Вычисление средней арифметической по исходным данным

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

(8)

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в том, что по формуле (8) средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти организаций, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

Задание 2

По исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками Среднесписочная численность работников и Выпуск продукции, образовав по каждому признаку пять групп с равными интервалами, используя методы:

а) аналитической группировки;

б) корреляционной таблицы.

2. Оценить тесноту корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 2.

Выполнение Задания 2

Целью выполнения данного Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи и оценка ее тесноты.

Факторный и результативный признаки либо задаются в условии задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после того, как выяснена экономическая сущность явления и определены факторный и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа данных.

По условию Задания 2 факторным является признак Уровень производительности труда (X), результативным – признак Выпуск продукции (Y).

1. Установление наличия и характера связи между признаками Уровень производительности труда и Выпуск продукции методами аналитической группировки и корреляционной таблицы

1а. Применение метода аналитической группировки

При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х – Уровень производительности труда и результативным признаком Y – Выпуск продукции. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7):

Таблица 7

Зависимость суммы прибыли банков от объема кредитных вложений

Номер группы	Группы организаций по уровню производительности труда, х	Число организаций, *f_j*	Выпуск продукции, млн руб.
Номер группы	Группы организаций по уровню производительности труда, х	Число организаций, *f_j*	всего	в среднем на одну организацию,
1
2
3
4
Итого

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8.

Таблица 8

Зависимость выпуска продукции организаций от выпуска продукции

Номер группы	Группы организаций по уровню производительности труда, х	Число организаций, *f_j*	Выпуск продукции, млн руб.
Номер группы	Группы организаций по уровню производительности труда, х	Число организаций, *f_j*	всего	в среднем на одну организацию,
1	2	3	4	5=4:3
1	0,12 – 0,168	3	56	18,666
2	0,168 – 0,216	4	117,31	29,327
3	0,216 – 0,264	12	480,886	40,073
4	0,264 – 0,312	7	382,504	54,643
5	0,312 – 0,36	4	283,84	70,96
	Итого	30	1320,54	213,669

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением уровня производительности труда от группы к группе систематически возрастает и выпуск продукции в среднем по каждой группе организаций, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

1б. Применение метода корреляционной таблицы.

Корреляционная таблица представляет собой комбинацию двух рядов распределения. Строки таблицы соответствуют группировке единиц совокупности по факторному признаку Х, а графы – группировке единиц по результативному признаку Y. На пересечении j-ой строки и k-ой графы указывается число единиц совокупности, входящих в j-ый интервал по факторному признаку и в k-ый интервал по результативному признаку. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему. Расположение частот по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему говорит об обратной связи.

Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y. Величина интервала и границы интервалов для факторного признака Х – Уровень производительности труда известны из табл. 8. Для результативного признака Y – Выпуск продукции величина интервала определяется по формуле (1) при k = 5, у _max = 79,2 млн руб., у _min = 14,4 млн руб.:

Границы интервалов ряда распределения результативного признака Y имеют следующий вид (табл. 9):

Таблица 9

Номер группы	Нижняя граница, млн руб.	Верхняя граница, млн руб.
1	14,4	27,36
2	27,36	40,32
3	40,32	53,28
4	53,28	66,24
5	66,24	79,2

Подсчитывая с использованием принципа полуоткрытого интервала [ ) число банков, входящих в каждую группу (частоты групп), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (табл. 10).

Таблица 10

Распределение организаций по выпуску продукции

Группы организаций по выпуску продукции, млн. руб., х	Число организаций, f_j
14,4 - 27,36	4
27,36 – 40,32	8
40,32 – 53,28	9
53,28 – 66,24	6
66,24 – 79,2	3
Итого	30

Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу (табл. 11).

Таблица 11

Корреляционная таблица зависимости выпуска продукции от уровня производительности труда

Группы организаций по уровню производительности труда, млн руб./чел.	Группы организаций по выпуску продукции, млн. руб.
	14,4 - 27,36	27,36 - 40,32	40,32 – 53,28	53,28 – 66,24	66,24 – 79,2	Итого
0,12 – 0,168	3
0,168 – 0,216	1	3
0,216 – 0,264		5	7
0,264 – 0,312			2	5
0,312 – 0,36				1	3
Итого	4	8	9	6	3	30

Вывод. Анализ данных табл. 11 показывает, что распределение частот групп произошло вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между уровнем производительности труда и выпуском продукции.

2. Измерение тесноты корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Для измерения тесноты связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации оценивает, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

, (9)

где – общая дисперсия признака Y,

– межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

, (10)

где y_i – индивидуальные значения результативного признака;

– общая средняя значений результативного признака;

n – число единиц совокупности.

Общая средняя вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

(11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

(12)

Для вычисления удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет по формуле (11):

Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12

Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Номер организации п/п	Выпуск продукции, млн руб.
1	2	3	4	5
1	36,45	-7,568	57,274	1328,602
2	23,4	-20,618	425,101	547,56
3	46,54	2,522	6,360	2165,971
4	59,752	15,734	247,558	3570,301
5	41,415	-2,603	6,775	1715,202
6	26,86	-17,158	294,396	721,459
7	79,2	35,182	1237,773	6272,64
8	54,72	10,702	114,532	2994,278
9	40,424	-3,594	12,916	1634,099
10	30,21	-13,808	190,660	912,644
11	42,418	-1,6	2,56	1799,286
12	64,575	20,557	422,590	4169,930
13	51,612	7,594	57,668	2663,798
14	35,42	-8,598	73,925	1254,576
15	14,4	-29,618	877,225	207,36
16	36,936	-7,082	50,154	1364,268
17	53,392	9,374	87,871	2850,705
18	41	-3,018	9,108	1681
19	55,68	11,662	136,002	3100,262
20	18,2	-25,818	666,569	331,24
21	31,8	-12,218	149,279	1011,240
22	39,204	-4,814	23,174	1536,953
23	57,128	13,11	171,872	3263,608
24	28,44	-15,578	242,674	808,833
25	43,344	-0,674	0,454	1878,702
26	70,72	26,702	712,996	5001,318
27	41,832	-2,186	4,778	1749,916
28	69,345	25,327	641,456	4808,729
29	35,903	-8,115	65,853	1289,025
30	50,22	6,202	38,464	2522,048
Итого	1320,54	0	7028,017	65155,553

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

где – средняя из квадратов значений результативного признака,

– квадрат средней величины значений результативного признака.

Для демонстрационного примера

Тогда

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

, (13)

где –групповые средние,

– общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчета межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 13 При этом используются групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

Таблица 13

Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы организаций по уровню производительности труда	Число организаций,	Среднее значение в группе
1	2	3	4	5
0,12 – 0,168	3	18,666	-25,352	1928,171
0,168 – 0,216	4	29,327	-14,691	863,301
0,216 – 0,264	12	40,073	-3,945	186,756
0,264 – 0,312	7	54,643	10,625	790,234
0,312 – 0,36	4	70,96	26,942	2903,485
Итого	30			6671,947

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (11):

Расчет эмпирического коэффициента детерминации по формуле (9):

или 94,9%

Вывод. 94,9% вариации выпуска продукции организаций обусловлено вариацией уровня производительности труда, а 5,1% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

(14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 14):

Таблица 14

Шкала Чэддока

h	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Расчет эмпирического корреляционного отношения по формуле (14):

или 97,4%

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между уровнем производительности труда и выпуском продукции организаций является весьма тесной.

Задание 3

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,954 необходимо определить:

1) ошибку выборки среднего уровня производительности труда и границы, в которых будет находиться производительность труда в генеральной совокупности.

2) ошибку выборки доли организаций с уровнем производительности труда 0,264 млн руб./чел и более, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение Задания 3

Целью выполнения данного Задания является определение для генеральной совокупности организаций региона границ, в которых будут находиться величина среднего уровня производительности труда организаций и доля организаций с уровнем производительности труда не менее 0,264 млн руб./чел.

1. Определение ошибки выборки среднего уровня производительности труда организаций и границы, в которых будет находиться генеральная совокупность.

Применение выборочного метода наблюдения всегда связано с установлением степени достоверности оценок показателей генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно представлены в выборке статистические свойства генеральной совокупности. Как правило, генеральные и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).

Значения признаков единиц, отобранных из генеральной совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять два вида ошибок - среднюю и предельную .

Средняя ошибка выборки - это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего математического ожидания M[ ].

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле

, (15)

где – общая дисперсия выборочных значений признаков,

N – число единиц в генеральной совокупности,

n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

, (16)

где – выборочная средняя,

– генеральная средняя.

Границы задают доверительный интервал генеральной средней, т.е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют доверительной вероятностью или уровнем надёжности.

В экономических исследованиях чаще всего используются доверительные вероятности Р= 0.954, Р= 0.997, реже Р= 0,683.

В математической статистике доказано, что предельная ошибка выборки Δ кратна средней ошибке µ с коэффициентом кратностиt (называемым также коэффициентом доверия), который зависит от значения доверительной вероятности Р. Для предельной ошибки выборочной средней это теоретическое положение выражается формулой

(17)

Значения t вычислены заранее для различных доверительных вероятностей Р и протабулированы (таблицы функции Лапласа Ф). Для наиболее часто используемых уровней надежности Р значения t задаются следующим образом (табл. 15):

Таблица 15

Доверительная вероятность P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

По условию задачи выборочная совокупность насчитывает 30 организаций, выборка 20% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 150 организаций. Выборочная средняя , дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 16:

Таблица 16

Р	t	n	N
0,954	2	30	150	0,248	-,0028

Расчет средней ошибки выборки по формуле (15):

Расчет предельной ошибки выборки по формуле (17):

Определение по формуле (16) доверительного интервала для генеральной средней:

0,248-0,00015 0,248+0,00015

0,24785 млн руб./чел. 0,24815 млн руб.

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования организаций региона с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для генеральной совокупности организаций средний уровень производительности труда находится в пределах от ,024785 млн руб./чел. до 0,24815 млн руб./чел.

3. Определение ошибки выборки доли организаций с уровнем производительности труда 0,264 млн руб./чел и более, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля.

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

, (18)

где m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

n – общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

, (19)

где w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

(1- w ) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

N – число единиц в генеральной совокупности,

n– число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих заданным свойством:

(20)

4. По условию Задания 3 исследуемым свойством является равенство или превышение уровня производительности труда величины 0,264 млн руб./чел.

Число организаций с заданным свойством определяется из табл. 3 (графа 3):

m=11

Расчет выборочной доли по формуле (18):

Расчет по формуле (19) предельной ошибки выборки для доли:

Определение по формуле (20) доверительного интервала генеральной доли:

0,21 0,524

или

21% 52,4%

5. Вывод. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности организаций доля организаций с уровнем производительности труда 0,264 млн руб./чел. и выше будет находиться в пределах от 21% до 52,4%.

Задание 4

По исходным данным табл. 17 необходимо выполнить следующее:

1. Определить уровни среднечасовой, среднедневной и среднегодовой производительности труда, их динамику и взаимосвязь. Расчеты представить в таблице.

2. Определить абсолютный прирост среднегодовой производительности труда одного работника за счет отдельных факторов (среднечасовой производительности труда рабочего, средней продолжительности рабочего дня, и рабочего года, доли рабочих в общей численности работников).

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 4.

Таблица 17

Имеются следующие данные по организации за два года:

№ п/п	Показатели	Базисный год	Отчетный год
1.	Выпуск продукции (в сопоставимых ценах), млн.руб.	40,8	54,2
2.	Среднесписочная численность работников, чел.	164	180
3.	В том числе рабочих, чел.	130	145
4.	Отработано рабочими чел.-дней	31200	33060
5.	Отработано рабочими чел.-ч	240 240	261 174

Выполнение Задания 4.

Часть.

· Средняя часовая выработка отражает результаты труда одного

рабочего за час фактической работы. Она равна отношению объема произведенной продукции к числу человеко-часов, фактически отработанных в течение данного периода времени

· Средняя дневная выработка. Она равна отношению объема

произведенной продукции к числу человеко-дней, фактически отработанных всеми рабочими предприятиями.

· Средняя выработка за период времени (среднемесячная, среднеквартальная, среднегодовая) одного списочного рабочего или работника всего персонала, непосредственно связанного с производством данной продукции (промышленно-производственного персонала). Она равна отношению объема продукции к среднесписочной численности рабочих (Т_Р) или работников промышленно - производственного персонала (Т_ППП) соответственно.