Действия над комплексными числами в

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

тригонометрической и показательной формах

Пусть даны комплексныt числа , , .

В показательной и тригонометрической формах записи их можно сравнивать, умножать на число, сопрягать, перемножать, делить, возводить в степень и извлекать из них корни. Рассмотрим эти действия подробнее.

11.3.1 Два комплексных числа равны, когда их модули равны и аргументы

отличаются на число, кратное .

В противном случае комплексные числа различные;

11.3.2 При умножении комплексного числа на действительное число получается число, модуль которого равен | |×|z| и аргумент при >0 не изменяется либо при <0 увеличивается на ,

11.3.3 При сопряжении комплексного числа получится число с тем же модулем , но с аргументом противоположного знака,

т.е его модуль не меняется, а аргумент изменит знак

(либо вычитается из );

11.3.4 При умножении числа комплексного числа на число получается число, модуль которого получается умножением модуля числа на модуль числа , аргумент получается сложением аргумента числа с аргументом числа ,

т.е. при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются

а аргументы складываются;

11.3.5 При делении числа на ненулевое число получается число, модуль которого получается делением модуля числа на модуль числа , аргумент получается вычитанием из аргумента числа аргумента числа ,

т.е. при делении двух комплексных чисел их модули делятся а аргументы вычитаются;

11.3.6 При возведении в натуральную степень n комплексного числа

получается комплексное число, модуль которого является n –й степенью

модуля числа z и аргумент получается умножением аргумента числа z

на натуральное число n ,

(23) - Формула Муавра ;

11.3.7 При извлечении корня степени , из комплексного числа

получается множество комплексных чисел, модули которых являются

корнем степени n из модуля числа z, аргумент каждого получается

подстановкой целого числа k в выражение ,

(24)

– Формула Муавра – Лапласа.

Среди корней степени , из комплексного числа z, различных чисел ровно n штук. Они получаются подстановкой последовательно n целых чисел (например к =0, 1, 2, … , n-1 ) в формулу (24). Такие комплексные числа лежат на одной окружности радиуса с центром в начале координат и являются вершинами вписанного в такую окружность правильного n- угольника с поворотом начальной вершины на угол (при к=0), остальные получаются каждый раз поворотом на угол .

Пример 15

Даны комплексные числа , и .

Найти модули и аргументы чисел .

Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни уравнения .

Решение:

1) Для числа найдём его модуль и аргумент:

, , .

Тогда ,

;

2) , при этом .

;

3) .

4) , , ,

;

5) .

Подставим последовательно к=0, к=1, к=2:

Изобразим найденные решения уравнения на комплексной плоскости:

все три найденных решения лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом . Три соответствующих точки комплексной плоскости являются вершинами правильного треугольника с поворотом начальной вершины на угол , угол между ними или 120⁰ .

Упражнения

12.1 В треугольнике АВС проведена медиана AD, D – середина стороны ВС.

Доказать, что .

12.2 Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, найти суммы векторов:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Ответ:1) ; 2) ; 3) ; 4) .

12.3 Дан тетраэдр ABCD. Найти суммы векторов:

1) ; 2) .

Ответ:1) ; 2) .

12.4 Даны три компланарных единичных вектора вектора ,

причем .

Построить вектор и вычислить его модуль.

Ответ: .

12.5 Составляющие для скорости направлены под углом 60⁰ друг к другу

и равны соответственно 6 и 4 м/с. Найти скорость результирующего

движения.

Ответ: м/с.

12.6 В параллелограмме ABCD , О – точка пересечения

диагоналей. Выразить векторы через векторы и .

Ответ: .

12.7 Найти скалярное произведение векторов, модули которых 5 и 6 и угол

между ними равен

1) 45⁰ ; 2) 60⁰ ; 3) 90⁰ ; 4) 120⁰ ; 5) 180⁰.

Ответ: 1) 15 ; 2) 15; 3) 0; 4) -15; 5) -30.

12.8 Дано ⁰.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

Ответ: 1)-10; 2) 25; 3) -39; 4) 61; 5) 1101.

12.9 Дано . Найти модуль вектора .

Ответ: .

12.10 Даны три некомпланарных вектора , причем известно, что

, ^ .

Найти 1) ; 2) .

Ответ: 1) -3; 2) 26.

12.11 Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на

векторах и , где и – единичные векторы,

угол между которыми равен 60⁰.

Ответ: 3 и .

12.12 Найти скалярное произведение векторов

1) и ;

2) и ;

3) и , если А(1; 2; 0), В(0; -1; 3), С(4; -1; 3) и D(2; 0; -2).

Ответ: 1) 5; 2) -3; 3) -16.

12.13 При каком значении m векторы =(4; m; -6) и =(m; 2; -7) взаимно

перпендикулярны?

Ответ: -7.

12.14 Найти площадь треугольника АВС, если А(1; 2: 3), В(-1; 3; 1) и С(0; -1; 4).

Ответ: .

12.14 Найти объем тетраэдра АBCD, если его вершины A(1; 2; 1), B(3; -1; 2),

C(0; 5; -4) и D(5; 1; 1).

Ответ: 13,5 .

12.15 Записать полярные координаты точек А(0; 3), В(-5; 0), С(2; -4).

Ответ: А(3; 0) , В(5; ) , С( ).

12.16 Найти решения уравнения .

Ответ: z₁=-1, z₂=1, z₃= – 2i, z₄=2i.

12.17 Изобразить на комплексной плоскости решения уравнения

Ответ:

13 Вопросы для самоконтроля

13.1 В чём разница между скалярными и векторными величины? Привести насколько примеров величин обоих видов.

13.2 Перечислите способы построения суммы векторов, чем они отличаются и могут ли получиться разные результаты для одинаковых слагаемых.

13.3 Как построить разность двух векторов, как связана разность векторов с суммой таких векторов?

13.4 Перечислить свойства линейных операций над векторами (сложения, вычитания, умножения на число).

13.5 Будут ли линейно зависимыми противоположные векторы?

13.6 Можно ли взять базисом два ненулевых вектора с углом между ними 60⁰?

13.7 Какие векторы задают аффинные координаты (-1; 0) , (0; 1) , (0; -1) ?

13.8 Что можно сказать о взаимном расположении двух векторов, скалярное произведение которых нулевое, отрицательное, положительное?

13.9 Как найти модуль вектора, заданного своим разложением по аффинному базису с известными модулями базисных векторов и углами между ними?

13.10 Как графически найти координаты точки пространства после введения декартовой системы координат этого пространства?

13.11 Как сложить, вычесть два вектора декартовых координатах и умножить их на число? Перечислить свойства этих операций.

13.12 Перечислить способы нахождения результатов скалярного и векторного произведений двух векторов, заданных координатами. Чем существенно отличаются такие результаты?

13.13 Как разделить отрезок, заданный координатами начала и конца в отношении 3:2 ?

13.14 Перечислить последовательность действий для нахождения площади треугольника, заданного координатами вершин в пространстве.

13.15 Перечислить способ вычисления смешанного произведения трёх векторов и его основные свойства с геометрическим смыслом.

13.16 Как проверить некомпланарность трёх векторов с известными координатами?

13.17 Как найти координаты вектора в аффинном базисе, заданном своими координатами в декартовом базисе?

13.18 Что необходимо задать, чтобы получить полярную систему координат на фиксированной плоскости? Что и как нужно будет измерять, чтобы получать полярные координаты точек плоскости?

13.19 Указать связь между декартовыми и полярными координатами точек плоскости. Каково должно быть взаимное расположение декартовой и полярной систем координат при этом?

14.20 Как перевести комплексное число из алгебраической формы записи в тригонометрическую и показательную. Как выполнить обратное преобразование?

14.21 Записать формулы возведения в степень и извлечения корня из комплексного числа.

14 Контрольное задание

14.1 В базисе с модулями и углом между ними

заданы векторы и (см. таблицу).

Найти .

Вариант	Условия
Вариант
1	4	7	j=30^о	=2 -3	=5 +
2	4	5	j=60^о	=2 +	=3 +
3	5	3	j=30^о	=2 +3	=4 +6
4	1	5	j=90^о	=2 -	=4 +
5	3	5	j=150^о	=3 -	= +2
6	2	5	j=45^о	=5 -	= +3
7	2	3	j=90^о	=2 -	=5 +2
8	4	3	j=30^о	=2 -3	= +3
9	4	7	j=135^о	= -3	=2 +
10	4	1	j=120^о	=2 -	=3 -2
11	5	2	j=30^о	=2 -3	=2 +
12	4	7	j=30^о	=2 -3	=5 +
13	4	2	j=30^о	=2 -	=3 +
14	3	5	j=150^о	=3 -	=3 +2
15	6	7	j=30^о	=2 -	= +3
16	4	3	j=30^о	=3 -2	=3 +
17	2	5	j=90^о	=2 -3	= +
18	3	4	j=150^о	=2 -3	= +3
19	2	3	j=60^о	=2 -	=5 +2
20	3	4	j=150^о	= +3	=2 +
21	1	5	j=120^о	=4 -3	= +
22	3	4	j=30^о	=2 +4	= +
Вариант
23	4	2	j=60^о	=2 -	=2
24	5	3	j=30^о	=2 -	= +3
25	4	3	j=90^о	=4 -2	= +2
26	4	5	j=30^о	=2 -3	=5 +
27	3	2	j=60^о	= -2	=4 +5
28	4	1	j=30^о	=3 -	=4 +3
29	4	2	j=45^о	= -5	= +2
30	4	5	j=60^о	=6 +2	=4 -3
31	4	7	j=150^о	= -2	=2 +
32	3	4	j=60^о	=3 -2	=4 +5
33	4	5	j=120^о	=4 -2	=3 +3
34	4	2	j=30^о	=3 -5	=4 +

14.2 Даны векторы , , , (см. таблицу).

Найти для них

3) Косинусы углов и углы между

5) Площадь треугольника построенного на векторах

6) Смешанное произведение

7) Объём пирамиды построенной на

8) Разложение вектора по векторам , если они образуют базис.

Вариант
1	=(1;-5;-1)	=(5;-4;2)	=(2;3;4)	=(3;18;23)
2	=(1;-1;1)	=(1;2;2)	=(2;3;-2)	=(1;0;5)
3	=(1;-2;-1)	=(2;1;2)	=(2;3;-1)	=(6;0;-1)
4	=(1;1;-1)	=(-1;3;2)	=(2;3;-3)	=(-12;-4;19)
5	=(1;-3;-1)	=(3;2;2)	=(2;3;-2)	=(11;-2;-1)
6	=(1;-2;-1)	=(2;-2;2)	=(2;3;2)	=(6;12;2)
7	=(1;1;-1)	=(-1;-1;2)	=(2;3;1)	=(0;0;-1)
8	=(1;-2;-1)	=(2;5;2)	=(2;3;-5)	=(6;12;23)
9	=(1;3;-1)	=(-3;-2;2)	=(2;3;2)	=(1;-8;-3)
10	=(1;-4;-1)	=(4;3;2)	=(2;3;-3)	=(18;-4;-1)
11	=(1;3;-1)	=(-3;3;2)	=(2;3;-3)	=(-24;-18;27)
12	=(1;1;-1)	=(-1;4;2)	=(2;3;-4)	=(15;0;29)
13	=(1;-2;-1)	=(2;-3;2)	=(2;3;3)	=(6;20;7)
14	=(5;-2;-1)	=(2;-3;0)	=(1;3;3)	=(2;-4;4)
15	=(1;0;-1)	=(0;-2;2)	=(2;3;2)	=(4;10;0)
16	=(1;-1;-1)	=(1;2;2)	=(2;3;-2)	=(1;0;5)
17	=(1;3;-1)	=(-3;0;2)	=(2;3;0)	=(-9;-18;3)
18	=(1;-2;-1)	=(2;0;2)	=(2;3;0)	=(6;2;-2)
19	=(1;0;-1)	=(0;3;2)	=(2;3;-3)	=(-6;0;15)
20	=(1;-1;-1)	=(1;-3;2)	=(2;3;3)	=(6;20;5)
21	=(1;-2;-1)	=(2;0;2)	=(2;3;0)	=(6;2;-2)
Вариант
22	=(1;3;-1)	=(-3;2;2)	=(2;3;-2)	=(-19;-20; 17)
23	=(1;2;-1)	=(-2;4;2)	=(2;3;-4)	=(-22;-6; 34)
24	=(1;3;-1)	=(-3;-3;2)	=(2;3;3)	=(6;0;-3)
25	=(1;-2;-1)	=(2;-4;2)	=(2;3;4)	=(6;30;14)
26	=(1;-2;-1)	=(2;-4;2)	=(2;3;4)	=(6;30;14)
27	=(1;-2;-1)	=(2;2;2)	=(2;3;-2)	=(6;0;2)
28	=(1;3;-1)	=(-3;-3;2)	=(2;3;3)	=(6;0;-3)
29	=(1;0;-1)	=(0;-5;2)	=(2;3;5)	=(10;40;15)
30	=(1;-5;-1)	=(5;-5;2)	=(2;3;5)	=(0;30;25)
31	=(1;-5;-1)	=(5;-4;2)	=(2;3;4)	=(3;18;23)
32	=(1;-1;1)	=(1;2;2)	=(2;3;-2)	=(1;0;5)
33	=(1;-2;-1)	=(2;-1;2)	=(2;3;1)	=(6;6;-1)
34	=(1;1;-1)	=(-1;3;2)	=(2;3;-3)	=(-12;-4;19)

14.3 Точка А(х; у ) задана декартовыми координатами найти её полярные

координаты. Точка В( задана полярными координатами найти её

декартовы координаты.

Вариант	А(х; у )	В(
1	(-1; 2)	(5; 1)
2	(-3; -3)	(3; 3)
3	(4; -2)	(4; 2)
4	(-4; 0)	(3;-2 )
5	(3; -4)	(8; -3)
6	(-1; -1)	(2; 6)
7	(-3; -2)	(5; 3)
8	(3; -3)	(10; 2)
9	(4; -1)	(3; -1,5)
10	(5; 2)	(2; 2,5)
11	(1; 3)	(3; -3)
12	(2; -4)	(5; 0,5)
13	(-2; -2)	(4; -5)
14	(-4; 3)	(3; 2)
15	(2; -1)	(1; -2)
16	(0; -6)	(2; 3)
17	(3; -1)	(2; 3,2)
18	(-1; 3)	(4; -3)
19	(-6; 0)	(8; -6)
20	(3; 1)	(3; 6)
21	(2; 5)	(2; -4,2)
22	(-2; 6)	(3; 3,2)
23	(-5; -5)	(5; 0,4)
24	(-3; -1)	(4; -3)
25	(-2; 6)	(10; -1)
26	(3; -1)	(2; -5,2)
27	(-4; 0)	(2; 4,1)
28	(3; 0)	(3,2; -1)
29	(5; -5)	(5,4; 1)
30	(4; 6)	(3; -1,8)
31	(2; -6)	(4,2; -7)
32	(-4; 4)	(10; 3,1)
33	(2; 3)	(2,4; -2)
34	(0; 6)	(5; 0)

14.4 Даны комплексные числа

= a₁+b₁× i , = a₂+b₂×i , = a₃+b₃× i , = a₄+b₄× i (см. таблицу).

Для них

1) Найти ;

2) Найти и ;

3) Найти ;

4) Найти произведение матриц с комплексными элементами

;

5) Изобразить на комплексной плоскости числа , , .

Найти их модули и аргументы, записать в тригонометрической и

показательной формах;

6) Найти решения уравнений

а) + b×z + c =0 (см. таблицу);

б) z= ;

в) = .

(Все вычисления производить с округлением до двух знаков после запятой, все углы находить в градусах (либо в радианах)).

Вар.	Числа				+ b×z + c =0
Вар.					+ b×z + c =0
1	=-1-i	=1-4i	= -2	=2-3i	+4z+13=0
2	=3+2i	=-1-2i	= -1-5i	=3-5i	-10z+29=0
3	=3-3i	=-1-4i	=-1-5i	=3-5i	-6z+25=0
4	=-3i	=1-4i	=-2i	=2-2i	+12z+40=0
5	=-1-4i	=-3-4i	=1+i	=4-4i	+6z+45=0
6	=-4i	=3-4i	=3+i	=4-4i	-8z+41=0
7	=-3i	=-1-4i	=-2-4i	=2-6i	+8z+41=0
8	=3-2i	=-3-2i	=-2-i	=3-3i	+4z+13=0
9	=-1-2i	=-3-4i	=1-i	=3-3i	-4z+68=0
10	=-3i	=-1-4i	=-1-6i	=2-5i	+2z+26=0
11	=-4i	=1-4i	=-3-3i	=4-2i	+2z+17=0
12	=-4i	=3-4i	=-1-3i	=3-2i	-16z+65=0
Вар.	Числа				+ b×z + c =0
Вар.					+ b×z + c =0
13	=1-4i	=-1-4i	=i	=5-4i	-10z+34=0
14	=3-2i	=-3-2i	=2-5i	=2-6i	+10z+50=0
15	=-2i	=-3-4i	=-2-5i	=2-6i	+16z+53=0
16	=-3i	=-1-4i	=-1-2i	=4-3i	+6z+58=0
17	=1-3i	=-1-4i	=-1+i	=4-5i	+16z+68=0
18	=-4i	=1-4i	=2+i	=3-5i	-20z+125=0
19	=2-i	=-3-4i	=1-4i	=5-2i	-6z+18=0
20	=3-4i	=3-2i	=1-i	=2-4i	-14z+74=0
21	=1-4i	=4-4i	=-i	=2-4i	-4z+85=0
22	=-3i	=1-4i	=-1-6i	=3-6i	-18z+85
23	=2-4i	=-1-4i	=-2-3i	=3-3i	+6z+90=0
24	=-i	=1-4i	=-2-3i	=2-3i	-18z+90=0
25	=3-3i	=-3-4i	=-2-3i	=4-5i	-12z+61=0
26	=3-4i	=3-2i	=-5i	=4-2i	-16z+65=0
27	=2-4i	=-1-4i	=2-5i	=2-2i	+12z+45=0
28	=-3i	=-3-4i	=-2-2i	=3-4i	+14z+85=0
29	=3-4i	=-3-4i	=2+i	=3-6i	+18z+117=0
30	=-3	=-1-4i	=1+i	=2-6i	+18z+106=0
31	=-1-i	=1-4i	=-4i	=4-3i	+10z+86=0
32	=3-4i	=3-2i	=-1-i	=3-5i	+20z+136=0
33	=3-4i	=-1-4i	=-1-i	=5-5i	-16z+82=0
34	=-4i	=-3-4i	=-2-6i	=2-2i	-14z+98=0

Шпаргалка

· Скалярное произведение × =| |×| |×cos(j);

· Проекция вектора на ось пр_l =| |×cos( ^ l);

· Декартов базис если ;

· Если даны векторы и ,

то для них:

1) равенство ;

2) сумма ;

3) умножение на число ;

4) скалярное произведение ;

5) модули ;

6) ортогональность: Если ¹0 ¹0 и то ^ ;

7) косинус угла ; 8) векторы и коллинеарны.

· Для точек и

1) вектор

2) расстояние |АB|=

3) середина .

· Модуль векторного произведения ;

· Векторное произведение базисных векторов декартова базиса ( ; ; )

;

· Площадь треугольника АВС ;

· Векторное произведение в координатной форме ;

· sin ( ^ )= = ;

· Двойное векторное произведение ;

· Смешанное произведение ;

· ;

· Декартовы координаты по полярным ;

· Полярные координаты по декартовым r = , ;

· Действия над комплексными числами в алгебраической форме :

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

· z = |z|× ( cos( ) + i×sin( )) – тригонометрическая форма записи

комплексного числа;

· – Формула Эйлера;

· – показательная форма записи комплексного числа,

где ;

· Действия над комплексными числами в тригонометрической (показательной) формах :

1) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) - Формула Муавра ;

– Формула Муавра – Лапласа.

13 Рекомендуемая литература

13.1 Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и

аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980 – 176с.

13.2 Фролов С.В., Шостак Р.Я. Курс высшей математики. Т.1

– М.: Высшая школа, 1973 – 480с.

13.3 Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей

математики Т.1 – М.: Высшая школа, 1978.

13.4 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в

примерах и задачах. Ч. 1 – М.: Высшая школа, 1986 – 304, 416 с.

13.5 Шипачев В.С. Высшая математика: Учебное пособие для ВУЗов.

– М.: Высшая школа, 1996 – 479с.

13.6 Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

– М.: Наука, 1971 – 320с.

13.7 Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике. –

–М.: Айрис, 1998 – 288с.

13.8 Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: 1963 – 431с.

13.9 Орлов Ю.В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

часть 1 «Матричное исчисление. Решение систем линейных уравнений»

Учебно-методическое пособие по курсу «Высшая математика»

для бакалавров направления 080200.62 «Менеджмент».

–Новоуральск, НГТИ 2012 - 72 с.

Орлов Юрий Владимирович

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Часть 2 «Векторное исчисление»

Учебное-методическое пособие по курсу «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» для бакалавров направления 210100 «Электроника и наноэлектроника»

Новоуральск изд. НГТИ, 2012. −72 с.

Макет подготовлен на кафедре ВМ НТИ НИЯУ МИФИ

Подписано в печать _______________ Формат А5 Гарнитура

Печать плоская. Усл-печ. л. ________ Тираж _______ экз. Заказ _______

Отпечатано на ризографе НТИ

Издательство Новоуральского технологического института НИЯУ МИФИ,

624130, г.Новоуральск, ул. Ленина 85, НГТИ

Дата: 2018-12-21, просмотров: 326.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78