Пусть на плоскости Оxy заданы две различные точки M₁(x ₁ ; y ₁) и М₂(x ₂ ; y ₂).

Проведем через эти точки прямую L, пусть М (х; у) - некоторая точка прямой L, не совпадающая с М₂  (рис.15).

Точка М делит отрезок М₁М₂ в отношении l , если  (13) =l× .

Очевидно, что:

1) l>0 лишь в случае, когда точка М 

лежит между точками М₁ и М₂;

2) l=0, если точки М и М₁  совпадают;

3) l< 0 в случае, если точка М лежит вне

отрезка М₁М₂;

4) Если М отлична от М₁, то

¹- , следовательно, l¹-1 .

Наша задача заключается в том, чтобы найти коорди­наты (x ; y) точки М, делящей отрезок М₁М₂ в заданном отношении l¹-1, если известны координаты (х₁, у₁) и (x ₂ ; y ₂) точек М₁ и М₂ .

Перепишем равенство (13) в координатной форме:

(х-х₁; у-у₁)=l(х₂-х; y ₂ -у), т.е.  .

Решая первое уравнение относительно х, второе уравнение относительно у, получим (14) x = , y =  –  координаты искомой точки М.

Формулы (14) называются формулами деления отрезка в данном отношении.  

В частности, если l=1, т. е. если , точка М(х; у) является серединой отрезка М₁М₂. Формулы (14) примут вид x= , y= .  

  Следовательно, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Для нахождения координат точки М(х; у; z), делящей отрезок прямой пространства, определенного точками M₁(x ₁ ; y ₁ ; z ₁) и M₂(x ₂ ; y ₂ ; z ₂),            в заданном отношении l, аналогичными рассуждениями получаем формулы

(15) x = , y = , z = .

В частности, если точка М (х; у; z) делит отрезок М₁М₂ пополам,           то l=1 и формулы (15) примут вид  x = , y = , z =  .

7.11 Перечисленные операции обобщаются и для векторов

с любым конечным числом переменных n :

 пусть даны векторы  , ,

 тогда для них

,

 ,

,

,

Если ¹0, ¹0 и , то  ^ ,

 , ,

,    векторы  и  коллинеарны.

Для точек  и

вектор ,

расстояние |АB|= ,

середина .

    Все свойства перечисленных действий, рассмотренные ранее                 (не в координатной форме), сохраняются.

Пример 5

Даны векторы = (1; 2; 3 ), =(1; -2; 0 ), =(1; 2 ), =(1; 2; 3), =(3; 2; 1) .

Для них 1) Перечислить равные векторы;

2) Найти 2× –3 + ;

3) Вычислить скалярное произведение векторов   и ;

4) Вычислить ;

5) Найти модули векторов , , ;

6) Найти угол между  и   (в градусах и радианах).

Решение:

1) Среди перечисленных векторов только одна пара совпадающих векторов:  

   = т.к. совпадают все соответствующие координаты ( 1=1, 2=2, 3=3),

   ¹  т.к. различны их вторые и третьи координаты (2¹-2, 3¹0 ),

¹ т.к. векторы имеют различные размерности и несравнимы;

2) 2× –3 + =2×(1; 2; 3) –3×(1; -2; 0) + (1; 2; 3 )=(2; 4; 6) – (3; -6; 0) +(1; 2; 3)=

                       =(2 –3 + 1 ; 4 – (-6) +2; 6 – 0 +3)= (0; 12; 9),

   2× –3 + =(0; 12; 9);

3) × =(1; 2; 3)×(1; -2; 0)=1×1 + 2×(-2) + 3×0 =1 – 4 +0 = -3,

× =3;

4) 1 способ:

 –2 = (1; 2; 3) –2×(1; -2; 0) =(1–2; 2 + 4; 3–0)=(-1; 6; 3),

2 +3 =2×(1; 2; 3)+3×(3; 2; 1)= (2+9; 4+6; 6+3)=(11; 10; 9),

(  –2 )×( 2 +3 ) = (-1; 6; 3)×(11; 10; 9) = -1×11 + 6×10 + 3×9 = 76 ; 

2 способ:

(  –2 )×( 2 +3 )= ×2  + ×3 +(-2 )×2 +(-2 )×3  =

                          = 2× × +3× × – 4× ×  – 6× × ,

          × = (1; 2; 3)×(1; 2; 3) = 1×1 + 2×2 + 3×3 = 14,

          × = (1; 2; 3)×(3; 2; 1) = 1×3 + 2×2 + 3×1 = 10,

          × = (1; -2; 0)×(1; 2; 3) = 1×1 + (-2)×2 + 0×3= -3,

           × = (1; -2; 0)×(3; 2; 1) = 1×3 + (-2)×2 +0×1 = -1,

(  –2 )×( 2 +3 )= 2×14 + 3×10 –4×(-3) –6×(-1) = 28 + 30 +12 + 6 = 76 .

(  –2 )×( 2 +3 )=76 ;

5) Модули векторов:

6) Косинус угла между векторами

cos ( ^ )= =   ,  

( ^ )= arccos(0,387) 67⁰ ,  в радианах ( ^ )=67⁰ 1,169.

Пример 6

Даны точки пространства А(1; 2; 3) и В(4; -2; 1).

Найти координаты точек М₁ – делящей отрезок АВ в отношении =0,4  

и М₂ – середины отрезка АВ.

Решение:

Для нахождения координат точки М₁ воспользуемся формулами (15)

x = , y = , z = , которые при =0,4 примут вид

x = , y = , z = .

Получили точку М₁(1,857; 0,857; 2,429).

Если точка М₂ делит отрезок АВ пополам, то ее координаты найдутся как полусумма координат концов отрезка:

x= , y= , z= .

Получили точку М₂(2,5; 0; 2).

Ответ: М₁(1,857; 0,857; 2,429), М₂ (2,5; 0; 2).

Векторное произведение