Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Дифференциальные уравнения второго порядка в общем случае имеют вид:         .

Дифференциальные уравнения вида y ″ = f ( x ) решаются двукратным интегрированием.

Полагая y ′ = z, имеем y ″ = z ′ или z ′ = f ( x ) , = f ( x ), dz = f ( x ) dx .

Интегрируя , получим z = F ( x ) + C _1.

Возвращаясь к функции y , имеем

 ,     .

- это есть общее решение уравнения

y ″ = f ( x ).

Пример 1: Найти общее решение уравнения .

Решение: Пусть , тогда .

После подстановки имеем   или .

Интегрируя обе части равенства, получим .

Вернувшись к функции y , получаем уравнение .

Интегрируя его , получим -это есть общее решение уравнения.

Ответ: .

 

Линейные однородные дифференциальные уравнения

Второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение: Уравнения вида , где p и q– постоянные величины, называются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для отыскания общего решения такого уравнения составляется характеристическое уравнение ,

которое решается как квадратное уравнение. При его составлении в исходном уравнении производные функции y заменяются соответствующей степенью переменной k, причем сама функция y заменяется единицей.

Общее решение исходного дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней и .

Возможны три случая:

1) и – действительные и различные, тогда

;

2)  и – действительные и равные, тогда  и

;

3)  и – комплексно-сопряженные: , ,

тогда         .

 

Пример1: Решить дифференциальное уравнение

 y˝- 5y΄- 6y = 0.

Решение: Заменим данное уравнение характеристическим:

.

решаем его, получаем .

,  .

Как видно, корни действительные и различные , поэтому

общее решение можно записать в виде .

    Ответ: .

 

Пример 2: Решить дифференциальное уравнение .

 

Решение: Заменим данное уравнение характеристическим

, найдем корни , , значит .

Отсюда действительная частькомплексного числа  , мнимая часть , следовательно общее решение имеет вид:

.

    Ответ:

Пример 3: Решить дифференциальное уравнение

.

Решение: Заменим данное уравнение характеристическим:

.

Решая его, получаем ;

 ,

получили комплексно - сопряженные корни, где  и . Тогда общее решение запишется в виде .

    Ответ:

Пример 4: Решить дифференциальное уравнение

.

Решение: Заменим данное уравнение характеристическим:

.

Решая его, получаем ;

 ,

получили два одинаковых действительных корня, тогда

общее решение уравнения запишется в виде .

    Ответ: .

Линейные однородные

Определение.Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y″ + py′ + qy = f ( x ),

где p и q – постоянные величины, а f(x) – непрерывная функция x.

Если правая часть уравнения равна нулю, т.е.

y″ + py′ + qy = 0,

то оно называется однородным уравнением.

Для практического использования алгоритм решениядифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентамиудобно оформить в виде таблицы:

Дифференциальное уравнение	y″ + py′ + qy = 0
Характеристическое уравнение	k2 + pk + q = 0
Дискриминант D = p2 – 4q	D > 0	D = 0	D < 0
Корни характеристического уравнения	k1 ≠ k2	k1 = k2	k1 = a + bi k2 = a - bi
Множества решений

 

Пример.Решить уравнение y″ + 2y′ – 8y = 0.

Решение.

Составим характеристическое уравнение k² + 2k - 8 = 0.

Найдем дискриминант D = p² – 4q = 2² -4(-8) = 4 + 32 = 36 > 0.

Следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня. Определим их: k₁ = - 4, k₂ = 2.

Находим частные решения данного дифференциального уравнения:

.

Общее решение данного уравнения имеет вид

.

 

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1 Найти общее решение дифференциального уравнения 1. y′ = 6x3; 2. y′′ + y′ – 6y = 0 3. 4. 5.	Вариант 2 Найти общее решение дифференциального уравнения 1. y′ = 8x2 ; 2. y′′ – 6y + 9 = 0 3. 4. 5.
Вариант 3 Найти общее решение дифференциального уравнения 1. y′ = ; 2. y′′ – 2y′ – 8y = 0. 3. 4. 5.	Вариант 4 Найти общее решение дифференциального уравнения 1. yy′ + x = 0; 2. y′′ – 8y + 16 = 0 3. 4. 5.
Вариант 5 Найти общее решение дифференциального уравнения 1. ; 2. 3. 4. 5.	Вариант 6 Найти общее решение дифференциального уравнения 1. y′ = 5x; 2. y′′ – 3y′ + 2y = 0 3. 4. 5.
Вариант 7 Найти общее решение дифференциального уравнения 1. y′ = x2 + x; 2. y′’ + 4y = 0 3. 4. 5.	Вариант 8 Найти общее решение дифференциального уравнения 1. y′ = x3 + 1; 2. y′′ – 8y + 15y = 0 3. 4. 5.
Вариант 9 Найти общее решение дифференциального уравнения 1. y′ = 8x3; 2. y′′ – 6y′ + 5y = 0; 3. 4. 5.	Вариант 10 Найти общее решение дифференциального уравнения 1. 2. y′′ – 4y′ + 13y = 0. 3. 4. 5.