)
С учетом равенства запишем выражение (5)
. (6)
Покажем, что (5) также удовлетворяет условиям (1):
1) ;
2) =(теорема 5, л. 2)= = ;
3) ;
4) .
ПРИМЕР 1.
|
Теорема 2.
Два вектора перпендикулярны , когда их скалярное произведение было равно нулю. .
Доказательство.
Необходимость. Дано . Доказать, что .
Из определения 5 следует, что = , следовательно, .
Достаточность. Дано . Доказать, что .
. Тогда или , или . Поскольку рассматриваем не нулевые векторы, то .
Вывод!!! перпендикулярен любому вектору.
3. Скалярное произведение векторов
Возьмем два вектора в , заданных своими проекциями: , .
Скалярное произведение этих векторов
, т. к. это базисные векторы и , а , так как . Поэтому
. (7)
|
Возьмем два вектора в , заданных своими проекциями, – , . Из (5)
. (8)
Найдем углы между вектором и базисными векторами . То есть , , (рис. 2).
Аналогично найдем остальные косинусы
. (9)
Определение 6.
Направляющим называется косинус угла между вектором и одним из базисных векторов. Единичный вектор может быть задан как .
Заключение
В лекции рассматривалось эвклидово пространство, математический и физический смысл скалярного произведения; изучено понятие «направляющий косинус». Отметим:
- в эвклидовом пространстве пространство должно быть задано скалярное произведение;
- скалярное произведение есть число;
- два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0;
- угол между векторами определяется их скалярным произведением и длинами векторов;
- единичный вектор можно задавать направляющими косинусами.
Литература
1. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.
2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.
Лекция 8
53
Определители, векторные и
Дата: 2018-12-21, просмотров: 282.