Важный частный случай функциональных рядов представляют собой степенные ряды, т.е. ряды вида или, в более общем случае, . Поскольку при замене ряд переходит в ряд , достаточно рассмотреть эти последние ряды.

Теорема 1. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно для любого значения такого, что .

Доказательство. Поскольку - сходится, . Следовательно, . (Действительно, взяв , получим, что при . Тогда в качестве можно взять наибольшее из конечного набора чисел ). Тогда . Так как , прогрессия сходится. Значит, по первой теореме о сравнении, сходится ряд , т.е. исходный ряд абсолютно сходится.

Эта теорема позволяет выяснить структуру множества, на котором сходится степенной ряд.

Во-первых, очевидно, что любой степенной ряд сходится в точке . Кроме того, есть ряды, которые сходятся только в этой точке, например, ряд .

Если же ряд сходится в точках, отличных от , то возможны два случая.

В первом из них множество чисел таких, что ряд сходится в точке , неограничено сверху. Тогда ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой, т.к. выберем так, чтобы, во-первых, и, во-вторых, ряд сходился. Тогда, по теореме 1, ряд абсолютно сходится.

Во втором случае множество чисел таких, что ряд сходится, ограничено сверху. Обозначим через точную верхнюю грань этого множества. Число называется радиусом сходимости ряда. Из определения следует, что:

1. Если , то ряд абсолютно сходится;

2. Если , то ряд расходится.

В случае, когда ряд сходится на всей числовой прямой , полагают .

В точках общего утверждения о сходимости сделать нельзя (т.е. бывают ряды, сходящиеся в обеих этих точках, бывают – сходящиеся лишь в одной из них, бывают – расходящиеся в обеих точках. Примеры будут приведены ниже).

Найдем формулы, с помощью которых можно вычислить - радиус сходимости степенного ряда. Рассмотрим ряд . Применим к его исследованию признак Даламбера. . Если существует , и если , то ряд сходится. Если же , то, начиная с некоторого места, и общий член ряда не стремится к 0, но тогда и общий член ряда не стремится к 0 и ряд расходится.

Иными словами, ряд сходится при и расходится при . Таким образом, число представляет собой радиус сходимости степенного ряда. (Если , то при всех и ряд сходится на всей числовой прямой, что обозначается равенством ).

Дадим другую формулу для радиуса сходимости. Применим к рассматриваемому ряду признак Коши. . Пусть существует . Тогда, как и выше, при ряд сходится, а при - расходится. Поэтому (при , разумеется, ).

Рассмотрим примеры.

Пример 1. . Ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

Пример 2. . В точках ряд, очевидно, расходится.

Пример 3. . В точке сходится по теореме Лейбница. В точке гармонический ряд расходится.

Пример 4. . В точках получается условно сходящийся ряд .

Пример 5. . . В точках имеем ряд , который абсолютно сходится.

Теорема. Степенной ряд представляет собой функцию, непрерывную на , где - радиус сходимости ряда.

Доказательство.

Лемма. Пусть . Тогда сходится на множестве абсолютно и равномерно.

Доказательство. Так как , ряд сходится. Так как , можно применить теорему Вейерштрасса, из которой и следует утверждение леммы.

Замечание. Лемма отнюдь не утверждает равномерной сходимости степенного ряда на . Да это, вообще говоря, и неверно. Например, прогрессия сходится на неравномерно. Однако этот ряд сходится равномерно на любом .

Пусть теперь , т.е. . Выберем так, чтобы . Тогда, по доказанной лемме, ряд сходится на абсолютно и равномерно. Поскольку все функции - непрерывные, сумма ряда есть непрерывная на функция. Значит, эта функция непрерывна и в выбранной, произвольной точке интервала .

Следствие. (Единственность степенного ряда). Пусть , и в некоторой окрестности . Тогда .

Доказательство. При получаем: . Поэтому . При . В правой и левой частях стоят степенные ряды, а они, по-доказанному, есть непрерывные функции, поэтому равенство сохраняется при , откуда и т.д. (Отметим, что здесь существенно использована непрерывность ряда в точке ).

Сформулируем без доказательства еще одну важную теорему.

Теорема. (Абель). Если ряд , имеющий сумму , сходится (хотя бы неабсолютно) при , то (т.е. сумма ряда непрерывна слева).

Теорема. Для любого .

Доказательство. Пусть удовлетворяет неравенствам . Тогда степенной ряд сходится равномерно на и его можно почленно проинтегрировать. Кроме того, . Теорема доказана.

Теорема. Для любого .

Доказательство. Выберем так, чтобы . По определению , ряд сходится. Поэтому (см. доказательство теоремы 1): . Рассмотрим величину . По признаку Даламбера, ряд сходится, т.к. . Значит, мы оценили члены ряда при членами сходящегося ряда . Применяя теорему Вейерштрасса на , получаем, что этот ряд равномерно сходится. Следовательно, почленное дифференцирование обосновано на отрезке , а значит, и в точке . Ввиду произвольности точки , теорема доказана.

Важное замечание. Из доказанных теорем вытекает, что при интегрировании и дифференцировании радиус сходимости не уменьшается. Но увеличиться он также не может. Если бы, например, он увеличился и стал равен при интегрировании, мы продифференцировали бы этот полученный при интегрировании ряд и получили бы с одной стороны, ряд, совпадающий с исходным, а с другой стороны, имеющий радиус сходимости не меньший, чем (по доказанному).

Итак, радиус сходимости степенного ряда не меняется при почленном интегрировании и дифференцировании.

Однако поведение в концевых точках может меняться. Например, ряд сходится на . При этом ряд , получающийся из исходного дифференцированием, сходится только на , а прогрессия , получающаяся при дифференцировании ряда (сходящегося на ), сходится на .

Рассмотрим теперь функцию , представляемую степенным рядом в области его сходимости. Очевидно, . Далее, последовательно применяем теорему о почленном дифференцировании ряда. , откуда . , откуда . , и т.д. .

Следовательно, при всех . Таким образом, . Это можно сформулировать так: степенной ряд, сходящийся к , представляет собой ряд Тейлора для своей суммы .

Если имеет производные произвольного порядка в точке , то можно образовать соответствующий ей ряд Тейлора: .

Важное замечание. Не всегда этот ряд сходится к самой функции . Например, нетрудно доказать, что функция имеет производные произвольного порядка в точке и все они равны 0, т.е. . Ряд Тейлора этой функции тождественно равен 0 и не совпадает с .

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы ряд Тейлора функции сходился к самой функции , можно сформулировать так: остаток должен стремиться к 0 при .