34. Признак единственности оптимального плана, множества оптимальных планов и отсутствия оптимального плана при решении задача ЛП симплекс-методом.

При решении задач симплекс-методом возможны следующие виды оптимальных решений:

1. Единственность. Если оценки всех свободных векторов строго отрицательные, то полученный опорный план является оптимальным и единственным. (см. пример в предыдущем параграфе).

Альтернативный оптимум (множество оптимальных решений).

Если среди неположительных оценок свободных векторов имеется хотя бы одна нулевая, то полученный опорный план будет оптимальным, но не единственным. В этом случае можно перейти к другим опорным планам (вводятся в базис векторы, которым соответствуют нулевые оценки) и, затем, общее оптимальное решение записать в виде выпуклой комбинации полученных оптимальных опорных планов.

3. ЗЛП не имеет оптимального решения, так как целевая функция не ограничена снизу. Если в симплекс таблице имеется положительная оценка, а все элементы данного столбца отрицательны и нулевые, то данный вектор можно ввести в базис. Однако никакой из базисных векторов нельзя вывести из базиса. Из этого следует, что дальнейшее уменьшение целевой функции возможно при переходе к неопорному плану.

4. ЗЛП не имеет оптимального решения, так как система ограничений противоречива. Поскольку при решении ЗЛП обычным симплекс-методом должен быть исходный опорный план, то система линейных уравнений заведомо не противоречива. Следовательно, такой случай не может встретиться при решении обычным симплекс методом.

5. Если ОДЗ состоит из одной точки, то решение такой задачи является тривиальным, и может быть получено без использования симплекс-метода.

В каких случая применяется метод искусственного базиса

Если задача линейного программирования находится в канонической форме, однако, не во всех уравнениях присутствуют базисные переменные, т. е. исходный опорный план отсутствует. В этом случае в те уравнения, в которых нет базисных переменных, необходимо добавить с коэффициентом +1 некоторую неотрицательную переменную. Такая переменная называется искусственной.

Построение М-задачи в методе искусственного базиса

Если задача линейного программирования находится в канонической форме, однако, не во всех уравнениях присутствуют базисные переменные, т. е. исходный опорный план отсутствует. В этом случае в те уравнения, в которых нет базисных переменных, необходимо добавить с коэффициентом +1 некоторую неотрицательную переменную. Такая переменная называется искусственной.

Искусственную переменную необходимо добавить в целевую функцию с очень большим положительным числом (так как целевая функция на нахождения минимума). Это число обозначается латинской буквой M. Его можно считать равным +∞. В связи с этим иногда метод искусственного базиса называют М- методом. Такое преобразование исходной задачи называется построением расширенной задачи. Если решается задача с целевой функцией на нахождение искусственную переменную необходимо добавить в целевую функцию с очень большим положительным числом (так как целевая функция на нахождения минимума). Это число обозначается латинской буквой M. Его можно считать равным +∞. В связи с этим иногда метод искусственного базиса называют М- методом. Такое преобразование исходной задачи называется построением расширенной задачи. Если решается задача с целевой функцией на нахождение максимума, то искусственные переменные входят в целевую функцию с коэффициентом –М.

Таким образом, в расширенной задаче мы имеем опорный план (хотя некоторые из базисных переменных и являются искусственными).

Строится исходная симплекс таблица.