Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Цель:

усвоить понятие угла в пространстве, угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве, перпендикулярных прямых в пространстве, сонаправленных лучей, перпендикулярных скрещивающихся прямых;

рассмотреть случаи нахождения угла между скрещивающимися прямыми и теоремы об углах с соноправленными сторонами;

усвоить понятие прямой, перпендикулярной плоскости, перпендикуляра, высоты пирамиды, прямого цилиндра, ортографического проектирования;

усвоить понятие расстояние между плоскостью и не принадлежащей ей точкой, расстояние между двумя параллельными плоскостями, общего перпендикуляра между скрещивающимися прямыми; рассмотрим теорему об общем перпендикуляре скрещивающихся прямых и факт, что расстояние между параллельными плоскостями не зависит от выбора точки;

рассмотреть признак перпендикулярности прямой и плоскости; усвоить понятие наклонной к плоскости, угла между наклонной и плоскостью, между отрезком и плоскостью;

рассмотреть теоремы о трёх перпендикулярах, о перпендикуляре, проведённом из точки к плоскости, об угле между наклонной и плоскостью, научится применять полученные знания при доказательстве определенных фактов и при решении задач практического характера.

Освоение данного модуля необходимо для понимания темы и подготовки к восприятию следующего материала. усвоить понятие двугранного угла в пространстве, линейного данного двугранного, угла между двумя пересекающимися плоскостями, перпендикулярных плоскостей, рассмотреть признак перпендикулярности двух плоскостей,

1. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями

Определение. Углом в пространстве называется фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной.

Определение. Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованный лучами этих прямых с вершиной в их точке пересечения.

Определение. Две пересекающиеся прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Определение. Два луча в пространстве называются сонаправленными, если один из них содержит другой или они лежат на параллельных прямых по одну сторону от прямой, соединяющую их вершины.

Теорема. Углы с сонаправленными сторонами равны.

Доказательство. Пусть лучи a₁,b₁ с вершиной в точке C₁ соответственно сонаправленн лучам a₂,b₂ c вершиной в точке С₂. Предположим, что лучи лежат в разных плоскостях g₁,g₂. Случай, когда лучи лежат в одной плоскости, рассматривается в планиметрии. Заметим, что признаку параллельности плоскостей, g₁ и g₂ параллельны. Параллельное проектирование в направлении прямой С₁С₂ на плоскость g₂ переводит лучи a₁,b₁ в лучи a₂,b₂ соответственно. Отсюда следует, что углы, образованные этими лучами, равны.

Следствие. Углы образованные соответственно параллельными прямыми, равны.

 

Определение. Пусть a и b – скрещивающиеся прямые. Рассмотрим какую-нибудь точку С в пространстве и проведём через неё прямые a', b', параллельные прямым a и b, соответственно. Угол между пересекающимися прямыми a', b' называется углом между скрещивающимися прямыми a и b.

Определение. Две скрещивающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют прямой угол.

Определение. Два отрезка называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Угол между двумя отрезками – это угол между соответствующими прямыми.

2. Проверьте усвоение теоретического материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля

1. Что называется углом в пространстве?

2. Сформулируйте определение угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве.

3. Какие пересекающиеся прямые в пространстве называются перпендикулярными?

4. Какие лучи в пространстве являются соноправленными?

5. Как найти угол между скрещивающимися прямыми?

6. Сформулируйте теорему об углах с соноправленными сторонами.

3. Примите участие в учебной беседе. Материал для беседы

1. Докажите, что через точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную прямую. Сколько таких прямых можно провести через данную точку?(бесконечно много).

2. В кубе АBCDA₁B₁C₁D₁ найдите углы между скрещивающимися прямыми: а) АD и A₁C₁; б) АС₁ и DD₁; a) 45^o; б) tg 4= Ö2.

3. В кубе АBCDA₁B₁C₁D₁ докажите перпендикулярность прямых: АD и А₁B₁; АС и B₁D₁; АС и DD₁.

4. Прямые a и b параллельны. Прямые a и c пересекаются под прямым углом. Изобразите взаимное расположение прямых b и c и укажите угол между ними (рассмотрите различные случаи).

4. Самостоятельно выполните задания, затем проверьте решение

1. Докажите, что пересекающиеся диагонали двух соседних граней куба образуют угол 60^о.

2. Найдите угол между диагональю куба и пересекающим ее ребром куба.

 

3. В правильной четырех угольной пирамиде со стороной основания, равной боковому ребру, найдите угол между стороной основания и скрещивающимися с ней боковым ребром.

6. Проверьте освоение данного модуля, выполните контрольные задания

Основной уровень:1. В пирамиде все грани которого – правильные треугольники, найдите угол между высотами этих треугольников, проведенных к общему ребру. 2. В треугольной призме, боковыми гранями которого являются квадраты, найдите угол между пересекающимися диагоналями боковых граней.

Повышенный уровень: На поверхности куба найдите точки из которых диагональ куба видна под наименьшим углом.

Литература:

Перельман Я.И. Занимательная геометрия. – М.: ВАП, 1994.

1. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями

Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости, достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости).Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Доказательство. Пусть прямая а перпендикулярна прямой b₁,b₂ плоскости b, пересекающиеся в точке О. Рассмотрим произвольную прямую b плоскости b.Проведем через точку О прямые a', b' соответственно, параллельным прямым а и b. Для доказательства параллельности прямой а, b, достаточно доказать перпендикулярность прямых a', b'. Для этого в плоскости b проедем прямую, пересекающую прямую b₁, b₂, b' в точках B₁, B₂, B соответственно. Отложим на прямой а' от точки О равные отрезки ОС, ОD и соединим точки C, D с точками B₁,B₂.В треугольнике OB₁C и OB₁D=(по первому признаку равенства треугольников). Отсюда следует, B₁C=B₁D. Аналогично B₂C=B₂D. Треугольник B₁B₂C = треугольнику B₁B₂D (по третьему признаку равенства треугольников). Отсюда следует, угол CB₁B = углу DB₁B. Треугольник B₁BC = треугольнику B₁BD (по первому признаку). Таким образом, BC=BD. Треугольник OBC = треугольнику OBD (по третьему признаку). Отсюда следует, угол BOC = углу BOD=90^o, т. е. а’ перпендикулярна b’.

Определение. Пусть точка А не принадлежит плоскости p. Проведем прямую а, проходящую через эту точку и перпендикулярную p.Точку пересечения прямой а с плоскостью p обозначим О. Отрезок АО называется перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость p.

Определение. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, называется высотой пирамиды.

Определение. Ортогональным проектированием называется параллельное проектирование в направлении прямой, перпендикулярной плоскости. Ясно, что ортогональное проектирование обладает всеми свойствами параллельного проектирования.

Определение. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскости основания.

2. Проверьте освоение теоретического материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля

1. Какая прямая называется перпендикулярной плоскости?

2. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Какой отрезок называется перпендикулярным?

4.Что называется ортогональным проектированием.

5. Какой цилиндр является прямым?

6. Что называется высотой пирамиды?

3. Примите участие в учебной беседе. Материал для беседы

1. Верно ли, что если прямая перпендикулярна каким-нибудь двум прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости?

2. Докажите, что в прямоугольной пирамиде боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

3. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого равны a, b, c.

4. Докажите, что если прямая а перпендикулярна плоскости a и прямая b параллельна прямой а, то прямая b также перпендикулярна плоскости a.

5. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, боковое ребро b. Найдите высоту h пирамиды.

4. Самостоятельно выполните задания, затем проверьте решение

1. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде диагональ основания перпендикулярна пересекающему её боковому ребру.

2. Докажите, что если прямая a перпендикулярна плоскости a и плоскость b÷÷a, то прямая а перпендикулярна плоскости b.

3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а найдите расстояние: от вершины А₁ до плоскостей АВС и АВ₁D₁; от вершины А до плоскости ВВ₁D₁.

4. Докажите, что через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

6. Выполните контрольные задания

Основной уровень:1. Докажите, что через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой. 2. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания а, высота h. Найдите боковое ребро пирамиды. 3. Докажите, что плоскость a и прямая b, не лежащая плоскости a, перпендикулярные одной и той же прямой а, параллельны.

Повышенный уровень: Что представляет собой геометрическое место точек, расположенных на прямых, проходящих через данную точку на прямой и перпендикулярных этой прямой?

Литература: Никольская И.Л. Семёнов Е.Е. Учимся рассуждать и действовать. – М.: Просвещение, 1989.

1. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями

Определение. Наклонной к плоскости называется прямая, пересекающая эту плоскость и не перпендикулярная ей. Наклонной также называют отрезок, соединяющей точку, не принадлежащую плоскости, с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром.

Теорема (о трёх перпендикулярах, достаточное условие перпендикулярности двух прямых). Если прямая лежащая в плоскости, перпендикулярной ортогональной проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Доказательство. Пусть прямая а плоскости a перпендикулярна проекции ОВ наклонной АВ. Т. к. прямая АО перпендикулярна плоскости a, то АО перпендикулярна прямой а, лежащей в этой плоскости. Поэтому прямая а будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым АО и ОВ. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая а перпендикулярна плоскости АОВ, и Þ она будет перпендикулярна наклонной АВ.

Теорема. Перпендикуляр, проведённый из точки к плоскости, короче всякой наклонной, проведённой из той же точки к той же плоскости.

Доказательство.

Пусть АО перпендикуляр к плоскости a, АВ – наклонная к этой плоскости. Треугольник АОВ – прямоугольный, АО –катет, АВ – гипотенуза отсюда следует, что АО<АВ.

Определение. Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с ней прямой угол.

Теорема. Угол между наклонной и плоскостью является наименьшим из всевозможных углов между этой наклонной и прямыми, лежащими в данной плоскости.

Доказательство.

Пусть а- наклонная к плоскости a, О- их точка пересечения, b- ортогональная проекция наклонной, с- прямая в плоскости a, проходящая через точку О. Требуется доказать, что угол между прямыми а и b меньше угла между прямыми а и с.Для этого на прямой а возьмём точку А, отличную от точки О и ее ортогональную проекцию В. На прямую с отложим отрезок ОС, равный ОВ. На прямую с отложим отрезок ОС, равный ОВ. В треугольниках АОВ и АОС сторона АО- общая, ОВ=ОС, АВ<АС отсюда следует, что угол АОВ меньше угла АОС.

Определение. Углом между отрезком и плоскостью будем называть угол между соответствующей прямой и этой плоскостью.

2. Проверьте усвоение теоретического материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля

1. Что называется наклонной к плоскости?

2. Сформулируйте теоремы о трёх перпендикулярах, перпендикуляре, проедённом из точки к плоскости.

3. Что называется углом между наклонной и плоскостью, отрезком и плоскостью.

4. В чём заключается теорема об угле между наклонной и плоскостью?

3. Примите участие в учебной беседе. Материал для беседы

1. Докажите утверждение, обратное теореме о трёх перпендикулярах: «Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и ортогональной проекции этой наклонной».

2. Докажите, что ортогональная проекция наклонной короче ее самой.

3. Точка М равноудалена от всех точек окружности. Верно ли, что она лежит на перпендикуляре к плоскости окружности, проведенной через её центр?

4. Найдите геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от двух данных точек

4. Самостоятельно выполните задание, затем проверьте решение

1. В кубе АBCDA₁B₁C₁D₁ докажите перпендикулярность прямых АС₁ и ВD.

2. Докажите, равные наклонные, проведённые из одной точки к плоскости, имеют равные ортогональные проекции на эту плоскость.

3. Докажите, что в правильной пирамиде высота h проходит через центр основания.

4. Найдите угол между диагональю куба и плоскостью его основания.

6. Выполните контрольные задания

Основной уровень:1. Докажите, что в правильной треугольной пирамиде сторона основания перпендикулярна скрещивающемуся с ней ребру. 2. Найдите геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от трёх данных точек, не принадлежащих одной прямой.

Повышенный уровень: В правильной треугольной пирамиде сторона основания а, боковое ребро b. Найдите угол наклона ребра к плоскости основания.

1. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями

Определение. Двугранным углом в пространстве называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая граничная прямая – ребром двугранного угла.

Определение. Пусть a и b-полуплоскости с общей граничной прямой с. рассмотрим плоскость g, перпендикулярную прямой с, и обозначим линии её пересечения с полуплоскостями a и b через а и b соответственно. Угол между этими лучами называется линейным углом данного двугранного угла.

Докажем, что величина линейного угла не зависит от выбора плоскости g.

 Доказательство. Пусть g₁, g₂ – плоскости, перпендикулярные прямой с и пересекающие полуплоскости a и b по лучам а₁, а₂ и b₁, b₂ соответственно. Прямые а₁ и а₂, b₁ и b₂ сонаправлены, так как они перпендикулярны одной и той же прямой с Þ, углы, образованные этими прямыми, равны.

Определение. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла. Двугранный угол называется прямым, если его линейный угол прямой.

Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьшим из двугранных углов, образованных соответствующими полуплоскостями. Две плоскости называются перпендикулярными, если они образуют прямые двугранные углы.

Теорема (признак перпендикулярности двух плоскостей, достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей). Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство. Пусть плоскость a проходит через прямую а, перпендикулярную плоскости b, с- линия пересечения плоскостей a и b. Докажем, что a перпендикулярна b. В плоскости b через точку пересечения прямой а с плоскостью b проведём прямую b, перпендикулярную прямой с. Через прямую а и b проведём плоскость g. Прямая с будет перпендикулярна плоскости g, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и b в этой плоскости. Так как прямая а перпендикулярна плоскости b, то угол, образованный а и b, прямой. Он является линейным углом соответствующего двугранного угла отсюда следует, что a перпендикулярна b.

2. Проверьте усвоение теоретического материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение двугранного угла в пространстве.

2. Что называется линейным углом данного двугранного угла?

3. Зависит ли величина линейного угла от выбора плоскости g?

4. Каким является угол между двумя пересекающимися плоскостями?

5. Какие плоскости называются перпендикулярными?

6. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей.

3. Примите участие в учебной беседе. Материал для беседы

1. В правильной треугольной призме найти угол между боковыми гранями.

2. В кубе АBCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол наклона плоскости АВС₁ к плоскости основания.

3. Верно ли, что две плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны между собой?

 

Для пирамиды SABCD, в которой ребро SA перпендикулярно основанию (параллелограмм), SP=PC, SA=AD, назовите верные утверждения: угол между плоскостями SAB и DBC прямой; SBC и SAB перпендикуляры; плоскости SAC и DBC перпендикуляры; угол между плоскостями SCD и DBC прямой; плоскости DBC и ASP перпендикулярны; угол между плоскостями SBC и ASP прямой.

4. Самостоятельно выполните задания, затем проверьте решение

1. Докажите, что пересекающиеся грани прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны.

2. Докажите, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной плоскости. Сколько таких плоскостей?

3. Докажите, что если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она будет перпендикулярна и другой плоскости.

4. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудалённых от двух пересекающихся прямых.

6. Выполните контрольные задания

Основной уровень:1. Найдите угол между гранями правильной треугольной пирамиды с равными рёбрами. 2. Докажите, что диагональное сечение АА₁С₁С и BB₁DD₁ куба АBCDA₁B₁C₁D₁ перпендикулярны. 3. Докажите, что если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия пересечения первых двух плоскостей будет перпендикулярна третьей плоскости.

Повышенный уровень: Равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (угол С=90^о) перегнули по высоте СD таким образом, что плоскости ACD и BCD образовали прямой угол. Найдите углы ADB и ACB.

1. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями

Определение. Расстояние между плоскостью и не принадлежащей ей точкой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Определение. Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется расстояние от какой-нибудь точки одной плоскости до другой плоскости.

Докажем, что расстояние между параллельными плоскостями не зависит от выбора точки.

 Доказательство. Пусть даны параллельные плоскости a и b, точки А₁, А₂ плоскости a и их ортогональной проекции В₁, В₂ на плоскость b. Тогда расстояние от точки А₁ до плоскости b равно А₁В₁, а расстояние от точки А₂ до плоскости b равно А₂В₂. четырёхугольник А₁В₁В₂А₂ – прямоугольник Þ А₁В₁=А₂В₂.

Определение. Отрезок, соединяющий точки на скрещивающих прямых и перпендикулярный этим прямым, называется их общим перпендикуляром. Длина общего перпендикуляра, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Теорема. Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых существует и единствен.

Доказательство.

Пусть а,b- скрещивающиеся прямые. Через одну из них, например b, проведём плоскость b, параллельную прямой а. Это можно сделать, проведя прямую а’, параллельную а и пересекающую b. Тогда пересекающие прямые а’, b будут определять искомую плоскость b. Рассмотрим ортогональную проекцию а₀ прямой а на плоскость b. Она пересечёт прямую b в некоторой точке В, которая является ортогональной проекцией некоторой точки А прямой а. Отрезок АВ будет искомым. Действительно, он перпендикулярен плоскости b и, Þ перпендикулярен прямой b и а₀ параллельна а, т. е. он является общим перпендикуляром прямых a и b. Самостоятельно докажите единственность.

2. Проверьте усвоение теоретического материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля

1. Что называется расстоянием между плоскостью и не принадлежащей ей точкой?

2. Дайте определение расстояния между двумя параллельными плоскостями.

3. Что является общим перпендикуляром и расстоянием между скрещивающимися прямыми?

4. Сформулируйте теорему об общем перпендикуляре скрещивающихся прямых.

3. Примите участие в учебной беседе. Материал для беседы

1. Из точки А, не принадлежащей плоскости a, наклонная к этой плоскости. Определите угол между этой наклонной и плоскостью a, если расстояние от точки А до плоскости a: равно ортогональной проекции наклонной; в два раза меньше самой наклонной.

2. В кубе АBCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а найдите расстояние между вершиной А и: ребром CD; диагональю BD; диагональю АС₁.

3. Чему равно расстояние между параллельными гранями куба?

4. Из точки пересечения диагоналей прямоугольника, к его плоскости проведён перпендикуляр. Докажите, что любая точка этого перпендикуляра равноудалена от вершины прямоугольника.

5. Докажите, что расстояние между скрещивающимися прямыми являются наименьшим из всевозможных между точками на этих прямых.

4. Самостоятельно выполните задания, затем проверьте решение

1. Докажите, что плоскости АВ₁D₁ и ВDС₁ куба АBCDA₁B₁C₁D₁ параллельны. Найдите расстояние этими плоскостями, если ребро куба равно а.

2. В прямой четырёхугольной призме, в основании которого ромб со стороной а и острым углом j, найдите расстояние между противоположными боковыми гранями.

3. Докажите, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию параллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые.

4. В правильной треугольной пирамиде с ребром а найдите расстояние между скрещивающимися рёбрами.

5. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух параллельных прямых. (плоскость, перпендикулярная плоскости данных параллельных прямых и проходящая через прямую, равноудаленную от данных)

5. Самостоятельно оцените, достигли ли цели. Для этого вернитесь на начало модуля и прочтите, какие перед вами стояли цели

6. Выполните контрольные задания

Основной уровень:1. Из точки О пересечения диагоналей ромба АВСD проведён к его плоскости перпендикуляр OS. Докажите, что точка S равноудалена от всех сторон ромба. 2. Для куба АBCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а найдите расстояние между скрещивающимися прямыми: АD иА₁С₁; АС₁ и DD₁; AD и A₁B₁; АС и ВD₁; АС и DD₁; АС₁ и ВD. 3. Докажите, что середины всех отрезков, концы которых принадлежат двум скрещивающимся прямым, лежат в одной плоскости.

Повышенный уровень:1. Докажите, что если прямые параллельны плоскости, то кратчайшее расстояние между этой прямой и всеми прямыми плоскости, ей не параллельными, одно и тоже. 2. Три параллельные между собой прямые не лежат в одной плоскости. Из точки А, принадлежащей первой прямой, проведены перпендикуляры АВ и АС на вторую и третью прямые. Докажите, что длина отрезка ВС служит расстоянием между второй и третьей прямой.

Комплекс дополнительных задач

1. Прямые ОВ и СD параллельные, ОА и СD – скрещивающиеся. Найдите угол между ОА и СD, если: а) ÐАОВ=40°; б) ÐАОВ=135°; в) ÐАОВ=90°.

2. Прямая а параллельна стороне ВС параллелограмма АВСD и не лежит в плоскости параллелограмма. Найдите угол между а и СD, если один из углов параллелограмма равен: а) 50°; б) 121°.

3. Прямая m параллельна диагонали BD ромба АВСD и не лежит в плоскости ромба. Найдите угол: а) между прямыми m и АС; б) между m и АD, если ÐАВС=128°.

4. В пространственном четырехугольнике АВСD стороны АВ и СD равны. Докажите, что прямые АВ и СD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков ВС и АD.

5. Докажите, что два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо их сумма равна 180°.

6. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D_1. Докажите, что: а) DC^B₁C₁ и АВ^А₁ D₁, если ÐВАD=90°; б) АВ^СC₁ и DD₁^А₁ В₁, если АВ^DD_1.

7. В тетраэдре ABCD известно, что ВС^АD. Докажите, что АD^MN, где M и N – середины ребер АВ и АС.

8. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

9. Прямые АВ, АС и АD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок СD, если: 1) АВ=3 см, ВС=7 см, АD=1,5 см; 2) ВD=9 см, ВС=16 см; АD=5 см.

10. Прямая ОА перпендикулярна к плоскости ОВС, и точка О является серединой отрезка АD. Докажите, что: а) АВ=DВ; б) АВ=АС, если ОВ=ОС; в) ОВ=ОС, если АВ=АС.

11. Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной а проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК=b.

12. В треугольнике АВС дано: ÐС=90°, АС=6 см, ВС=8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК=12 см. Найдите КМ.

13. Прямая СD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой СD. Известно, что АВ=16Ö3 см, ОК=12 см, СD=16 см. Найдите расстояния от точек D и К до вершин А и В треугольника.

14. Докажите, что через любую точку данной прямой можно провести перпендикулярную ей плоскость.

15. Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести более одной прямой, перпендикулярной плоскости.

16. Докажите, что расстояния от всех точек плоскости до параллельной плоскости одинаковы.

17. Прямая PQ параллельна плоскости a. Через точки P и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости a, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках P₁ и Q₁. Докажите, что PQ= P₁Q_1.

18. Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости a и пересекающие ее соответственно в точках P₁ и Q_1. Найдите P₁Q₁, если PQ=15 см, РP₁=21,5 см, QQ₁=33,5 см.

19. Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид треугольника MBD, где D – произвольная точка прямой АС.

20. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая ОМ так, что МА=МС, МВ=МD. Докажите, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

21. Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ. Известно, что ÐМВА= ÐМВС=90°, МВ=m, АВ=n. Найдите расстояния от точки М до: а) вершин квадрата; б) прямых АС и ВD.

22. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, то и другая плоскость перпендикулярна этой прямой.

23. Докажите, что если точка Х равноудалена от концов данного отрезка АВ, то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной к прямой АВ.

24. Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.

25. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен φ. Найдите наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен d. Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна m.

26. Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к α перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что ÐОАВ=ÐВАС=60°, АО=1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

27. Один конец данного отрезка лежит в плоскости α, а другой находится от нее на расстоянии 6 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости α.

28. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС=4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ=6 см.

29. Прямая а пересекает плоскость α в точке М и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости α через точку М проходит прямая, перпендикулярная к прямой α, и притом только одна.

30. Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что треугольники АМD и МСD прямоугольные.

31. Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, М – середина стороны ВС. Докажите, что МК^ВС.

32. Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ=АС=5 см, ВС=6 см, АD=12 см. Найдите расстояния от концов отрезка АD до прямой ВС.

33. Прямая СD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Докажите, что: а) треугольник АВС является проекцией треугольника АВD на плоскость АВС; б) если СH – высота треугольника АВС, то DH – высота треугольника АВD.

34. Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если ВF=8 дм, АВ=4 дм.

35. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС=4 см, а СМ=2Ö7 см.

36. Через вершину В ромба АВСD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АВ=25 см, ÐВАD=60°, ВМ=12,5 см.

37. Прямая ВМ перпендикулярна к плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что прямая, по которой пересекаются плоскости АDМ и ВСМ, перпендикулярна к плоскости АВМ.

38. Луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого угла СВD. Докажите, что если ÐАВС=ÐАВD, причем ÐАВС<90°, то проекцией луча ВА на плоскость СВD является биссектриса угла СВD.

39. Под углом j к плоскости a проведена наклонная. Найдите j, если известно, что проекция наклонной вдвое меньше самой наклонной.

40. Из точки А, удаленной от плоскости γ на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость γ образуют угол в 120°. Найдите ВС.

41. Неперпендикулярные плоскости a и b пересекаются по прямой МN. В плоскости b из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой МN и из той же точки А проведен перпендикуляр АС к плоскости a. Докажите, что ÐАВС – линейный угол двугранного угла АМNС.

42. Двугранный угол равен j. На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

43. Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 180°.

44. Гипотенкза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости a, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30°. Найдите угол между плоскостью a и плоскостью треугольника.

45. Катет АС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежит в плоскости a, а угол между плоскостями a и АВС равен 60°. Найдите расстояние от точки В до плоскости a, если АС=5 см, АВ=13 см.

46. Через сторону АD ромба АВСD проведена плоскость АDМ так, что двугранный угол ВАDМ равен 60°. Найдите сторону ромба, если ÐВАD=45° и расстояние от точки В до плоскости АDМ равно 4Ö3.

47. Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из них.

48. Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.

49. Плоскости a и b взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямоугольником. Найдите расстояние от точки М до прямой а, если АМ=m, ВМ=n.

50. Плоскости a и b пересекаются по прямой а и перпендикулярны к плоскости g. Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости g.

51. Общая сторона АВ треугольников АВС и АВD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите СD, если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равнобедренны с гипотенузой АВ.

52. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 1,1,2.

53. Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если диагональ грани куба равна m.

54. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D_1. Найдите следующие двугранные углы: а) ABB₁С; б) ADD₁B; в) A₁BB₁К, где К – середина ребра A₁D_1.

55. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

56. Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими диагональ куба и диагональ грани куба.

57. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если АC₁=12 см и диагональ ВD₁ составляет с плоскостью грани AA₁ D₁D угол в 30°, а с ребром DD₁ – угол в 45°.

58. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС=6 см, ВD=7 см, СD=6 см.

59. Точка находится на расстояниях а и b от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.

60. Из вершин А и В равностороннего треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА₁ и ВВ₁ к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка A₁B₁, если АВ=2 см, СА₁=3 см, СВ₁=7 см и отрезок A₁B₁ не пересекает плоскость треугольника.

61. Из вершин А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА₁ и ВВ₁ к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка A₁B₁, если А₁С=4 см, АА₁=3 см, В₁С=6 см, ВВ₁=2 см и отрезок A₁B₁ не пересекает плоскость треугольника.

62. Плоскости a и b перпендикулярны. В плоскости a взята точка А, расстояние от которой до прямой с (линии пересечения плоскостей) равно 0,5 см. В плоскости b проведена прямая b, параллельная прямой с и отстоящая на 1,2 см от нее. Найдите расстояние от точки А до прямой b.

63. Перпендикулярные плоскости a и b пересекаются по прямой с. В плоскости a проведена прямая а||с, в плоскости b - прямая b||с. Найдите расстояние между прямыми а и b, если расстояние между прямыми а и с равно 1,5 см, а между прямыми b и с 0,8 см.