Если =( x ₁ ; y ₁ ; z ₁ ) и =( x ₂ ; y ₂ ; z ₂ ) , то

(11.1)  .

Выведем эту формулу:

=( x ₁ × + y ₁ × + z × )  ( x ₂ × + y ₂ × + z × )=

       = х ₁ x₂ × ( ) + x₁y₂ × ( ) + x₁z₂ × ( )+

        + y₁x₂ × ( ) + y₁y₂ × ( ) + y₁z₂ × ( )+

        + z ₁ x ₂ × ( )+ z ₁ y ₂ × ( ) + z ₁ z ₂ × ( )_.

 Векторы  , ,   ортонормированны, тройка ( , , ) – правая,

тогда при учете свойства 8.5 получим

= х₁ x ₂ × 0 + x ₁ y ₂ × + x ₁ z ₂ × (- ) +

           + y₁x₂ × (- ) + y₁y₂ × 0 + y₁z₂ ×     +

     + z₁x₂ × +  z₁y₂ × (- ) + z₁z₂ × 0 =

   .

Если дополнительно заменить каждую скобку соответствующим определителем второго порядка

,

то получим правило раскрытия определителя третьего порядка по первой строке (не вдаваясь в смысл , ,  считаем их элементами первой строки).

Получили правило, по которому легко запомнить правило нахождения векторного произведения векторов в координатной форме:

                          (11.2)  ;

Если векторы двумерные, то можно считать их третью координату нулевой,       

  .

8.5 Синус угла между векторами, заданными в координатной форме

(12)  sin ( ^ )= = ;

8.6 Двойное векторное произведение   или  - вектор,

компланарный с  и , он может быть найден по правилу 

                         (13) .

Двойное векторное произведение не обладает ни коммутативностью, ни

дистрибутивностью.

Пример 6

Базисом являются векторы  , .

В этом базисе заданы векторы , .

Найти модуль векторного произведения векторов  и .

Решение:

Составим векторное произведение векторов  и :

   =(  – 4 ) (3 +2 )=

       = 3  + 2  +(-4 ) 3  +(-4 ) 2 =

     = 3×( ) + 2×( ) – 12×( ) – 8×( )=  

         = 3×( ) + 2×( ) + 12×( ) – 8×( )=

         = 3×0 +14( )– 8×0= 14×( ).

Получили = 14×( ), | |= 14×| |.   

По определению  ,

 | |= 14×| |= 14×3 = 42.                                     

Ответ: | |= 42.

Пример 7

Найти площадь треугольника АВС с вершинами в точках пространства     А(2; 4; -1), В(3; 1; 1), С(0; 4; 2). Найти внутренний угол треугольника при вершине А и синус этого угла.

Решение:

1) Найдем векторы  и , образующие данный треугольник.

Координаты вектора находятся вычитанием из координат конечной точки соответствующих координат начальной точки:

=(3 – 2; 1 – 4; 1 – (-1)) = (1; -3; 2),  =(0 – 2; 4 – 4; 2 – (-1))= (-2; 0; 3). Треугольник АВС образован векторами =(1; -3; 2) и =(-2; 0; 3);

2) Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения 

образующих треугольник векторов, т.е. .

Векторное произведение векторов  и в координатной форме имеет вид:

=

    = ,

=(-9; -7; -6).

Модуль векторного произведения =  ,

следовательно ;

3) Угол при вершине А равен углу между отрезками АВ и АС, следовательно и между соответствующими векторами  и .

Угол между векторами можно найти по его косинусу, используя скалярное произведение векторов:       

cos( ^ )= = .

При этом синус угла можно найти из основного тригонометрического тождества  .

В данном случае синус угла между векторами вычислим непосредственно, используя модуль векторного произведения (который уже найден):

sin( ^ )= .

Найдём угол между векторами : ( ^ )= arcsin(0,955 ) 73⁰.

Ответ: S=6,44 , sin(ВАС)=0,883 , (ВА^ВС) 73⁰.        

              9 Смешанное произведение векторов

Опр.24 Произведение трёх векторов называется смешанным, если результат векторного произведения двух таких векторов скалярно умножается на третий вектор, если оно имеет вид    или . Результатом смешанного произведения трёх векторов является число.

            9.1 Свойства смешанного произведения

9.1.1 В координатной форме смешанное произведение трёх векторов трёхмерного пространства равно определителю матрицы, для которой векторы являются строками (столбцами),    

                               (14) .

В самом деле,  ,

тогда        =

                = =     

                  т.к является раскрытием определителя по третьей строке;

9.1.2 Результат смешанного произведения не зависит от последовательности

       скалярного и векторного произведений, = .

               В 9.1.1 выведено, что = .

      Выполним аналогичные преобразования для  :

           ,

тогда  =

              =   =  ,

                т.к. получили раскрытие определителя по первой строке;

Получили, что можно не указывать последовательность действий и смешанное произведение иногда обозначают =  ;

9.1.3 При перестановке двух сомножителей в смешанном произведении

     результат изменит знак, = .

    Все шесть возможных комбинаций смешанных произведений трёх   

    векторов разбились на две части: 

   =  =  =   = = .

9.1.4 Постоянную можно выносить из смешанного произведения ,

     = = = ;    

9.1.5 Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю.

Свойства 9.1.3 , 9.1.4 и 9.1.5 вытекают из того, что смешанное произведение трёх векторов равно определителю, т.е. обладает свойствами определителя: при перестановке двух строк (столбцов) определитель изменяет знак, множитель строки (столбца) выносится за знак определителя, определитель линейно зависимых строк (столбцов) равен нулю.                    По утв.5 три и более компланарных вектора линейно зависимы.

Справедливо и обратное: равенство нулю смешанного произведения трёх векторов говорит о их компланарности;