Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

                     6.1 Декартов базис

Опр.20  Векторы , , … ,   называется ортогональными, если скалярное

         произведение любой пары различных векторов равно нулю.

         Условие ортогональности можно заменить попарной           

         перпендикулярностью этих векторов ^  , .

 

Опр.21 Векторы , , … ,   называется нормированными, если каждый

         из векторов единичный.  

 

Опр.22 Векторы , , … ,     называется ортонормированными, если они      

             ортогональны и нормированы. Условие ортонормированности

  векторов в терминах скалярного произведения можно записать         

  следующим образом : (7) .

Опр.23 Декартовым базисом векторного пространства называются векторы   

        , , … ,     , которые ортонормированны и их количество n

      является размерностью векторного пространства.

 

 

Декартовым базисом на плоскости можно взять два вектора, которые единичные и взаимно перпендикулярные. Такие векторы обозначают  и , их порядок фиксирован: = , =  .

Разложение вектора   по базису ( ; ) имеет вид =x× +y× , где числа         х и y называются декартовыми координатами вектора   и = ( x ; y) ,     их ещё обозначают а_х  и а_у тогда = ( а_x ; а_у) .

 

Например, разложение вектора =(-2; 5) по базису ( ; ) имеет вид   = –2 +5 . Если же вектор  задан своим разложением в базисе ( ; ), например =3 –7 , то в этом базисе он имеет координаты (3; -7), т.е. =(3; -7).

Декартовым базисом трёхмерного пространства можно взять три вектора ( ; ; ) , которые единичные и попарно перпендикулярные т.е. если | |=| |=| |=1 и ^ , ^ , ^  . Такие векторы обозначают ,  и , их порядок фиксирован: = , = , = .

Разложение вектора  по базису ( ; ; ) имеет вид =x× +y× +z× ,   где числа x , y, z являются декартовыми координатами вектора   и =( x ; y; z) .

Например, разложение вектора =(2; -1; 3) по базису ( , , ) имеет вид =2 – +3 . Если = 2 – 5 , то в этом базисе вектор  имеет координаты (0; 2; -5), т. е.  =(0; 2; -5).

6.2 Декартова система координат плоскости и пространства

Пусть О - произ­вольная фиксированная точка некоторой плоскости и     ( ; ) - один из ортонормированных базисов той же плоскости.

 

Опр.20 Сово­купность фиксированной точки О и ортонормированного базиса ( ; ) называется декартовой (или прямо­угольной) системой координат на плоскости. Точка О назы­вается началом координат. Прямые Ох и Oу,  проходящие через начало координат в направлении базисных векторов  и  (Рис.13), называются осями координат: Ox - ось абсцисс, Оу - ось ординат. Систему координат будем обоз­начать O  или хOу, а плоскость с соответствующей систе­мой координат будем называть плоскостью Оху.

 

Легко увидеть, что декартова система координат на плоскости задается двумя взаимно перпенди­кулярными прямыми - осями, на каждой из которых вы­брано положительное направление и задан отрезок еди­ничной длины.  Оси координат делят плоскость на четыре области – четверти или квадранты.

Четверти нумеруются против часовой стрелки, как на рис.13.

 

 

Рассмотрим произвольную точку М плоско­сти Oxу (Рис.13).                  Радиус-вектором точки М по отношению к точ­ке О называется вектор , соединяющий начало координат с данной точкой.

Координатами точки М в системе координат O  называются координаты радиус-вектора  в базисе ( ; ). Если =(х; у), то коор­динаты точки М записывают так: М(х; у), число х назы­вается абсциссой точки М,                     у - ординатой точки М.

Координаты точки могут быть найдены как проекции радиус-вектора на каждую из осей, х= а_х=Пр_ох и у=а_у=Пр_оу , =(а_х; а_у).

 

Обратно: если М(х; у), то =(х; у).

Опр.21 Совокупность фиксированной точ­ки О и ортонормированного базиса ( ; ; ) называется декартовой (или прямоугольной) системой координат  в пространстве размерности n=3.

 

Как и на плоскости, точка О называется нача­лом координат.    Прямые Ох, Оу и Оz, проходящие через начало координат в направле­нии  базисных векторов , ,  (Рис. 14), называются осями координат:      

Ox – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Oz – ось аппликат.

Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями. Они делят пространство на восемь областей - октантов. Координатами точки  М называются координаты радиус-вектора  в базисе ( ; ; ), при этом если =(х; у; z), то пишут М(х; у; z),      где х - абсцисса, у - ордината, z - аппликата точки М.

Обратно: если М(х; у; z), то =(х; у; z).

 

Прямоугольная система координат в пространстве дает возможность установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками чисел (их координатами), а на плоскости - между точками плоскости и упорядоченными парами чисел.

В декартовой системе координат упорядоченная пара чисел одновременно задает как точку данной плоскости, так и радиус-вектор этой точки и целое множество равных ему векторов. Аналогично и в трёхмерном случае.            В дальнейшем будем задавать векторы не двумя точками (начальной и конечной) а только конечной с указанием её координат. Считаем начальной точкой всех векторов (если противное не оговорено отдельно) точку           О – начало координат.

 

Аналогично рассмотренным случаям n=2 и n=3 можно ввести понятие декартовой системы координат n-мерного пространства, которое можно   обозначить Rⁿ. Точки такого пространства, как и векторы, задаются указанием упорядоченного набора n чисел  - её декартовых координат.

7 Действия над векторами в координатной форме

     Пусть в декартовой системе координат Охуz даны векторы

     =x₁ × +y₁ × + z ₁ × и =x₂ × +y₂ × + z ₂ × ,

т.е. =( x ₁ ; y ₁ ; z ₁ )      и =( x ₂ ; y ₂ ; z ₂ ) .

Замечание: в дальнейшем будем считать все координаты точек и векторов

                    декартовыми, если отдельно не оговорено противное.

С такими векторами можно выполнить следующие действия:

сравнение, сумма (разность), умножение на число, скалярное произведение, найти модуль вектора, угол между векторами и проверить векторы на коллинеарность. Рассмотрим их подробнее:

Сравнение

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны все их одноименные координаты , = ( х₁ = х₂ , y ₁ = y ₂ , z ₁ = z ₂  ).

Нарушение хотя бы одного равенства говорит о неравенстве векторов, .

      Векторы различных размерностей несравнимы.

      Операции “ < “ и “ > ” на векторах не заданы;

7.2 Сумма и разность векторов:

   координаты суммы (разности) двух векторов равны сумме (разности)      

    одноименных координат этих векторов,

    ± =(x₁ × +y₁ × + z ₁ ×  ) ± ( x₂ × +y₂ × + z ₂ × )= (х₁±х₂) × +( y ₁ ± y ₂ ) × +( z ₁ ± z ₂ ) × ,

(x₁; y₁; z₁) ± (x₂; y₂; z₂) = (x₁±x₂ ; y₁±y₂ ; z₁±z₂);

7.3 При умножении вектора на число на это число умножаются все его  

    координаты, l × = l × ( x₁ +y₁ + z ₁ )=( l х₁) × +( l y ₁ ) × +( l z ₁ ) ×  ,

                             l × ( x ₁ ; y ₁ ; z ₁ )= ( l × x ₁ ; l × y ₁ ; l × z ₁ );

7.4 Скалярное произведение двух векторов в координатной форме:

                 (8) × = х₁ × x ₂ +y₁ × y₂+ z₁ × z₂ ,

     т. е. скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных          

     произведений одноименных координат.

       Выведем эту формулу:

× =( x ₁ + y ₁ + z × ) × ( x ₂ + y ₂ + z × )=

       = х ₁ x₂ × ² + x₁y₂ × ×  + x₁z₂ × +

        + y₁x₂ × ×  + y₁y₂ × ² + y₁z₂ × +

        + z₁x₂ × + z₁y₂ ×  + z₁z₂ × ²_.

 Векторы  , ,   ортонормированны,

 т.е. для них × = × = = = =  = 0,  ²= ²= ² =1 ,

поэтому × = х₁ x ₂ ×1+y₁y₂ ×1+ z₁z₂ ×1;

Модуль вектора

    При =  формула (8) примет вид × = ²= x ₁ ² + y ₁ ² + z ₁ ² , 

получим     (9) | |= ,  | |= ,

   т.е. модуль вектора, заданного своими координатами, равен квадратному   

    корню из суммы квадратов его координат;

7.6 Косинус угла между векторами (при ¹0, ¹0)

(10)     cos( ^ )= =  .

Если ^ , то × =0 и, следовательно х₁х₂+ y ₁ y ₂ + z ₁ z ₂ =0 – условие

перпендикулярности ненулевых векторов, заданных координатами;     

Условие коллинеарности

  Пусть векторы  и  коллинеарны, тогда =l ,

    х₁₌lx₂, y₁₌ly₂, z₁₌lz₂ .

Получили, что если выполнено   ,

то векторы  и  коллинеарны.

 

Координаты вектора (без разделителей “ ; “ ) могут считаться строкой (или столбцом) числовой матрицы. При коллинеарности нескольких векторов матрица А, для которой такие векторы являются строками (или столбцами), имеет ранг r(A)=1 (наибольшее количество линейно независимых строк или столбцов). Все миноры для А порядков выше 1 являются нулевыми. Для двух векторов пространства Охуz :

=1 следовательно .           

  

 – условие коллинеарности двух трехмерных  

векторов, заданных координатами .

Для трех и более векторов либо при большей размерности аналогично составляются все возможные миноры второго порядка для матрицы А и приравниваются к нулю;

7.8 Координаты вектора  

Если известны координаты начальной точки  и конечной точки  вектора , то координаты такого вектора (после переноса начальной точки в начало координат О) находятся как разность векторов  и  (из координат конечной точки вычитаются соответствующие координаты начальной точки),

              (11) ;