Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

А1⁰. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанного произведения, т.е. V.

Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак смешанного произведения на противоположный, т.е.

, V.

Для доказательства достаточно применить доказательство свойства Г2⁰ к  и к . Параллелепипед будет тот же, только за основание будет принята другая грань (в первом случае – построенная на векторах  и , во втором – на векторах  и ).

Чтобы доказать вторую часть свойства, надо воспользоваться определением смешанного произведения и свойством А1⁰ векторного умножения, а затем совершить циклическую перестановку:

.

А2⁰. V .

Для доказательства этого свойства нужно доказать три равенства:

; ; .

Докажите их самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.

А3⁰. ;

   ;

   .

Докажите эти равенства самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.

Замечание. Смешанное произведение .

, т.к. .

Теорема 1(смешанное произведение в координатах). Если , ,  в базисе , , , то .

.

Применение смешанного произведения

Трех векторов

Смешанное произведение векторов применяется:

1. Для выяснения компланарности трех векторов:

векторы , ,  компланарны тогда и только тогда, когда .

2. Для вычисления объема параллелепипеда:  (рис. 28).

Рис. 28

Рис. 29

А1

D1

С1

В1

D

С

В

А

А1

В1

С1

А

В

С

Рис. 30

D

А

В

С

 

 

3. Для вычисления объема треугольной призмы:

 (рис. 29).

4. Для вычисления объема тетраэдра (треугольной пирамиды):

 (рис. 30).

 

Задания для самостоятельной работы

1. Вычислите , если .

2. Докажите, что если || , то .

3. Выясните, какой является тройка векторов , ,  (левой или правой).

4. Докажите, что векторы , , , удовлетворяющие условию

,компланарны.

5. Найдите объем треугольной призмы АВСА₁В₁С₁, если , , .

6. Найдите объем тетраэдра ABCD, если , , .

 

Метод координат

На плоскости и в пространстве

Аффинная и прямоугольная декартова

Системы координат

Понятие аффинной и прямоугольной декартовой

Систем координат

О

Рис. 31

О

х

у

z

Рис. 32

Четверка, состоящая из точки О и базиса , ,  в пространстве, называется аффинной системой координат в пространстве и обозначается  или  (рис. 31).

Точка О называется началом координат, векторы , , - координатными векторами:  - первый координатный вектор,  - второй,  - третий.

Направленные прямые, на которых положительное направление определяется базисными векторами и которые проходят через точку О, называются координатными осями:

 - ось абсцисс;

 - ось ординат;

 - ось аппликат (рис. 32).

Оси абсцисс, ординат и аппликат обозначаются и так: Ох, Оу, О z.

Плоскости, определяемые осями Ох и Оу, Оу и О z, Ох и О z, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оу z, Oxz, а систему координат  иногда обозначают Oxyz.

Рис. 33

О

М

Пусть  - аффинная система координат, М – произвольная точка пространства. Вектор  называется радиус-вектором точки М относительно точки О (рис. 33).

Понятие координат точки вводится на основе понятия координат вектора.

Координатами точки М в системе координат  называются координаты ее радиус-вектора  в базисе , , .

Обозначение   или просто М(х;у; z ): х – абсцисса точки М, у – ордината, z – аппликата.

Если в пространстве задана аффинная система координат, то устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками (х;у; z ) действительных чисел.

Рассмотрим особенности расположения точки относительно аффинной системы координат, если некоторые ее координаты являются нулевыми. Пусть М(х;у; z ).

1) Если z=0, то М(х;у;0) Þ  Þ . Верно и обратное:  Þ z=0.

2) Докажите самостоятельно, что если у=0, то , и наоборот, если , то у=0.

3) Докажите самостоятельно, что если х=0, то , и наоборот, если , то х=0.

4) Если z=0 и у=0, то  и  Þ  Þ . Верно и обратное:  Þ z=0 и у=0.

Докажите самостоятельно, что:

5) Если х=0 и у=0, то  и наоборот, если , то х=0 и у=0.

6) Если х=0 и z=0, то  и наоборот, если , то х=0 и z=0.

7) Так как , то из пунктов 1) – 3) следует, что О(0;0;0) в системе координат .

Чтобы построить точку М(х;у; z ) по ее координатам в системе координат , надо сначала построить точку М₁(х;0;0), затем точку М₂(х;у;0), а затем точку М(х;у;z). Процесс построения этих точек показан на рис. 34. Ломаная ОМ₁М₂М называется координатной ломаной точки М.

М1

М

М2

О

Рис. 34

Система координат называется прямоугольной декартовой, если ее базис является ортонормированным. Обозначение прямоугольной декартовой системы координат:  или , где                                                                 

, ,  и .

Прямоугольная декартова система координат является частным случаем аффинной.

Замечание. На плоскости аффинная система координат состоит из точки О (начала координат) и двух базисных векторов  и  (координатных векторов) (рис. 35). Поэтому в системе координат на плоскости любая точка имеет две координаты . Прямоугольная декартова система координат на плоскости изображена на рис. 36.

О

О

Рис. 35

Рис. 36