(метод замены переменной)

Этот метод заключается в том, что заменяют переменную х на ,где -непрерывно дифференцируемая функция, полагают  и получают

При этом получают искомую функцию, выраженную через переменную t. Для возвращения к переменной х необходимо заменить t значением , которое находится из соотно-шения .

Рассмотрим нахождение интегралов методом подстановки.

Пример 1: Найти неопределенный интеграл

Решение: =

Пример 2: Найти неопределенный интеграл

Решение:

        =

Пример 3: Найти неопределенный интеграл

Решение: =

Пример 4: Найти неопределенный интеграл

Решение: =

= = .

Определенный интеграл и его свойства

Пусть функция  определена на отрезке . Разобьем отрезок на n частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке  произвольную точку x_k и обозначим через  длину каждого такого отрезка.

Интегральной суммой для функции на отрезке  называется сумма вида

Определение: Определенным интегралом от функции на отрезке  называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Для любой функции , непрерывной на отрезке , всегда существует определенный интеграл

Простейшие свойства определенного интеграла

1) Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

2) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

3) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

4) Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:                 

5) Отрезок интегрирования можно разделить на части:

с-точка, лежащая между а и b .

6) Если  на отрезке , то .

Для вычисления определенного интеграла от функции , в том случае , когда можно найти соответствующую первообразную , служит формула Ньютона-Лейбница:

 =F ( b )- F ( a )

Рассмотрим нахождение простейших определенных интегралов.

Пример 1: Вычислить определенный интеграл .

Решение: =

Пример 2: Вычислить определенный интеграл: .

Решение:  

.

Вычисление определенного интеграла

Методом замены переменной

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл  преобразуется с помощью подстановки или  в определенный интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются соответственно новыми пределами t₁ и t₂, которые находятся из исходной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: .

Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений .

Таким образом, имеем

Пример 1: Вычислить определенный интеграл методом замены переменной

Решение: =

.

Пример 2: Вычислить определенный интеграл: .

Решение:

.