Цель:
усвоить понятия параллельности скрещивающихся прямых в пространстве; прямой, параллельной плоскости в пространстве; двух параллельных плоскостей в пространстве;
рассмотреть случаи взаимного расположения прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве;
ознакомиться с признаком скрещивающихся прямых, параллельности прямой и плоскости, параллельности двух прямых, параллельности двух плоскостей, теоремой о единственной прямой, проходящей через точку параллельно данной прямой, линии пересечения двух плоскостей третьей;
научиться применять теоретически положения при доказательстве определённых фактов решении практических заданий. Освоение данного модуля необходимо для более глубокого понимания темы и подготовки к восприятию следующего материала.
1. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями
 |
Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (рис.1). Условное обозначение: аúú b.
Определение. Прямые в пространстве могут не пересекаться, но лежать в разных плоскостях. В этом случае они называются скрещивающимися (рис.2).
Случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве (схема I)
СХЕМА I
 |
Теорема. Через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой.
Доказательство: пусть точка А не принадлежит прямой b. Проведем через эту прямую и точку А плоскость α. Эта плоскость единственна. В плоскости α через точку А проходит единственная прямая – назовем её а, -параллельно прямой b. Она и будет искомой прямой, параллельной данной (рис.3).
Плоскость может быть задана следующими способами: тремя точками, не принадлежащими одной прямой; двумя пересекающимися прямыми; двумя параллельными прямыми.
Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна прямая лежит в данной плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
 |
Доказательство: пусть прямая а лежит в плоскости α, а прямая b пересекает плоскость α в точке В, не принадлежащей прямой а (рис.4). Если бы прямые а и b лежали в одной плоскости, то в этой плоскости лежали бы прямая а и точка В.
Поскольку через прямую и точку вне этой прямой проходит единственная плоскость, то этой плоскостью будет плоскость α. Но тогда прямая b лежала бы в плоскости α, что противоречит условию. Следовательно, а и b лежат в разных плоскостях, т.е. скрещиваются.
Исторические сведения. Вопрос о количестве прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой, имеет давнюю и интересную историю. Среди аксиом в “Началах” Евклида пятый по счету постулат по своему содержанию совпадает с аксиомой параллельности: “Через точку, взятую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной этой прямой”. На протяжении двух тысячелетий после Евклида математика пыталась доказать этот постулат, однако все их попытки заканчивались неудачей. Лишь в 1826 г. великий русский геометр Н. И.Лобачевский доказал, что этот постулат нельзя логически вывести из других постулатов Евклида, т.е. нельзя доказать. Поэтому или его можно взять в качестве аксиомы, или в качестве аксиомы может быть взято утверждение о существовании нескольких прямых, проходящие через данную точку и параллельных данной прямой. Положив в основу геометрии эту новую аксиому параллельности, Лобачевский создал совершенно новую, неевклидову геометрию, которая была названа геометрией Лобачевского.
2. Проверьте усвоение теоретического материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля.
1. Какие прямые называются параллельными, скрещивающимися? Покажите на параллелепипеде ребра, параллельные и скрещивающиеся с ребром АВ.
2. Какими способами может быть задана плоскость?
3. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.
4. Назовите случаи взаимного расположения прямых в пространстве.
3. Примите участие в учебной беседе. Материал для беседы
1. На модели параллелепипеда, призмы и пирамиды укажите пары параллельных и скрещивающихся ребер, ответ обоснуйте.
2. Какие две прямые в пространстве не являются параллельными? Почему?
3. Верно ли, что 2 прямые, лежащие в разных плоскостях скрещиваются?
4. Три вершины параллелограмма принадлежат одной плоскости. Верно ли, что и четвертая вершина принадлежит той же плоскости? Почему?
4. Самостоятельно выполните задания, затем проверьте решение
1. Прямая с пересекает параллельные прямые а и в. докажите, что прямые а, в и с лежат в одной плоскости.
2. Пусть а и b пересекающиеся прямые, с- параллельна b. Что можно сказать о взаимном расположении плоскостей, определяемых прямыми а и b, b и с?
3. Пусть а и b-скрещивающиеся прямые. Известно, что прямая а лежит в плоскости a. Известно, что прямая а лежит в плоскости a. Определите может ли прямая в:
А) лежать в плоскости a;
Б) быть параллельной плоскости a;
В) пересекать плоскость a.
Ответ подтвердите чертежами.
5. Выполните контрольные задания
 |
Основной уровень: 1. Пусть а и b- скрещивающиеся прямые. Прямые А1В1 и А2В2 пересекают прямые а и b. Могут ли прямые А1В1 и А2В2 быть пересекающимися или параллельными (рис.5)?
2. Седьмое свойство стереометрии в "Началах" Евклида формулируется так: "Если будут две параллельные прямые и на каждой из них взято по произвольной точке, то соединяющая эти точки прямая будет в одной и той же плоскости с параллельными." Докажите.
Повышенный уровень. В пространстве даны n параллельных между собой прямых. Сколько плоскостей можно провести через различные пары этих прямых, если известно, что никакие три из них не лежат в одной плоскости?
6. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями
Определение. Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с ней ни одной общей точки.
Случаи взаимного расположения прямой и плоскости (схема II)
|
|
|
Теорема (признак параллельности двух прямых). Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения параллельна первой прямой.
 |
Доказательство: пусть плоскость α проходит через прямую а, параллельную плоскости β, и прямая b является линией пересечения этих плоскостей. Докажем, что прямые а и b параллельны. Действительно, они лежат в одной плоскости α. Кроме этого, прямая b лежит в плоскости β, β, а прямая а не пересекается с этой плоскостью. Следовательно, прямая а и подавно не пересекается с прямой b. Таким образом, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Значит, они параллельны.
Теорема (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то эта прямая параллельна самой плоскости
 |
Доказательство: пусть прямая а не лежит в плоскости β и úú прямой b, лежащей в этой плоскости (рис.7). Докажем, что прямая а úú плоскости β. Предпо-ложим противное, т.е. что прямая а пересекает плоскость β в некоторой точке С. Рассмотрим плоскость α, проходящую через прямые а и b (а и b параллельны по условию). Точка С принадлежит как плоскости β, так и плоскости α, т.е. принадлежит линии их пересечения - прямой b. Следовательно, прямые а и b пересекаются, что противоречит условию. Таким образом, a и β параллельны.
7. Проверьте усвоение теоретического материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение прямой параллельной плоскости.
2. Какие случаи взаимного расположения прямой и плоскости вы знаете?
3. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости,
4. Сформулируйте признак параллельности двух прямых.
8. Примите участие в учебной беседе. Материал для беседы
1. Докажите признак параллельности двух прямых другим способом, который называется доказательством от противного и заключается в следующем: предположив, что утверждение не выполняется, приходят к противоречию.
2. Всегда ли две непересекающиеся прямые в пространстве параллельны?
3. Верно ли утверждение: “2 прямые являются скрещивающимися, если они не пересекаются и не лежат в одной плоскости?" Нет ли в нем лишних условий?
4. Верно ли утверждение: “Прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости”?
5. Используя признак параллельности прямых и плоскости, в кубе и октаэдре укажите параллельные ребра и грани.
9. Самостоятельно выполните задания, затем проверьте решение
1. Дан параллелограмм ABCD. Через сторону АВ проведена плоскость α, не совпадающая с плоскостью параллелограмма. Докажите, что CD úú α..
2. Используя признак параллельности прямой и плоскости, в правильной 6-тиугольной призме ABCDEFA1В1С1D1Е1F1 укажите параллельные ребра и грани.
3. Докажите, что в кубе ABCDA1B1C1D1 прямая АВ параллельна DD1C1C.
4. Докажите, что через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит прямая, параллельная этой плоскости. Сколько таких прямых?
10. Выполните контрольные задания
Основной уровень.1. Докажите, что если 2 прямые параллельны, то через одну из них проходит плоскость, параллельная другой. Сколько таких плоскостей? 2. Докажите, что если прямая параллельная плоскости, пересекает данную плоскость, то она также пересекает и эту плоскость.
Повышенный уровень. Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.
11. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями
Определение. Две плоскости в пространстве называется параллельными, если они не пересекаются.
Случаи взаимного расположения двух плоскостей (схема III)
СХЕМА III
Теорема. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
 |
Доказательство. Пусть плоскость g пересекает параллельные плоскости l и b по прямой а и b соответственно (рис.18). Докажем, то прямая а и b параллельны. Действительно, они лежат в одной плоскости g. Кроме этого, они лежат в непересекающихся плоскостях, отсюда следует, что и подавно не пересекаются. Значит, они параллельны.
Теорема (признак параллельности двух плоскостей). Если 2 пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство (чертеж выполните самостоятельно). Пусть пересекающиеся прямые а1, а2 плоскости a соответственно параллельны прямым b1, b2 плоскости b. Покажем, что плоскости l и b параллельны. Предположим противное, т.е. что плоскости l и b пересекаются, и пусть с- линия их пересечения. По признаку параллельности прямых и плоскости прямой а1úú плоскости b, а по свойству параллельности прямой и плоскости она параллельна прямой с. Аналогично прямая а2 также параллельна прямой с. Таким образом, в плоскости a мы имеем две пересекающиеся прямые, параллельные одной прямой, что невозможно. Полученное противоречие показывает, что неверным было наше предположение о том, что плоскости a и b пересекаются, и, отсюда следует, что они параллельны.
12. Проверьте усвоение теории материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение двух параллельных плоскостей в пространстве.
2. Какие случаи взаимного расположения двух плоскостей в пространстве вы знаете?
3. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.
4. Сформулируйте теорему о линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей.
13. Примите участие в учебной беседе. Материалы для беседы:
1. Докажите терему о линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей методом от противного.
2. Верно ли утверждения: «Если прямая лежащая в одной плоскости, параллельна прямой лежащей в другой плоскости, то эти плоскости параллельны?»
3. Верно ли утверждение: «Если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны?»
4. Используя признак параллельности двух плоскостей, укажите параллельные грани на модели параллелепипеда, призмы.
14. Самостоятельно выполните задание, затем проверьте решение
1. Докажите, что через точку, не принадлежащей данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная исходной плоскости.
2. Плоскость a пересекает плоскости по параллельным прямым в и с соответственно. Будут ли плоскости b и g параллельны? Ответ обоснуйте. Сделайте соответствующий чертёж.
3. Докажите, что если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.
15. Самостоятельно оцените, достигли ли цели. Для этого вернитесь на начало модуля и прочтите, какие перед вами стояли цели
16. Выполните контрольные задания
Основной уровень.1. Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую. 2. Докажите, что для двух скрещивающихся прямых а и в существует единственная пара параллельных плоскостей a и b, таких, что a проходит через а, b проходит через в.
Повышенный уровень. 1. Как могут быть расположены относительно друг друга три плоскости? Рассмотрите два случая: какие-нибудь две плоскости параллельны; среди плоскостей нет параллельных, они попарно пересекаются.
Комплекс дополнительных задач
1. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости a. Докажите, что прямая с, пересекающая прямые a и b, также лежит в плоскости a.
2. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С – параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка СС1, если: а) точка С – середина отрезка АВ и ВВ1=7см; б) АС : СВ=3: 2 и ВВ1=20см.
3. Средняя линия трапеции лежит в плоскости a. Пересекают ли прямые, содержащие основания трапеции, плоскость a? Ответ обоснуйте.
4. Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников.
5. Плоскости α и β пересекаются. Точка A не лежит ни в одной из этих плоскостей. Сколько прямых, параллельных каждой из этих плоскостей, можно провести через точку A?
6. Точка М не ле жит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости АВМ.
7. Докажите, что если прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она им параллельна.
8. Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости α, а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках M и N. Докажите, что треугольники ABC и MBN подобны.
9. Точка С лежит на отрезке АВ, причем АВ: ВС= 4: 3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости α, проходящей через точку В. докажите, что прямая АD пересекает плоскость α в некоторой точке Е, и найдите отрезок ВЕ.
10. Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
11. Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
12. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и E так, что DE=5 см и BD: DA= 2: 3. Плоскость a проходит через точки В и С и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка ВС.
13. В трапеции ABCD основание BC равно 12 см. точка М не лежит в плоскости трапеции, а точка К – середина отрезка ВМ. Докажите, что плоскость ADK пересекает отрезок МС в некоторой точке H, и найдите отрезок KH.
14. Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым она пересекается, либо параллельны, либо имеют общую точку.
15. Прямые a и b скрещиваются. Сколько существует плоскостей, проходящих через прямую a и параллельных прямой b?
16. Через вершину А ромба ABCD проведена прямая а, параллельная диагонали BD, а через вершину С – прямая b, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) прямые а и СD пересекаются; б) а и b скрещивающиеся прямые.
17. Докажите, что если AB и CD скрещивающиеся прямые, то AD и BC также скрещивающиеся прямые.
18. Даны параллелограмм ABCD и трапеция АВЕК с основанием ЕК, не лежащие в одной плоскости. Выясните взаимное расположение прямых CD и ЕК. Найдите периметр трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность и АВ=22,5 см, ЕК=27,5 см.
19. Плоскости a и b параллельны, прямая m лежит в плоскости a. Докажите, что прямая m параллельна плоскости b.
20. Две стороны треугольника параллельны плоскости a. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости a.
21. Три отрезка А1А2, В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны.
22. Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки M, N и P – середины отрезков BA, BC и BD соответственно. Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны. Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см2.
23. Плоскости a и b параллельны, А – точка плоскости a. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А и параллельная плоскости b, лежит в плоскости a.
24. Плоскости a и b параллельны g. Докажите, что a и b параллельны.
25. Для проверки горизонтальности установки диска угломерных инструментов пользуются двумя уровнями в плоскости диска на пересекающихся прямых. Почему уровни нельзя располагать на параллельных прямых?
26. Даны пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым а и b, и притом только одна.
27. Параллельные плоскости a и b пересекают сторону АВ угла ВАС соответственно в точках А1 и А2, а сторону АС этого угла – соответственно в точках В1 и В2. Найдите: а) АА2 и АВ2, если А1А2=2А1А, А1А2=12 см, АВ1=5 см; б) А2В2 и АА2, если А1В1=18 см, АА1=24 см, АА2=1,5 А1А2.
28. Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках А1, В1 и С1, а другую – в точках А2, В2 и С2. Докажите, что треугольники А1В1С1 и А2В2С2 подобны.
Дата: 2019-12-22, просмотров: 551.
