Пределы функций, основные теоремы о пределах
1. Теоремы о пределах.
Пусть существуют конечные пределы 
и 
. Тогда справедливы следующие утверждения:
-
;
-
;
-
, где с – число;
-
, если 
.
2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Бесконечно малой функцией при 
называется функция 
, предел которой равен нулю при : 
.
Если значения функции f ( x ) неограниченно возрастают по абсолютной величине при , то такую функцию называют бесконечно большой при . Предел этой функции обозначают знаком бесконечности 
: 
.
Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Если 
, то 
.
Если 
, то 
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
Вычислить пределы функции y = f ( x ), при указанном поведении аргумента x.
;
а) 
; б ) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
Вариант 2.
Вычислить пределы функции y = f ( x ), при указанном поведении аргумента x.
;
а) 
; б ) 
; в) 
; г) ; д) .
Вариант 3.
Вычислить пределы функции y = f ( x ), при указанном поведении аргумента x.
;
а) 
; б) 
; в) ; г) 
; д) .
Вариант 4.
Вычислить пределы функции y = f ( x ), при указанном поведении аргумента x.
;
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
Вариант 5.
Вычислить пределы функции y = f ( x ), при указанном поведении аргумента x.
;
а) ; б) ; в) ; г) 
; д) .
Вариант 6.
Вычислить пределы функции y = f ( x ), при указанном поведении аргумента x.
;
а) 
; б) 
; в) ; г) 
; д) .
Вариант 7.
Вычислить пределы функции y = f ( x ), при указанном поведении аргумента x.
;
а) ; б) 
; в) 
; г) 
; д) .
Вариант 8.
Вычислить пределы функции y = f ( x ), при указанном поведении аргумента x.
;
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
Вариант 9.
Вычислить пределы функции y = f ( x ), при указанном поведении аргумента x.
;
а) ; б) 
; в) ; г) 
; д) 
.
Вариант 10.
Вычислить пределы функции y = f ( x ), при указанном поведении аргумента x.
;
а) 
; б) ; в) 
; г) ; д) .
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ
Задача. Вычислить пределы функции 
при
Решение. В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента.
а) 
.
Здесь применима теорема о пределе частного.
б) 
.
При подстановке 
в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их значения равны нулю, поэтому теорема о пределе частного здесь не применима. В данном случае говорят, что имеется неопределенность вида 
.
Неопределенность вида 
при 
может быть раскрыта сокращением дроби на множитель вида(х–х0), который обращает числитель и знаменатель дроби в нуль, в данном случае на(х+4). Поэтому, следует разложить на множители числитель и знаменатель дроби (п.2 и п.3 прил.1).
| 3х2+10х – 8 = 0; | 4х2+15х– 4 = 0; |
D= 
| D= 
|
| 
|
| 3х2+10х–8 = 3(х+4)(х–2/3) = | 4х2+15х – 4 = 4(х+4)(х–1/4 ) = |
| = (х+4)(3х–2). | = (х+4)(4х–1). |
Таким образом,
в ) 
Здесь применима теорема о пределе частного, так как существуют конечные пределы числителя и знаменателя, и предел знаменателя не равен нулю.
г ) 
Здесь использована теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.
д ) 
.
Пределы числителя и знаменателя дроби равны 
. В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность». Теорема о пределе частного здесь не применима.
Чтобы раскрыть неопределенность вида 
при 
, каждый член числителя и знаменателя дроби делят на x в наивысшей степени (в нашем примере на х2), отчего величина дроби не изменится, но исчезнет неопределенность.
так как 
(по теореме о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций).
Замечание. Полезно запомнить, что при предел отношения многочленов c одинаковыми наивысшими степенями равен отношению коэффициентов при этих степенях.
В нашем примере, коэффициенты при наивысшей степени х2многочленов равны 3 и 4, поэтому и предел дроби равен 
.
Ответы. 
Дата: 2018-11-18, просмотров: 212.
