Векторы на плоскости

Определение1 : Вектором называется направленный отрезок.

Обозначается латинскими буквами со стрелкой наверху: .

Вектор, заданный парой (А, В) несовпадающих точек, обозначается символом . Точка А называется началом, а точка В – концом вектора.

Определение2 : Длиной (модулем) вектора  называется расстояние между его началом и концом.

Обозначается . Вектор , концы которого совпадают, называется нулевым вектором.

Пусть А , В Длина вектора  находится по формуле .

Определение3: Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается символом . Таким образом, по определению,

.

Примеры решения задач

Задача 1. Найти длины и скалярное произведение векторов , , если известно , , , , угол между векторами .

Решение: . Тогда .

Аналогично .

Длина вектора

Аналогично .

Скалярное произведение векторов:

( ). Ответ:

Тема 4. Дифференциальное исчисление

Понятие производной функции

Определение1 : Производной функции f ( x ) в точке х₀ называется предел (если он существует) отношения приращения функции ∆ f в этой точке к приращению аргумента ∆х, когда последнее стремится к нулю:

Обозначается  или

Нахождение производной функции называется дифференцированием.

Определение2 : Дифференциалом функции f ( x ) называется произведение производной этой функции на произвольное приращение аргумента.

Обозначается  или , где .

Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной

Символьная формулировка:

Словесная формулировка: производная постоянной равна нулю.

2. Производная алгебраической суммы функций

Символьная формулировка:  

Словесная формулировка: производная алгебраической суммы функций равна сумме производных этих функций.

3. Производная произведения двух функций

Символьная формулировка

Словесная формулировка: производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго.

4. Производная произведения постоянной на функцию:

Символьная формулировка  

Словесная формулировка: Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

5. Производная частного двух функций:

Символьная формулировка:

6. Производная сложной функции:

Пусть y есть функция от u:  а переменная u, в свою очередь, есть функция от аргумента х: т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент u, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции):

Символьная формулировка:

Словесная формулировка: Производная сложной функции равна производной данной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х:

Таблица производных элементарных функций

Функция у	Производная
С	0
х	1
для сложной функции:	где n – любое действительное число
для сложной функции:
для сложной функции:
для сложной функции:
для сложной функции:
для сложной функции:
Функция у	Производная
для сложной функции:
для сложной функции:
для сложной функции:
для сложной функции:

Примеры решения задач

Задача 1.

Объем продукции u (ед), произведённый бригадой рабочих, может быть описан уравнением  (ед), , где -рабочее время, часы. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.

Решение. Производительность труда выражается производной . Используя правило нахождения производной суммы функций – , получим 

. Используя правила нахождения производной произведения постоянной на функцию: , производной степенной функции , производной константы: имеем:

 (ед/ч)

Скорость изменения производительности – производная . Темп изменения производительности – логарифмическая производная  (используем правило вычисления производной сложной функции, где )- сложная функция).

Найдем : (см. выше правила нахождения производной функции).

 (ед/ч).

В заданные моменты времени  и  соответственно имеем:

(ед/ч), (ед/ч),

,   ,

(ед/ч),  (ед/ч).

Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается, при этом изменение знака и с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется ее снижением в  последние часы.

Задача 2. Найти дифференциал функции

Решение. По определению

 (использовали правило нахождения сложной функции  см. таблицу = ).