Векторы. Линейные операции над векторами

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Элементы векторной алгебры

Векторы. Линейные операции над векторами

Понятие вектора

Направленным отрезком называется отрезок, у которого указаны начало и конец. Обозначение:

Вектором называется направленный отрезок. Обозначение: (рис. 1).

Рис. 1

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Обозначение: .

Векторы и называются сонаправленными (противоположно направленными), если лучи [ AB ) и [ CD ) сонаправлены (противоположно направлены). Обозначение: ( ).

На рис. 2 , .

Рис. 2

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение: || .

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Векторы и называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Длиной вектора называется расстояние между его началом и концом. Обозначение длины вектора : .

Длина нулевого вектора равна 0, т.е. .

Вектор называется единичным, если его длина равна единице.

В пространстве существует бесконечное множество единичных векторов.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и длины их равны. Обозначение: .

Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и длины их равны.

Вектор, противоположный вектору , обозначается .

Откладыванием вектора от точки А называется процесс построения такой точки М, что .

Алгоритм этого процесса таков: пусть дан вектор

и точка А. Сначала строят луч

, исходящий из точки А и сонаправленный с вектором

(рис. 3). Затем на луче

откладывают с помощью циркуля отрезок АМ, длина которого равна длине вектора

. Вектор

- искомый, т.е.

Рис. 3

§2. Сложение и вычитание векторов

Линейными операциями над векторами называется сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

Результатом сложения векторов является их сумма. Сумма векторов и обозначается .

Существует два правила сложения двух векторов: правило треугольника и правило параллелограмма.

Правило треугольника

Чтобы сложить векторы и , надо взять произвольную точку и от нее отложить последовательно сначала вектор , затем вектор . Вектор, начало которого совпадает с началом вектора (т.е. первого вектора), а конец – с концом вектора (т.е. второго вектора), есть искомая сумма. На рис. 4 .

Рис. 4

По правилу треугольника можно складывать любые векторы.

Коротко правило треугольника можно записать так:

для любых трех точек А,В и С .

Правило параллелограмма

Чтобы сложить векторы и , надо привести их к общему началу, т.е. взять произвольную точку А, построить такие точки В и С, что и , и достроить полученную фигуру до параллелограмма . Вектор - искомая сумма (рис. 5).

Рис. 5

По правилу параллелограмма можно складывать тольконеколлинеарные векторы.

Свойства сложения векторов:

1⁰. .

2⁰. .

3⁰. .

4⁰. .

Суммой трех векторов и называется вектор . Учитывая свойство 4⁰, скобки можно опустить и обозначать сумму в виде .

Суммой n векторов называется вектор и обозначается так: .

При построении суммы n векторов пользуются правилом многоугольника.

Правило многоугольника

Чтобы найти сумму n векторов, надо взять произвольную точку и отложить от нее последовательно эти векторы. Вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего (n-го вектора), есть искомая сумма.

Разностью векторов и называется такой вектор , что . Разность – это результат вычитания векторов. Разность векторов и обозначается так: .

Умножение вектора на число

Рассмотрим еще одну линейную операцию над векторами – умножение вектора на число. Результатом этой операции является произведение вектора на число.

Произведением вектора на действительное число a называется вектор , обозначаемый через и удовлетворяющий двум условиям:

1) его длина ;

2) если a 0, то ; если <0, то .

Алгоритм построения произведения вектора число a таков.

Берем произвольную точку М. Проводим луч , сонаправленный с вектором , если a 0, и противоположно направленный с вектором , если <0. На луче от начала М откладываем отрезок MP, длина которого в раз больше длины вектора . Вектор - искомый вектор .

Продемонстрируем этот алгоритм на конкретном примере. Построим вектор , если - данный вектор.

Возьмем произвольную точку А. Так как <0, то проводим луч (рис. 7). На луче строим такую точку С, что . Тогда - искомый вектор.

Рис. 7

Примеры

1. Система векторов линейно зависима, т.к. если возьмем , то получим, что , т.е. существуют такие действительные числа , не все равные 0 одновременно ( ), что выполняется равенство .

2. Система двух неколлинеарных векторов и линейно независима, т.к. сумма двух неколлинеарных векторов и равна нулевому вектору только при .

Базис. Координаты вектора

И их свойства

Множество всех векторов, на котором введена операция сложения векторов, удовлетворяющая свойствам

1⁰. ;

2⁰. ;

3⁰. ;

4⁰. ,

и операция умножения вектора на число, удовлетворяющая свойствам

1⁰. , ;

2⁰. ;

3⁰. ;

4⁰. ,

называется векторным пространством и обозначается через V.

Базисом векторного пространства называется система векторов, заданных в определенном порядке, которая удовлетворяет условиям:

1) система линейно независима;

2) любой вектор пространства является линейной комбинацией данной системы векторов.

Число векторов базиса называется размерностью векторного пространства.

Выяснить, чему равна размерность векторного пространства V, позволяют следующие две теоремы, которые приведем без доказательства:

Теорема 1. Любая система трех некомпланарных векторов, взятых в определенном порядке, образует базис векторного пространства.

А может ли базис пространства V состоять меньше, чем из трех векторов? Больше, чем из трех векторов? Оказывается, нет, так как справедлива

Теорема 2. Любой базис векторного пространства V состоит из трех векторов.

Эти теоремы можно доказать, пользуясь теоремами о коллинеарных и компланарных векторах и свойствами 2⁰- 7⁰ линейно зависимой системы векторов.

Из теорем 1 и 2 следует, что размерность векторного пространства V равна 3, поэтому оно называется трехмерным векторным пространством.

Базис, состоящий из векторов , и , обозначается так: , , или , , . Векторы , , называются базисными векторами: - первый базисный вектор, - второй, - третий.

Пусть - произвольный вектор пространства V, , , - базис векторного пространства V.

Из теоремы 1 следует, что вектор можно разложить по базисным векторам , , , т.е. существуют такие действительные числа , , , что

Коэффициенты , , в этом разложении называются координатами вектора в базисе , , : - первая координата, - вторая, - третья.

Обозначают это так: ( ; ; )_{, ,}.

Когда ясно, о каком базисе идет речь, пишут так: ( ; ; ).

Свойства координат векторов

1⁰. Нулевой вектор в любом базисе имеет нулевые координаты: (0;0;0).

□ Разложим по векторам базиса , , :

Следовательно, (0;0;0)_{, ,}. ■

2⁰. Если , , - базис пространства V, то (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1).

□ (1;0;0);

(0;1;0);

(0;0;1). ■

3⁰. Если ( ; ; ), в базисе , , , а , то

в базисе , , (координаты линейной комбинации векторов равны линейным комбинациям их соответствующих координат).

□ По определению координат вектора

, .

Тогда , .

Сложим почленно эти равенства и воспользуемся свойствами сложения векторов и умножения вектора на число:

По определению координат вектора

. ■

Из свойства 3⁰ получаем следствия:

Следствие 1. Каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

Следствие 2. При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

□ Чтобы доказать справедливость следствия 1, надо в свойстве 3⁰ взять сначала a=b=1, а затем a=1, b=-1. Для доказательства следствия 2 полагаем b=0. ■

4⁰. Векторы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты: , , .

5⁰. Пусть ( ; ; ), , и , i =1, 2, 3. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны:

|| .

Пусть . Тогда

|| и .

Если же , то

|| , а и - любые.

Частным случаем произвольного базиса является ортонормированный базис. Его удобно использовать при решении метрических задач (т.е. задач, связанных с вычислением длин отрезков (векторов) и величин углов).

Е₁

Е₃

Базис

называется ортонормированным, если его векторы удовлетворяют двум условиям:

1) ;

Рис. 8

Е₂

2) если

(рис. 8), то углы

- прямые.

Рис. 9

Замечание. Множество всех векторов, параллельных данной плоскости (или лежащих в ней), образует двумерное векторное пространство, т.к. любой его базис состоит из двух неколлинеарных векторов. Поэтому любой вектор этого пространства в таком базисе имеет две, а не три координаты:

. Ортонормированный базис выглядит так:

(рис. 9).

Нелинейные операции над векторами

Геометрические свойства

Алгебраические свойства

Приложение скалярного произведения

Геометрические свойства

Алгебраические свойства

Геометрические свойства

Алгебраические свойства

Трех векторов

Смешанное произведение векторов применяется:

1. Для выяснения компланарности трех векторов:

векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда .

2. Для вычисления объема параллелепипеда: (рис. 28).

Рис. 28

Рис. 29

А₁

D₁

С₁

В₁

А₁

В₁

С₁

Рис. 30

3. Для вычисления объема треугольной призмы:

(рис. 29).

4. Для вычисления объема тетраэдра (треугольной пирамиды):

(рис. 30).

Задания для самостоятельной работы

1. Вычислите , если .

2. Докажите, что если || , то .

3. Выясните, какой является тройка векторов , , (левой или правой).

4. Докажите, что векторы , , , удовлетворяющие условию

,компланарны.

5. Найдите объем треугольной призмы АВСА₁В₁С₁, если , , .

6. Найдите объем тетраэдра ABCD, если , , .

Метод координат

Системы координат

Систем координат

Рис. 31

Рис. 32

Четверка, состоящая из точки О и базиса

в пространстве, называется аффинной системой координат в пространстве и обозначается

или

(рис. 31).

Точка О называется началом координат, векторы , , - координатными векторами: - первый координатный вектор, - второй, - третий.

Направленные прямые, на которых положительное направление определяется базисными векторами и которые проходят через точку О, называются координатными осями:

- ось абсцисс;

- ось ординат;

- ось аппликат (рис. 32).

Оси абсцисс, ординат и аппликат обозначаются и так: Ох, Оу, О z.

Плоскости, определяемые осями Ох и Оу, Оу и О z, Ох и О z, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оу z, Oxz, а систему координат иногда обозначают Oxyz.

Рис. 33

Пусть

- аффинная система координат, М – произвольная точка пространства. Вектор

называется радиус-вектором точки М относительно точки О (рис. 33).

Понятие координат точки вводится на основе понятия координат вектора.

Координатами точки М в системе координат называются координаты ее радиус-вектора в базисе , , .

Обозначение или просто М(х;у; z ): х – абсцисса точки М, у – ордината, z – аппликата.

Если в пространстве задана аффинная система координат, то устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками (х;у; z ) действительных чисел.

Рассмотрим особенности расположения точки относительно аффинной системы координат, если некоторые ее координаты являются нулевыми. Пусть М(х;у; z ).

1) Если z=0, то М(х;у;0) Þ Þ . Верно и обратное: Þ z=0.

2) Докажите самостоятельно, что если у=0, то , и наоборот, если , то у=0.

3) Докажите самостоятельно, что если х=0, то , и наоборот, если , то х=0.

4) Если z=0 и у=0, то и Þ Þ . Верно и обратное: Þ z=0 и у=0.

Докажите самостоятельно, что:

5) Если х=0 и у=0, то и наоборот, если , то х=0 и у=0.

6) Если х=0 и z=0, то и наоборот, если , то х=0 и z=0.

7) Так как , то из пунктов 1) – 3) следует, что О(0;0;0) в системе координат .

Чтобы построить точку М(х;у; z ) по ее координатам в системе координат , надо сначала построить точку М₁(х;0;0), затем точку М₂(х;у;0), а затем точку М(х;у;z). Процесс построения этих точек показан на рис. 34. Ломаная ОМ₁М₂М называется координатной ломаной точки М.

М₁

М₂

Рис. 34

Система координат называется прямоугольной декартовой, если ее базис является ортонормированным. Обозначение прямоугольной декартовой системы координат:

или

, где

, , и .

Прямоугольная декартова система координат является частным случаем аффинной.

Замечание. На плоскости аффинная система координат состоит из точки О (начала координат) и двух базисных векторов и (координатных векторов) (рис. 35). Поэтому в системе координат на плоскости любая точка имеет две координаты . Прямоугольная декартова система координат на плоскости изображена на рис. 36.

Рис. 35

Рис. 36

Основные аффинные задачи

1. Координаты вектора, заданного двумя точками.

Теорема 1. Если в аффинной системе координат и , то .

Представим вектор в виде разности векторов и :

Так как , то по определению координат точки . Аналогично . Применяя свойство координат векторов (координаты разности двух векторов равны разности их соответствующих координат), получаем, что вектор имеет координаты Þ .

2. Деление отрезка в данном отношении.

Говорят, что точка М делит направленный отрезок в отношении , если выполняется векторное равенство:

. (1)

Число при этом называется простым отношением трех точек М₁, М₂ и М. Простое отношение трех точек М₁, М₂ и М обозначается так: .

Почему в определении деления отрезка в данном отношении ?

Пусть М₁М₂ и точка М делит направленный отрезок в отношении l=-1. Тогда по определению деления отрезка в данном отношении

т.е. Þ Þ . А так как начало у векторов и общее и они равны, то М₁=М₂. Получили противоречие с условием, следовательно, .

Из векторного равенства (1) следует, что если , то , т.е. точка М совпадает с точкой М₁; если l>0, то точка М лежит внутри отрезка (рис. 37), т.е. ; если l<0, то точка М лежит на прямой вне отрезка (рис. 38), т.е. или .

М₁

М₂

Рис. 37

М₁

М₂

М₁

Рис. 38

Теорема 2. Пусть в аффинной системе координат , . Тогда координаты точки , делящей направленный отрезок в отношении , находятся по формулам:

; ; . (2)

По определению деления отрезка в данном отношении .

М₁

М₂

Рис. 39

По теореме 1

. Тогда

. Так как два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, то

;

, откуда получаем: ; ; .

Формулы (2) называются формулами деления отрезка в данном отношении в координатах.

Из теоремы 2 получаем

Следствие. Если М(х;у; z ) – середина отрезка М₁М₂ с концами и , то , , .

Так как М – середина М₁М₂, то Þ l=1. Применяя формулы деления отрезка в данном отношении в координатах, получаем:

, , .

Основная метрическая задача

Теорема 3(расстояние между двумя точками в координатах). Если в прямоугольной декартовой системе координат , , то расстояние АВ между точками А и В находится по формуле:

Учитывая, что , и используя формулы для нахождения длины вектора в координатах, получаем:

Формулы, доказанные в теоремах 1 и 2, можно использовать и в аффинной, и в прямоугольной декартовой системе координат, а формулу из теоремы 3 – только в прямоугольной декартовой системе координат.

Формулы преобразования координат

§12. Преобразование аффинной системы координат

О'

Рис. 40

Возьмем на плоскости две аффинные системы координат

. Первую назовем старой, вторую - новой. Пусть М – произвольная точка плоскости, которая в старой системе

имеет координаты х,у, а в новой системе

- координаты

(рис. 40).

Задача преобразования координат состоит в следующем: зная координаты нового начала и новых координатных векторов в старой системе:

, , , (3)

выразить координаты х,у точки М в старой системе координат, через координаты этой точки в новой системе.

Из формул (3) следует, что

; ; . (4)

(по правилу треугольника).

Так как , , то по определению координат точки , , т.е. ; .

Тогда, используя формулы (4), получим:

т.е. ,

откуда находим:

(5)

;

. Так выражаются координаты х,у произвольной точки М в старой системе через ее координаты в новой системе .

Формулы (5) называются формулами преобразования аффинной системы координат.

Коэффициенты , при - координаты нового вектора в старой системе ; коэффициенты , при - координаты нового вектора в старой системе, свободные члены , - координаты нового начала в старой системе:

Координаты точки М

в новой системе

Координаты точки М в старой системе

Координаты нового вектора

в старой системе

Координаты нового вектора

в старой системе

Координаты нового начала

в старой системе

Таблица называется матрицей перехода от базиса , к базису , .

Частные случаи преобразования аффинной

Системы координат

1. Перенос начала.

При этом преобразовании , , а (рис. 41).

Найдем координаты векторов и в старой системе, т.е. , , и :

Þ Þ , ;

Þ Þ , .

Тогда формулы (5) примут вид:

(6)

Формулы (6) называются формулами переноса начала.

О'

Рис. 41

О'=О

Рис. 42

2. Замена координатных векторов.

При этом преобразовании системы координат имеют общее начало и отличаются координатными векторами (рис. 42).

Так как , то , . Тогда формулы (5) примут вид:

;

(7)

Формулы (7) называются формулами замены координатных векторов.

Полярные координаты

Если указано правило, по которому положение точек плоскости можно определить с помощью упорядоченных пар действительных чисел, то говорят, что на плоскости задана система координат. Кроме аффинной системы координат, которая была рассмотрена в §10, в математике часто применяют полярную систему координат на плоскости.

Система полярных координат вводится на ориентированной плоскости.

Пара, состоящая из точки О и единичного вектора , называется полярной системой координат и обозначается или . Направленная прямая называется полярной осью, точка О - полюсом (рис. 49).

Рис. 49

Пусть М – произвольная точка плоскости. Расстояние

от точки О до точки М называется полярным радиусом точки М.

Таким образом, . Если М совпадает с О, то . Для любой точки М ее полярный радиус

Рис. 50

Направленный угол

называется полярным углом точки М (рис. 50).

Если М совпадает с полюсом О, то j - неопределенный. Из определения направленного угла между векторами (см. §13) следует, что полярный угол

Рис. 51

Полярный радиус r и полярный угол j называются полярными координатами точки М.

На рис. 51 построены точки , , по их полярным координатам.

Рис. 52

М₁

Выведем формулы перехода от полярных координат к прямоугольным декартовым и обратно.

Пусть - полярная система координат на ориентированной плоскости, , в . Присоединим к полярной системе единичный вектор , ортогональный вектору так, чтобы базис , был правым (рис. 52).

, .

Пусть М(х;у) в . Тогда ; (рис. 52).

Получили формулы перехода от полярных координат к прямоугольным:

Возведем обе части этих равенств в квадрат и сложим:

, откуда (корень берется со знаком «+», т.к. ). Þ Þ ; .

Получили формулы перехода от прямоугольных декартовых координат к полярным:

Рис. 53

Замечание. При решении задач на переход от прямоугольных декартовых координат к полярным недостаточно найти только

или только

, т.к. по одной тригонометрической функции определить полярный угол однозначно невозможно: в промежутке

существуют два угла с одинаковыми косинусами (два угла с одинаковыми синусами) (рис. 53). Поэтому правильно найти полярный угол j вы сможете, только если одновременно вычислите

Прямая линия на плоскости

Различные уравнения прямой

Говорят, что уравнение есть уравнение линии , если выполняются два условия:

1) если точка принадлежит линии , то ее координаты удовлетворяют уравнению ;

2) если координаты точки удовлетворяют уравнению , то .

Заметим, что условие 2) можно заменить на эквивалентное ему условие 2^*):

2^*) если , то ее координаты не удовлетворяют уравнению .

Линия на плоскости называется алгебраической, если в какой-либо аффинной системе координат уравнение этой линии можно представить в , где - многочлен от переменных и , т.е. сумма членов вида , .

Число называется степенью члена , где .

Наивысшая степень членов многочлена называется степенью этого многочлена. Например, степень многочлена равна 7.

Порядком алгебраической линии, заданной уравнением , называется степень многочлена .

Из школьного курса известно, что прямая линия является линией первого порядка, а окружность, гипербола и парабола – линиями второго порядка.

Рассмотрим на плоскости прямую линию. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором. Направляющий вектор прямой будем обозначать через . Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов. Любые два из них коллинеарны (рис. 54).

Прямая на плоскости однозначно задается точкой и направляющим вектором или двумя точками.

Выведем несколько уравнений прямой на плоскости в аффинной системе координат .

Рис. 54

Рис. 55

1. Каноническое уравнение прямой.

Пусть прямая задана точкой и направляющим вектором (рис. 55). Этот факт будем обозначать так: .

Если точка принадлежит прямой , то . Находим координаты вектора . Далее применяем условие коллинеарности двух векторов в координатах (см. § 5, свойство координат векторов 5⁰):

, если ;

, если .

Если , то || . Следовательно,

, если ;

, если .

Итак, доказано, что точка

принадлежит прямой

тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

(если ); (10)

(если

); (11)

(если

). (12)

Каждое из уравнений (10), (11) и (12) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

В уравнениях (10)-(12) - координаты фиксированной точки прямой ; - координаты направляющего вектора прямой ; - текущие координаты произвольной точки прямой .

2. Параметрическое уравнение прямой.

Пусть прямая задана точкой и направляющим вектором .

(рис. 54) (по теореме о коллинеарных векторах).

Записывая это условие в координатном виде, получаем:

или (13)

Система уравнений (13) называется параметрическим уравнением прямой на плоскости. Действительное число называется параметром. Геометрический смысл параметра состоит в следующем: для любой точки существует единственный параметр , удовлетворяющий уравнениям (13), и обратно, и .

3. Уравнение прямой, заданной двумя точками.

Пусть (рис. 56). Тогда в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор , т.е.

Рис. 56

Таким образом, прямая

задана точкой

и направляющим вектором

. Применяем каноническое уравнение прямой (10) (см. пункт 1):

(14)

Уравнение (14) называется уравнением прямой, заданной на плоскости двумя точками и .

Заметим, что если или , то применяем частные случаи (11) или (12) канонического уравнения прямой.

4. Уравнение прямой в «отрезках».

Рис. 57

Пусть прямая

пересекает ось

аффинной системы координат

в точке

, ось

- в точке

, где

(рис. 57).

Применяя уравнение прямой, заданной двумя точками А и В, получим:

;

; ,

откуда получаем уравнение:

(15)

Уравнение (15) называется уравнением прямой «в отрезках».

Геометрический смысл а и в в уравнении прямой «в отрезках»: а – это абсцисса точки пересечения прямой с осью , в – ордината точки пересечения прямой с осью аффинной системы координат.

5. Уравнение прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.

Рис. 58

М₀

Пусть

- прямая, не параллельная оси

(рис. 58),

- направляющий вектор прямой

. Так как

, а

, то

. Следовательно,

. Поэтому

(см. условие коллинеарности векторов в координатах).

Число называется угловым коэффициентом прямой .

Угловой коэффициент прямой не зависит от выбора направляющего вектора этой прямой (попробуйте доказать это самостоятельно).

Рис. 59

Замечание. Если прямая

задана в прямоугольной системе координат

, то

имеет простой геометрический смысл:

, где

- угол наклона прямой

к оси

, т.е. направленный угол

(рис. 59).

Пусть прямая задана точкой и угловым коэффициентом . Запишем каноническое уравнение прямой :

и преобразуем его: ; ; учитывая, что , получим:

(16)

Уравнение (16) называется уравнением прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.

6. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть - угловой коэффициент прямой . Применяя уравнение (16), получим: , т.е.

. (17)

Уравнение (17) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

В уравнении (17) в – это ордината точки пересечения прямой с осью .

Основные аффинные задачи,

Лекция 10

Системе координат

Вектором нормали

Ненулевой вектор называется перпендикулярным данной прямой, если он ортогонален любому направляющему вектору этой прямой.

Вектор, перпендикулярный прямой, называется вектором нормали этой прямой или ее нормальным вектором. Для каждой прямой на плоскости существует бесконечное множество векторов нормали. Любые два из них коллинеарны (рис. 61).

Вектор нормали прямой будем обозначать через .

Рис. 61

Рис. 62

Лемма 1. Если прямая в прямоугольной системе координат задана уравнением , то вектор перпендикулярен прямой .

□ Возьмем направляющий вектор прямой и найдем скалярное произведение . ■

Следствие. Уравнение прямой , заданной в прямоугольной декартовой системе координат точкой и вектором нормали , имеет вид .

□ Если , то (рис. 62) Þ .

Если , то вектор не ортогонален вектору , т.е. .

Итак, доказано, что точка тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

. ■ (19)

Уравнение (19) называется уравнением прямой, заданной точкой и вектором нормали.

Замечание. Если в прямоугольной декартовой системе координат прямая задана общим уравнением , то геометрический смысл коэффициентов при х и у состоит в следующем: А и В есть координаты вектора нормали прямой , т.е. .

Элементы векторной алгебры

Векторы. Линейные операции над векторами

Понятие вектора

Направленным отрезком называется отрезок, у которого указаны начало и конец. Обозначение:

Вектором называется направленный отрезок. Обозначение: (рис. 1).

Рис. 1

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Обозначение: .

На рис. 2 , .

Рис. 2

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Векторы и называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Длиной вектора называется расстояние между его началом и концом. Обозначение длины вектора : .

Длина нулевого вектора равна 0, т.е. .

Вектор называется единичным, если его длина равна единице.

В пространстве существует бесконечное множество единичных векторов.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и длины их равны. Обозначение: .

Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и длины их равны.

Вектор, противоположный вектору , обозначается .

Откладыванием вектора от точки А называется процесс построения такой точки М, что .

Алгоритм этого процесса таков: пусть дан вектор

и точка А. Сначала строят луч

, исходящий из точки А и сонаправленный с вектором

(рис. 3). Затем на луче

откладывают с помощью циркуля отрезок АМ, длина которого равна длине вектора

. Вектор

- искомый, т.е.

Рис. 3

§2. Сложение и вычитание векторов

Линейными операциями над векторами называется сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

Результатом сложения векторов является их сумма. Сумма векторов и обозначается .

Существует два правила сложения двух векторов: правило треугольника и правило параллелограмма.

Правило треугольника

Рис. 4

По правилу треугольника можно складывать любые векторы.

Коротко правило треугольника можно записать так:

для любых трех точек А,В и С .

Правило параллелограмма

Рис. 5

По правилу параллелограмма можно складывать тольконеколлинеарные векторы.

Свойства сложения векторов:

1⁰. .

2⁰. .

3⁰. .

4⁰. .

Суммой n векторов называется вектор и обозначается так: .

При построении суммы n векторов пользуются правилом многоугольника.

Правило многоугольника

Дата: 2018-11-18, просмотров: 287.

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒