Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):

;                                                                                                                                             (1)

(все три переменные x, y, F - действительны).
Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).
Пример: y⁽⁴⁾ – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка.

Уравнение вида  F(x, y, y/) = 0 называется уравнением первого порядка.

 В простейших случаях оно может быть разрешено относительно у/ = f(x,y).

Общее решение имеет вид у = j(х,С), где С - константа.

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых.

Интегральные кривые обладают тем свойством, что все касательные в точке М(х,у) имеют наклон tga = f ’(x,y).

Если задать точку М0(х0,у0), через которую должна проходить интегральная кривая, то это требование называется начальным условием y = у0, х = х0 и тогда

у0 = j(х0,С0).

Определяется С - константа; в результате получаем частное интегральное решение у = j(х,С0).

В этом состоит задача Коши.

Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.
Так, функция y(x) = e^x + x обращает уравнение : y⁽⁴⁾ – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y⁽⁴⁾(x) = e^x; e^x –(e^x +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.
Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение

;                                                                                                                                             (2)

что: 1. Любое решение (2) относительно y (для набора постоянных C₁, C₂, …, C_n из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1);
2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n.
Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной:

;                                                                                                                                     

и получать общее решение в форме

;                                                                                                                                                       

решённой относительно неизвестной функции.

обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

;                                                                                                                                                                         

где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:

;                                                                                                                                                                              

Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как

;                                                                                                                                                                            

Общее решение (общий интеграл) уравнения при n = 1 имеет вид или .