САНКТ–ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
¾¾¾¾¾¾¾
Методические указания
К практическим занятиям по курсу
Общей физики.
О П Т И К А
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
КРАТКАЯ СВОДКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
1. n1×sin j1 = n2×sin j2 .
Здесь n1 , n2 — показатели преломления среды,
j1 — угол падения,
j2 — угол преломления.
2. a = d×(n-1).
Здесь a — угол поворота лучей тонкой призмой,
d — угол при вершине призмы,
n — показатель преломления призмы.
3. F = 
.
Здесь F — оптическая сила линзы,
f — фокусное расстояние линзы в вакууме.
4. = 
+ 
.
Здесь f — фокусное расстояние линзы в вакууме,
a — расстояние от источника света до линзы,
b — расстояние от линзы до изображения источника света.
5. 
= (n-1)×( 
+ 
).
Здесь f — фокусное расстояние линзы в вакууме,
n — показатель преломления линзы,
R1, R2 — радиусы кривизны поверхностей линзы.
6. F = 
= 
= 
+ 
.
Здесь F — оптическая сила линзы,
n1, n2 — показатели преломления среды перед линзой и за линзой,
f1, f2 — фокусные расстояния перед линзой и за линзой,
a — расстояние от источника света до линзы,
b — расстояние от линзы до изображения источника света.
7. F = 
.
Здесь F — оптическая сила сферической поверхности,
n1, n2— показатели преломления среды с двух сторон сферической поверхности,
R — радиус кривизны поверхности.
8. f = 
.
Здесь f — фокусное расстояние сферического зеркала,
R — радиус кривизны зеркала.
9. E = 
.
Здесь E — освещенность поверхности,
F — поток световой энергии,
S — площадь поверхности.
10. R = .
Здесь R — светимость поверхности,
F — поток световой энергии,
S — площадь поверхности.
11. I = 
.
Здесь I — сила света,
F — поток световой энергии,
W — телесный угол.
12. E = 
.
Здесь E — освещенность поверхности, создаваемая точечным источником света,
I — сила света,
a — угол падения света на поверхность,
r — расстояние от источника света до точки наблюдения.
13. B = 
.
Здесь B — яркость источника света,
F — поток световой энергии,
a — угол между нормалью к поверхности и направлением излучения,
S — площадь излучающей поверхности,
W — телесный угол.
14. R = p×B.
Здесь R — светимость поверхности,
p = 3.141592653589793...,
B — яркость ламбертовского источника излучения.
15. I = 
ž<E2>.
Здесь I — интенсивность света,
c — скорость света в вакууме
E — напряженность электрического поля световой волны,
< > — среднее значение по времени.
16. V = 
.
Здесь V — видность интерференционной картины,
Imax— интенсивность в максимуме (середина светлой
полосы),
Imin— интенсивность в минимуме.
17. I = I1 +I2 +2× 
×cos(2p× 
).
Здесь I — интенсивность света в результате интерференции двух волн,
I1, I2— интенсивности интерферирующих волн,
D — оптическая разность хода,
l — длина волны света.
18. d = 
.
Здесь d — ширина интерференционных полос,
l — длина волны света,
j — угол, под которым интерферирующие лучи сходятся на экране.
19. 
= 
.
Здесь l — длина волны света,
n — частота света,
dl, dn — спектральная ширина линии излучения в шкале длин волн и в шкале частот.
20. L|| = 
.
Здесь L|| — длина временной когерентности,
l — длина волны света,
dl — немонохроматичность света (спектральная ширина
источника света).
21. m = .
Здесь m — порядок интерференции,
D — оптическая разность хода,
l — длина волны света.
22. m = 
= .
Здесь m — максимальный порядок интерференции,
l — длина волны света,
n — частота света,
dl, dn — немонохроматичность света в шкале длин волн и в шкале частот.
23. t = 
.
Здесь t — время когерентности,
dn — спектральная ширина источника света.
24. b = 
= 
.
Здесь b — максимальная апертура интерференции,
L^ — длина пространственной когерентности,
L — расстояние до источника света,
l — длина волны света,
b — перпендикулярный лучу размер источника света.
25. d×sin j = ml; d×(sin j1 + sin j2) = ml.
Здесь d — шаг дифракционной решетки,
j, j2 — направление на главный дифракционный максимум m–ого порядка,
j1 — угол падения света на дифракционную решетку,
l — длина волны света.
26. = 
.
Здесь — относительное спектральное разрешение дифракционной решетки,
m — порядок дифракции,
N — число штрихов дифракционной решетки.
27. r1 = 
; r1 = 
.
Здесь r1 — радиус первой зоны Френеля,
l — длина волны света,
L, L2 — расстояние от отверстия в экране до точки наблюдения,
L1 — расстояние от источника света до отверстия в экране.
28. rm = 
.
Здесь rm — радиус m–ой зоны Френеля,
r1 — радиус первой зоны Френеля.
29. j = 
.
Здесь j — угол дифракции света на препятствии,
l — длина волны света,
D — размер препятствия.
30. j = 0.61ž .
Здесь j — угловой радиус первого темного кольца при дифракции Фраунгофера на круглом отверстии,
l — длина волны света,
D — диаметр отверстия.
31. lmin = 
.
Здесь lmin — предел разрешения микроскопа,
l — длина волны света,
n — показатель преломления среды между предметом и объективом микроскопа,
2u — входная апертура объектива,
n×sin u — числовая апертура.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Световые лучи
Линии векторного поля S, вдоль которых распространяется свет, называются лучами. Если поверхности равных фаз представляют собой параллельные плоскости, то волна называется плоской. Плоской волне соответствует параллельный пучок лучей, так как лучи в изотропной среде перпендикулярны поверхностям равных фаз. Сферической волной называется волна с поверхностями равных фаз сферической формы. Ей соответствует пучок лучей, выходящих из одной точки или собирающихся в одну точку. В этих двух случаях говорят соответственно о расходящейся и о сходящейся сферической волне.
Призма
В задачах с призмами поворот света призмой можно рассматривать как два последовательных преломления света на плоских гранях призмы при входе света в призму и при его выходе.
| Рис. 2 |
| Рис. 3 |
Особый интерес представляет частный случай призмы с малым углом при вершине (d на рис. 2). Такую призму называют тонкой призмой. Обычно рассматриваются задачи, в которых свет падает на тонкую призму почти перпендикулярно ее поверхности. При этом за два преломления лучи света поворачивают на малый угол a = d×(n-1) в плоскости, перпендикулярной ребру призмы в сторону утолщения призмы (см. рис. 2). Угол поворота не зависит от угла падения света в приближении малых углов падения. Это означает, что призма поворачивает "кажущееся" положение источника света на угол a в плоскости, перпендикулярной ребру призмы.
Из двух таких тонких призм состоит, в частности, бипризма Френеля (рис. 3), проходя через которую свет от точечного источника распространяется далее так, как если бы свет излучался двумя точечными когерентными источниками.
Оптическая ось
Оптической осью называется прямая линия, проходящая через центры кривизны отражающих и преломляющих поверхностей. Если система имеет оптическую ось, то это центрированная оптическая система [2].
Линза
Обычно прохождение света через линзу рассматривается в приближении параксиальной оптики, это означает, что направление распространения света всегда составляет малый угол с оптической осью, и лучи пересекают любую поверхность на малом расстоянии от оптической оси.
Линза может быть собирающей или рассеивающей.
Лучи, параллельные оптической оси, после собирающей линзы проходят через одну и ту же точку. Эта точка называется фокусом линзы. Расстояние от линзы до ее фокуса называется фокусным расстоянием. Плоскость, перпендикулярная оптической оси и проходящая через фокус линзы, называется фокальной плоскостью. Параллельный пучок лучей, наклоненный к оптической оси, собирается за линзой в одну точку (A на рис. 4) в фокальной плоскости линзы. Рассеивающая линза преобразует параллельный оптической оси пучок лучей в расходящийся пучок (рис. 5). Если расходящиеся лучи продолжить назад, то они пересекутся в одной точке F — фокусе рассеивающей линзы. При небольшом повороте пучка параллельных лучей точка пересечения перемещается по фокальной плоскости рассеивающей линзы.
| Рис. 4 |
| Рис. 5 |
c
Построение изображений
В задачах на построение изображений подразумевается, что протяженный источник света состоит из некогерентных точечных источников. В этом случае изображение протяженного источника света состоит из изображений каждой точки источника, полученных независимо друг от друга.
Изображение точечного источника — это точка пересечения всех лучей после прохождения через систему лучей, испущенных точечным источником света. Точечный источник испускает сферическую световую волну. В приближении параксиальной оптики сферическая волна, проходя через линзу (рис. 6), распространяется и далее в виде сферической волны, но с другим значением радиуса кривизны. Лучи за линзой либо сходятся в одну точку (см. рис.6,а), которую называют действительным изображением источника (точка R), либо расходятся (см. рис. 6,б). В последнем случае продолжения лучей назад пересекаются в некоторой точке I, которая называется мнимым изображением источника света.
| а б Рис. 6 |
В параксиальном приближении все лучи, исходящие из одной точки до линзы, после линзы пересекаются в одной точке, поэтому для построения изображения точечного источника достаточно найти точку пересечения "удобных нам" двух лучей, эта точка и будет изображением.
Если перпендикулярно оптической оси поставить лист бумаги (экран) так, чтобы изображение точечного источника попало на экран, то в случае действительного изображения на экране будет видна светящаяся точка, а в случае мнимого изображения — нет.
Формулы тонкой линзы
Если в задаче требуется аналитический результат, а не построение изображения, то для решения обычно достаточно трех формул:
F = 
; = 
+ 
;
= (n-1)×( 
+ 
).
Здесь F — оптическая сила линзы, f — фокусное расстояние, a — расстояние от линзы до источника света, b — расстояние от линзы до изображения, r1 и r2 — радиусы кривизны обеих поверхностей линзы, n — показатель преломления материала линзы.
В этих формулах все величины с размерностью длины могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Фокусное расстояние f положительно для собирающей линзы, b положительно для действительного изображения, r1 и r2 положительны для двояковыпуклой линзы. Расстояние от линзы до источника — положительная величина, но и тут можно представить себе мнимый точечный источник, для которого это расстояние будет отрицательным.
Реже встречаются задачи, в которых показатели преломления среды с двух сторон от линзы различаются. Тогда потребуются следующие формулы:
F = 
= 
= 
+ 
.
Может быть полезна и формула для оптической силы одной сферической поверхности, в частности при рассмотрении толстой линзы как двух сферических поверхностей:
F = 
.
Сферическое зеркало
Чтобы удовлетворить приближению параксиальной оптики, нужно потребовать, чтобы сферическое зеркало было малой частью сферы. Другими словами, размер зеркала должен быть много меньше радиуса кривизны сферы.
Сферическое зеркало отражает световые лучи аналогично оптической системе, состоящей из тонкой линзы и вплотную поставленного плоского зеркала. Вогнутое зеркало аналогично собирающей линзе, выпуклое — рассеивающей.
Модуль фокусного расстояния сферического зеркала равен половине радиуса кривизны сферы:
f = 
.
Фокус расположен посередине между зеркалом и центром сферы.
| а б Рис. 11 |
| |
На рис. 11,а,б приведены примеры построения изображений точечного источника света в сферическом зеркале.
Глаз
Часто в задачах говорится, что что–либо рассматривается глазом. При этом хрусталик глаза можно считать тонкой линзой. Эта линза дает изображение рассматриваемого предмета на задней стенке глазного яблока, где расположена сетчатка светочувствительных клеток. В задачах сетчатку глаза можно считать плоским экраном. Глаз видит изображение сфокусированным (резким), если изображение предмета в линзе хрусталика попадает в плоскость сетчатки.
Следовательно при решении задач можно считать, что глаз состоит из тонкой линзы и плоского экрана.
Фотоаппарат
Фотоаппарат полностью аналогичен глазу. Фотоаппарат — это тонкая линза и плоский экран в виде фотопластины. Чтобы изображение на фотопластине не было размытым, необходимо чтобы изображение предмета попало в плоскость фотопластины.
Окуляр
Окуляр — это линза, которую ставят перед глазом, чтобы рассмотреть близко расположенный предмет. Окуляр усиливает собирающую линзу хрусталика.
Хрусталик глаза — линза, фокусное расстояние которой может изменяться усилием глазных мышц. Фокусное расстояние f нужно изменять, чтобы рассматривать удаленные на разное расстояние предметы. По формуле тонкой линзы имеем:
= + 
,
где n — показатель преломления среды внутри глазного яблока, b — фиксированное расстояние от линзы хрусталика глаза до изображения (сетчатки). Чтобы отчетливо видеть предметы на разных расстояниях, нужно для каждого расстояния 'a' подбирать значение фокусного расстояния f. Глаз не может изменять фокусное расстояние в любых пределах, поэтому глаз не может настраиваться (аккомодироваться) на предметы, расположенные слишком близко. Рассмотреть близко расположенный предмет позволяет окуляр — линза, которую ставят вплотную к глазу. При этом хрусталик глаза вместе с окуляром образуют более короткофокусную линзу, чем один хрусталик. Меньшие значения f соответствуют меньшим значениям a, расстояния до предмета.
Глазные мышцы слабо изменяют параметры системы хрусталик окуляр. Поэтому для получения резкого изображения на сетчатке глаза нужно подобрать расстояние между предметом и окуляром, оставляя глаз вплотную с окуляром.
Подзорная труба, телескоп
Телескоп, или подзорная труба, — это прибор, помогающий рассмотреть удаленный предмет. Грубо говоря, телескоп — это одна линза и экран в фокусе линзы. Эту линзу называют объективом. Изображение очень удаленных предметов должно быть близко к фокальной плоскости согласно формуле: 1/f = 1/a + 1/b. Если экран поместить в фокальной плоскости, то изображение удаленных предметов будет резким, не размытым.
За изображением световые лучи идут так, как если бы они исходили от источника, расположенного в месте изображения. Поэтому можно не ставить экран в плоскости изображения, а рассматривать изображение, как предмет, висящий в этой плоскости. Единственное ограничение — нужно ставить глаз по ходу лучей так, чтобы лучи попали в глаз, т.е. нельзя изображение без экрана рассматривать сбоку.
Если вместо регистрации на фотопластине рассматривать изображение глазом, то удобно рассматривать его через окуляр. Телескопом, или подзорной трубой, называют обычно пару линз объектив–окуляр. Если вместо объектива используется сферическое зеркало, то это — зеркальный телескоп.
В качестве окуляра подзорной трубы может быть не только собирающая линза (труба Кеплера), но и рассеивающая (труба Галилея). Ход лучей изображен на рис. 12, 13. В обоих случаях фокусы двух линз совпадают (точка F), а увеличение подзорной трубы равно отношению фокусных расстояний линз.
| Рис. 13 |
|
Рис. 12 |
Задача определения увеличения подзорной трубы весьма поучительна, поэтому остановимся на ней чуть подробнее.
| Рис. 14 |
На рис. 12, 13 видно, что подзорная труба уменьшает расстояние между параллельными лучами. Однако во сколько раз подзорная труба уменьшает линейное расстояние между двумя почти параллельными лучами, во столько же раз она увеличивает угол между этими лучами. Убедиться в этом можно, например, рассмотрев ход луча 1 (рис. 14), который под некоторым углом a к оптической оси проходит через центр O объектива подзорной трубы. Если построить ход луча за окуляром (для этого полезно рассмотреть параллельный ему луч 2), то будет видно, что угол b между оптической осью и лучом возрастает в число раз, равное отношению фокусных расстояний двух линз. Обратимся теперь к рис. 15, на котором условно изображена линза хрусталика глаза. Рассмотрим два луча, проходящие через центр линзы. Будем считать, что эти лучи исходят от двух разных точек удаленного источника света. Изображения удаленных точек должны быть в фокальной плоскости линзы, на сетчатке глаза. Расстояние между двумя изображениями на сетчатке глаза пропорционально углу между лучами. Поэтому увеличение угла между лучами при прохождении лучей через подзорную трубу означает равное ему увеличение видимого глазом изображения.
Из соображений экономии места решение рассматриваемой задачи изложено не достаточно строго и подробно. Так например, лучи, проходящие через центр хрусталика глаза, изменяют направление, поскольку глазное яблоко заполнено веществом с показателем преломления заметно большим единицы, но это уточнение не влияет на вывод о равенстве увеличения угла между лучами увеличению видимого глазом изображения.
| Рис. 15 |
Дифракционный предел углового разрешения телескопа равен l/D, где D — диаметр объектива телескопа. Подробнее см. раздел "Дифракционный предел разрешения".
Микроскоп
Микроскоп — это прибор, который позволяет рассматривать увеличенное изображение близко расположенного предмета.
Грубо говоря, микроскоп, как и телескоп, — это одна линза (объектив) и экран. Но если в телескопе экран ставится в фокальной плоскости линзы, чтобы получить на нем изображение удаленного предмета, то в микроскопе рассматриваемый предмет ставится близко к фокусу линзы, чтобы получить увеличенное изображение предмета. Чем ближе предмет к фокальной плоскости, тем больше увеличение изображения предмета.
Изображение можно регистрировать на фотопластине либо рассматривать через окуляр, как и в случае телескопа. Микроскопом, как и телескопом, обычно называется пара линз объектив–окуляр.
Разрешающая способность микроскопа: lmin = l/(n×sin u), где u — угол между двумя лучами, исходящими из центральной точки рассматриваемого объекта. Один луч проходит через центр объектива, другой — направлен в край объектива. Подробнее смотри раздел "Дифракционный предел разрешения".
Шкала, крест, острие
Заглянув в окуляр оптического прибора, часто можно увидеть шкалу, крестик, острие или какие–либо другие реперы, удобные для анализа изображения. Если плоскость изображения предмета не совпадает с положением репера, то смещение глаза, перпендикулярное оптической оси, приводит к кажущемуся смещению изображения относительно репера. Такой эффект обесценивает результаты измерений с использованием репера. Чтобы устранить рассматриваемый источник ошибок, репер с помощью предусмотренных регулировок нужно поместить в плоскость изображения предмета.
Подбирая положение репера, линзу окуляра перемещают вместе с репером, а положение линзы относительно репера выбирают заблаговременно таким, чтобы глазом через окуляр можно было рассматривать репер без напряжения глазных мышц.
Чтобы репер было лучше видно, он обычно подсвечивается маленькой лампочкой, расположенной вблизи линзы окуляра.
Спектрометр
Спектрометр — прибор, позволяющий измерять распределение энергии источника света по частотам излучения.
Для решения задач по оптике редко требуется понимание работы спектрометра. Изложение здесь этого вопроса преследует цель дать представление о юстировке (настройке) оптической схемы при выполнении лабораторных работ, о том, что следует "крутить" и чего при этом добиваться. При юстировке других оптических схем используются во многом похожие принципы.
Типичная оптическая схема спектрометра изображена на рис. 16. Здесь S — источник света, L1 — конденсорная линза, SP — входная щель спектрометра, L2 — коллиматорная линза, P — призма, L3 объектив, R — репер, L4 — окуляр.
|
Рис. 16 |
Коротко обсудим назначение элементов оптической схемы и выбор положения каждого элемента схемы.
Конденсорная линза L1 собирает свет на входную щель спектрометра SP. Ее положение выбирается так, чтобы изображение источника света S в этой линзе находилось в плоскости входной щели SP. Этого можно добиться при различных положениях источника света S. Положение источника света S, в свою очередь, выбирается так, чтобы лучи, проходящие через края конденсорной линзы L1, после входной щели SP попадали на края коллиматорной линзы L2. Конструкция спектрометра должна позволять это проконтролировать. Заполнение светом всей коллиматорной линзы L2 уменьшает дифракционное уширение спектральных линий. За края коллиматорной линзы L2 свет не должен попадать, чтобы избежать ложных сигналов от паразитных отражений (бликов).
Ширина входной щели спектрометра, с одной стороны, не должна быть слишком мала, так как в этом случае спектрометр пропускает мало света и его трудно регистрировать. С другой стороны, с увеличением ширины щели падает спектральное разрешение прибора. Ширину щели выбирают следующим образом. Широкую щель сужают до тех пор пока сужение щели приводит к сужению изображения монохроматических спектральных линий на выходе спектрометра. Начиная с некоторой ширины щели, которую называют нормальной шириной, ширина изображения спектральных линий перестает уменьшаться, так как определяется дифракцией на линзах L2, L3 и призме P, а не шириной входной щели.
Коллиматорная линза L2 формирует параллельный пучок лучей, чтобы все лучи имели одинаковый угол падения на призму P. Одинаковость углов падения лучей света важна потому, что угол поворота луча призмой P зависит не только от частоты света, но и от угла падения. Неодинаковость углов падения приводит к уширению изображений монохроматических спектральных линий и к падению спектрального разрешения. Чтобы коллиматорная линза L2 создавала параллельный пучок лучей, нужно, чтобы входная щель спектрометра (SP) находилась в фокальной плоскости линзы L2. Этого добиваются, подбирая положение коллиматорной линзы L2 вдоль оптической оси, при котором ширина изображений спектральных линий минимальна.
Положение призмы P не критично. Она просто должна попасть в пучок световых лучей. Обычно угол падения на переднюю грань призмы делают близким к углу выхода света через заднюю грань.
Показатель преломления призмы зависит от частоты света, поэтому после призмы P свет каждой частоты идет параллельным пучком лучей в своем направлении. В фокальной плоскости объектива L3 формируются цветные изображения входной щели спектрометра. Каждая монохроматическая спектральная линия источника света дает свое изображение. Это и есть регистрируемый спектр.
Наблюдать изображения спектральных линий удобно через окуляр L4. Положение окуляра L4 относительно репера R выбирается так, чтобы глаз без напряжения видел репер. Положение репера вместе с окуляром вдоль оптической оси выбирается первоначально (грубо) так, чтобы видеть резкие очертания спектральных линий. Окончательно (точно) положение окуляра с репером выбирается так, чтобы плоскость изображения спектральных линий совпадала с плоскостью репера. При этом перемещение глаза перпендикулярно оптической оси не приводит к видимому смещению репера относительно спектральных линий.
Если перемещать окуляр L4 вместе с репером R поперек луча, то можно переходить от наблюдения одной спектральной линии к наблюдению другой.
Поворачивать призму P конструктивно проще, чем перемещать окуляр L4 поперек луча. Поворот призмы P приводит к перемещению цветных изображений спектральных линий относительно репера. Острие или крест (репер), которые видны через окуляр L4 , позволяют сопоставить каждой спектральной линии показания барабана, поворачивающего призму P.
ФОТОМЕТРИЯ
Фотометрия рассматривает вопросы объективной регистрации восприятия света человеком. С этой целью вводятся понятия освещенности E, светимости R, яркости B, силы света I и относительной спектральной чувствительности глаза V.
Освещенность — это поток энергии света (энергия в единицу времени), падающей на единицу площади поверхности:
E = 
.
Интересно сравнить освещенность с интенсивностью света, которая по определению равна потоку энергии через единицу площади. В определении интенсивности подразумевается , что площадка перпендикулярна направлению распространения света, и свет, соответственно, распространяется более или менее в одном направлении. Для света одного направления освещенность равна произведению интенсивности на косинус угла падения. При скользящем падении света освещенность мала. Освещенность имеет смысл и для произвольного распределения света по направлениям.
Светимость — то же, что и освещенность, только свет не падает на поверхность, а излучается поверхностью. Светимость — поток энергии излучения света поверхностью единичной площади.
Сила света — это поток энергии излучения света в единичный телесный угол,
I = 
.
Сила света так же, как и светимость, — характеристика источника света. Эта характеристика становится наглядной, когда источник света рассматривается издалека, и его можно считать точечным. Для удаленного источника сила света не зависит от расстояния. Освещенность E, создаваемая точечным источником силой света I, равна выражению:
E = 
,
где a — угол падения света, r — расстояние от источника до освещаемой поверхности.
Яркость источника света — это поток энергии света, излучаемого единицей поверхности источника в единичный телесный угол, деленный на косинус угла между нормалью к поверхности и рассматриваемым направлением излучения,
B = 
.
Деление на косинус угла удобно потому, что яркость излучения нагретого тела почти не зависит от направления излучения. Это закон Ламберта, он идеально выполняется для излучения абсолютно черного тела. Если в условии задачи говорится о ламбертовском источнике света, то подразумевается, что яркость не зависит от направления излучения.
Для ламбертовского источника света светимость R и яркость B связаны соотношением
R = p×B.
Здесь p появляется как половина телесного угла, в который излучает поверхность. Одна вторая — это среднее по телесным углам излучения значение косинуса между нормалью к поверхности и направлением излучения.
Относительная спектральная чувствительность глаза — табулированная функция длины волны излучения. Ее максимальное значение принято за единицу.
Основные понятия волновой оптики
В монохроматической световой волне электрическое поле E и магнитное поле H изменяются с постоянной частотой w (циклическая частота), каждая проекция векторов E и H пропорциональна величине cos(wt+j). Здесь t — время, (wt+j) — фаза колебаний, j — начальная фаза, зависящая от пространственных координат. Разные проекции векторов E и H могут иметь различающиеся начальные фазы.
Поверхность с определенным значением фазы (поверхность равных фаз) перемещается в направлении волнового вектора k по нормали к поверхности со скоростью c/n (фазовая скорость света), где c — скорость света в вакууме, n — показатель преломления среды. Длина волнового вектора k называется волновым числом и по определению равна k = 2p/l = nw/c, здесь l — длина волны света.
В бегущей монохроматической световой волне векторы E и H в каждый момент времени перпендикулярны друг другу и равны по величине (в системе единиц СГС Гаусса). Направление движения световой волны перпендикулярно обоим векторам E и H, т.е. световая волна — поперечная волна. Если векторы E и H в какой–то точке пространства в какой–то момент времени не перпендикулярны друг другу или не равны по длине, то через эту точку проходит не одна, а несколько волн в различных направлениях.
Далее будем обсуждать только направление распространения световой волны S и направление вектора E, так как направление вектора H однозначно ими определяется.
Пусть световая волна распространяется в направлении оси Z. Тогда вектор E лежит в плоскости XY, поскольку E перпендикулярен направлению распространения. Если вектор E колеблется вдоль какой–то линии в этой плоскости, то световая волна называется линейно поляризованной. Если вектор E произвольно меняется в плоскости XY, то в каждый момент времени его можно разложить на сумму двух векторов вдоль осей X и Y. Произвольную волну, распространяющуюся вдоль оси Z, можно представить как сумму двух линейно поляризованных волн с колебанием вектора E вдоль осей X и Y соответственно.
Если конец вектора E вращается по окружности в плоскости XY, то такой свет называется циркулярно поляризованным, или светом с круговой поляризацией. Свет поляризован по левому кругу, если в фиксированной точке при наблюдении навстречу свету вектор E (как и вектор H) вращается по левому кругу, т.е. против часовой стрелки. Если конец вектора E описывает эллипс, то волна называется эллиптически поляризованной. Если волна монохроматическая, то конец вектора E описывает эллипс, окружность, либо вектор E гармонически колеблется вдоль линии.
Интенсивностью световой волны I называют среднее значение модуля вектора Пойнтинга. Время усреднения либо считают равным времени регистрации света, либо равным постоянной времени приемника света. Поскольку для бегущей волны векторы E и H перпендикулярны, модуль вектора Пойнтинга можно найти по формуле |S| = (c/4p)×E×H. Если еще учесть, что E = H, то получим выражение |S| = (c/4p)×E2. Следовательно, для интенсивности можно записать I = (c/4p)×<E2>, где скобки < > означают среднее по времени значение. Эта формула приближенно верна и при сложении почти однонаправленных световых волн.
При сложении двух или нескольких световых волн складываются не интенсивности волн, а напряженности E и H световых полей. Если при этом интенсивность суммы полей отличается от суммы интенсивностей, то говорят, что эти световые поля интерферируют. Если световые поля способны интерферировать, то их называют когерентными друг другу.
Если на пути распространения световой волны встречается препятствие, то волна его огибает, поворачивает "за угол". Это явление называется дифракцией. Препятствием, например, может быть любой объект, который не пропускает, "загораживает", часть фронта световой волны.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
Явление интерференции состоит в том, что при сложении двух или нескольких световых волн, суммарная интенсивность света отличается от суммы интенсивностей. Это возможно потому, что складываются напряженности E и H световых волн, а интенсивность суммы световых волн можно найти в соответствии с определением интенсивности по формуле I = (c/4p)×<E2> (в системе единиц СГС Гаусса). Здесь скобки < > означают среднее по времени значение.
Интерференцию света обычно рассматривают не в одной точке, а на плоском экране. Поэтому говорят об интерференционной картине, под которой понимают чередующиеся полосы относительно большей и меньшей интенсивности света. Основными характеристиками интерференционной картины являются ширина полос интерференции и видность интерференционной картины.
Ширина интерференционных полос — это расстояние на экране между двумя соседними светлыми или двумя темными полосами.
Видность интерференционной картины по определению равна
V = 
.
Здесь Imax — интенсивность света в середине светлой полосы, Imin — в середине ближайшей темной полосы. Более строго можно ввести понятие видности, используя понятие модуля комплексной степени когерентности [2, 3].
Видность интерференционной картины меняется в пределах от 0 до 1. Нулевая видность соответствует условию Imax =Imin , при котором полосы просто отсутствуют (равномерно освещенная область экрана). Видность, равная единице, соответствует условию Imin = 0.
Волны с ортогональными линейными поляризациями не интерферируют, так как для них интенсивность суммарной волны всегда равна сумме интенсивностей исходных волн. В том же смысле ортогональны лево и право циркулярно поляризованные волны.
Наиболее часто обсуждаемые в задачах по оптике поляризационные устройства — поляризатор и фазовые пластинки l/2 и l/4.
Поляризатор
Идеальный поляризатор — это оптическое устройство, которое полностью пропускает одну линейную поляризацию и полностью поглощает поляризацию, ортогональную к ней. Свет, распространяющийся в фиксированном направлении, всегда можно мысленно представить как сумму двух линейно поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях волн, каждая из которых распространяется в том же направлении. Поляризатор оставляет одну из этих волн.
Пластинки l/2 и l/4
Плоскопараллельную фазовую пластинку l/2 или l/4 изготавливают из одноосного кристалла, так что направление оси кристалла лежит в плоскости пластинки. Свет, падающий перпендикулярно на фазовую пластинку, распространяется в ней в виде двух независимых световых волн, линейно поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях. Поляризация (направление вектора E) обыкновенной волны перпендикулярна оси кристалла. Поляризация необыкновенной волны совпадает с направлением оси кристалла.
Для каждой из двух волн кристалл имеет свой показатель преломления n1 и n2 . От показателя преломления зависит оптическая толщина пластинки n×h, где h — геометрическая толщина. Поэтому две волны на выходе из кристалла приобретают оптическую разность хода (n1-n2)×h. Если разность хода равна l/2, то фазовая пластинка называется пластинкой l/2. Если l/4, то — l/4. Подробнее понятие оптической разности хода обсуждается в одном из следующих разделов.
Эта разность хода изменяет разность фаз двух линейно поляризованных волн на величину (2p/l)×(n1-n2)×h.
Пластинка l/4 интересна тем, что она позволяет получить циркулярно поляризованный свет из линейно поляризованного и наоборот. Чтобы получить циркулярно поляризованный свет из линейно поляризованного, направление линейной поляризации на входе пластинки l/4 должно составлять угол p/4 с направлением оси кристалла (свет падает перпендикулярно пластинке). Только в этом случае амплитуды обыкновенной и необыкновенной волн в кристалле равны.
На входе в кристалл эти две волны синфазные в случае линейной поляризации падающей волны. Тогда разности хода l/4 на выходе пластинки соответствует разность фаз p/2. За пластинкой при сложении двух линейно поляризованных волн с одинаковой амплитудой, взаимно ортогональной поляризацией и разностью фаз p/2 образуется циркулярно поляризованная волна.
Двухлучевая интерференция
Под двухлучевой интерференцией понимают интерференционную картину, возникающую при сложении двух световых волн одинаковой частоты.
Рассмотрим простейшую задачу по интерференции. Пусть две линейно поляризованные в одном направлении световые волны приходят в одну точку экрана и имеют в этой точке зависимость напряженности электрического поля от времени в виде E1=E0×cos(wt+j1) и E2=E0×cos(wt+j2). Выразим интенсивность суммарной световой волны I через одинаковую интенсивность падающих световых волн, которую обозначим I0:
I0 = 
ž<E12> = 
žE02:
I = ž<E2> = ž<(E0×cos(wt+j1)+E0×cos(wt+j2))2> =
= žE02ž<cos2(wt+j1)+2×cos(wt+j1)×cos(wt+j2)+cos2(wt+j2)> =
= žE02ž( 
+ <2×cos(wt+j1)×cos(wt+j2)> + ) =
= žE02ž( + <cos(2wt+j1+j2)> + cos(j1-j2) + ) =
= žE02ž(1+cos(j1-j2)) =
= 2×I0×(1+cos(j1-j2)).
В этой задаче сумма интенсивностей падающих волн равна 2I0. Интенсивность суммарной волны I бывает как больше, так и меньше суммы интенсивностей в зависимости от разности фаз интерферирующих волн. Светлая полоса (большая интенсивность) соответствует нулевой разности фаз, темная — разности фаз, равной p.
При сложении двух волн одинаковой поляризации с интенсивностями I1 и I2 интенсивность суммарной волны получаем аналогично:
I = I1+I2+2× 
×cos(j1-j2).
Оптическая разность хода
Вместо разности фаз dj интерферирующих волн удобно ввести в рассмотрение пропорциональную ей величину D — оптическую разность хода, которая отличается множителем l/2p, где l — длина световой волны:
= 
.
Изменению разности фаз на 2p соответствует изменение разности хода на l.
В вакууме оптическая разность хода в отличие от разности фаз имеет наглядную интерпретацию. Если две интерферирующие волны испускаются одним источником света, то разность хода — это геометрическая разность длин путей, по которым два интерферирующих луча от одной точки источника достигли одной точки экрана.
| Рис. 17 |
Например, в оптической схеме опыта Юнга, изображенной на рис. 17, разность хода для точки P на экране находится по формуле
D = (L1+L2)-(L3+L4).
В изотропной среде скорость света в n раз меньше, чем в вакууме, здесь n — показатель преломления среды. Частота света в среде и в вакууме одинакова, поэтому длина волны в среде в n раз меньше. В соответствии с соотношением dj/2p = D/l вместо реального уменьшения длины волны l можно рассматривать неизменную l и соответствующее увеличение длины пути луча. С этой целью вводится понятие оптической длины пути, которая в n раз больше геометрической длины. Далее, употребляя термин "разность хода", всегда будем иметь в виду оптическую разность хода.
Заменяя разность фаз интерферирующих волн оптической разностью хода, получаем следующее выражение для интенсивности интерференционной картины:
I = I1+I2+2× 
×cos 
.
Приемники света в оптическом диапазоне реагируют на интенсивность света, а не на напряженность электрического или магнитного полей. Поэтому измеряемые в опыте величины, ширина полос и видность, также могут быть выражены через интенсивность, а значит и через оптическую разность хода. Следовательно, понятие оптической разности хода позволяет свести оптическую задачу по интерференции к геометрической задаче отыскания разности хода.
Отметим, что разность хода лучей можно отсчитывать не только как разность длин путей от источника до точки наблюдения, но и как разность длин путей от двух точек любой поверхности равной фазы волны до точки наблюдения. При этом, конечно, две точки на поверхности равной фазы — не произвольные точки, а должны быть точками, через которые реально проходят лучи, попадающие в точку наблюдения. Так на рис. 17 L1=L3, поэтому две щели находятся на поверхности равной фазы, и, следовательно, разность хода можно найти по упрощенной формуле D=L2-L4. Этот прием часто используется при решении задач.
Потеря полуволны
В соответствии с формулами Френеля [2, 3] на границе раздела двух сред преломленная световая волна всегда в фазе с падающей волной, отраженная волна — либо в фазе, либо в противофазе. Иной сдвиг фазы отраженной волны возникает только в случае полного внутреннего отражения.
При нормальном падении света на границу раздела двух сред отраженная волна в точке падения будет в противофазе с падающей при отражении от оптически более плотной среды, от среды с более высоким показателем преломления. Противоположная фаза отраженной волны эквивалентна сдвигу фазы на p, или изменению разности хода на l/2. Поэтому говорят, что при отражении от оптически более плотной среды происходит потеря полуволны. При этом в выражении для оптической длины пути следует добавить (или вычесть) слагаемое l/2.
Если одна из интерферирующих волн по пути к экрану испытала отражение с потерей полуволны, как, например, при наблюдении колец Ньютона в отраженном свете, то без учета потери полуволны в рассчитанной интерференционной картине темные полосы окажутся на месте светлых, а светлые — на месте темных.
Частично когерентный свет
Световые волны когерентны, если они способны интерферировать. Оказывается, реальная световая волна не вполне когерентна сама себе. Две световые волны, полученные из одной методом деления амплитуды или методом деления волнового фронта, не обязательно интерферируют друг с другом. Есть две основные причины возможной некогерентности таких волн.
Первая причина — немонохроматичность источника света. Монохроматичный свет — свет одной частоты. Строго монохроматичная волна в каждой точке пространства имеет не зависящую от времени амплитуду и фазу. Как амплитуда, так и фаза реальной световой волны испытывают некоторые случайные изменения во времени или, как говорят физики, "шумят". Шумы фазы можно рассматривать как шумы частоты. Если шумы частоты невелики и шумы амплитуды достаточно медленные (их частота мала по сравнению с оптической частотой n), то говорят, что волна квазимонохроматическая.
Можно дать и другое, более удобное с математической точки зрения, определение квазимонохроматической волны. Любую волну можно представить как суперпозицию монохроматических плоских волн (Фурье-разложение по частотам и волновым векторам). Квазимонохроматическая волна имеет узкий спектр частот. Частоты составляющих ее волн находятся в узком диапазоне dn, таком, что dn << n.
Вторая причина возможной некогерентности световых волн, полученных из одной волны, — пространственная протяженность реального источника света. Для нелазерных источников света можно считать, что каждый атом или молекула являются независимыми друг от друга (некогерентными) источниками света. Каждая пара атомов излучает некогерентно друг другу. Тогда излучение каждого атома может интерферировать только само с собой. Или, если угодно, каждый фотон может интерферировать только сам с собой (для нелазерного источника света).
Квазимонохроматический свет
Квазимонохроматический свет можно представить как суперпозицию монохроматических волн, частоты которых расположены в узком спектральном диапазоне.
При сложении двух волн с различающимися частотами интенсивность суммарного света равна сумме интенсивностей суммируемых волн, и в этом смысле волны разных частот не интерферируют друг с другом, если время усреднения в выражении для интенсивности I = (c/4p)ž<E2> устремить к бесконечности. При малом времени усреднения окажется, что волны разных частот интерферируют, но интерференционные полосы "бегут" по экрану, так что интенсивность света в каждой точке экрана гармонически осциллирует с частотой, равной разности частот суммируемых волн. Такую интерференционную картину можно наблюдать при сложении излучения двух однотипных лазеров.
Если в задаче специально не оговорено время усреднения, то подразумевается, что оно бесконечно. В таком случае интенсивность в каждой точке экрана представляет собой сумму интенсивностей интерференционных картин монохроматических световых волн, составляющих квазимонохроматический свет. Правильный результат при решении задачи получится и в том случае, если считать, что частота света медленно "гуляет" в пределах ширины спектральной линии излучения, а интерференционная картина при этом "смазывается", так как положение полос меняется в зависимости от частоты света.
Пусть частота излучения медленно изменяется от одного до другого края спектральной линии излучения на ширину спектральной линии dn. Если некоторая интерференционная полоса сдвигается при этом на расстояние, превышающее ширину полос, то через выбранную точку экрана "пробегает" то минимум, то максимум интерференционной картины, и при регистрации интерференционной картины на фотопластине видность полос в этом месте экрана будет близка к нулю. В этом случае интерференционные полосы "смажутся".
Если же полоса "бегает" заметно меньше, чем на ширину полос, то при усреднении по времени на фотопластине останутся четкие полосы.
На экране есть, или может быть, одна полоса, которая при изменении частоты света "не бегает" по экрану вовсе. Это светлая полоса, для которой оптическая разность хода равна нулю, — так называемая нулевая полоса. Нулевая полоса "не смазывается" при любой спектральной ширине источника света, так как при нулевой разности хода для любой частоты света интерферирующие волны окажутся в одинаковой фазе и дадут светлую полосу.
Если одна из интерферирующих волн по дороге от источника света испытала отражение с потерей полуволны, то нулевая полоса будет темной.
Таким образом, при интерференции квазимонохроматического света на экране одна часть интерференционной картины "смазывается", другая остается с высоким контрастом (видностью) полос. Поэтому в задачах на тему "Интерференция квазимонохроматического света" часто ставится вопрос определения области на экране, где интерференционная картина "не смазывается", либо по известным размерам этой области требуется найти параметры задачи, от которых эта область зависит. При рассмотрении этой области удобно использовать понятие "порядок интерференции".
Порядок интерференции
Номер интерференционной полосы (от нулевой полосы) — это порядок интерференции. Для полосы с номером m разность хода интерферирующих волн равна m×l.
Если шумит частота света, то шумят и длина волны, и число длин волн, которое укладывается на оптической разности хода для фиксированной точки экрана, и порядок интерференции m.
Если порядок интерференции шумит на единицу (dm = 1), то на единицу шумит и номер интерференционной полосы для выбранной точки экрана. Этому соответствует шумовое перемещение интерференционной картины на расстояние, равное ширине полосы. При таком перемещении интерференционная картина полностью "смазывается". Найдем теперь, какое изменение частоты и длины волны света соответствует изменению порядка интерференции на единицу.
Временная когерентность
Временная когерентность связана с когерентностью вдоль луча. Когерентность — это способность к интерференции. Рассмотрим две точки на одном луче как два возможных вторичных источника света для наблюдения интерференционной картины. При этом расстояние от каждой из точек до мысленного экрана предполагается одинаковым.
Возможный вариант оптической схемы приведен на рис. 23. Здесь A и B — две выбранные вдоль луча точки, в которые мысленно поместим полупрозрачные пластинки для получения интерференционной картины на экране C. По условию задачи AC = BC.
| Рис. 23 |
Оптическая разность хода для интерферирующих лучей 1 и 2, как видно из рис. 23, равна AB. Если AB превышает величину l2/dl, то, как указывалось выше, интерференционная картина "смазывается", и, следовательно, вторичные источники света в точках A и B оказываются некогерентными. Расстояние между точками A и B, при котором это начинает происходить, называется длиной когерентности вдоль луча (продольной когерентности). Обозначим его как L||, тогда
L|| = 
.
Эта формула часто используется при решении задач.
Наряду с понятием "продольная когерентность", используется близкое ему понятие "временная когерентность". Фаза светового поля в точке A (см. рис. 23) в момент времени t равна фазе поля в точке B в момент t+t, где t — время распространения света от A до B. Следовательно, когерентность поля в точках A и B в один момент времени t точно такая же, как когерентность в одной точке B, но в два разных момента времени t и t+t.
Время t, за которое свет проходит длину когерентности L||, называется временем когерентности. Из известного выражения для скорости света c/n = l×n, получим простое соотношение для времени когерентности:
t = L||× 
= 
ž 
= 
ž 
= 
ž 
= 
.
Можно посмотреть на когерентность светового поля в точках A и B несколько иначе. Длина волны шумит. Следовательно, шумит число длин волн, которое укладывается на отрезке AB. Пропорционально шумит разность фаз в точках A и B. Результат интерференции зависит от разности фаз. Если разность фаз в точках A и B шумит больше, чем на 2p, то поле в этих точках некогерентно, если меньше, то поле когерентно. В такой форме условие когерентности поля в точках A и B не требует расположения этих точек вдоль луча или рассмотрения поля в них в один момент времени.
Подчеркнем, что условие "разность фаз шумит больше, чем на 2p" не следует путать с условием "разность фаз больше, чем 2p".
Апертура интерференции
Перепишем последнюю формулу в следующем виде:
= 
.
Здесь L2/L1 — угол (см. рис. 24), под которым выходят из источника света лучи, интерферирующие на экране. Этот угол называется апертурой интерференции. Теперь формула
b =
означает, что максимальная апертура интерференции равна отношению длины волны к размеру источника света. Если апертура больше, то нет интерференции. Свет из источника размером b выходит когерентно в любой угол l/b.
Объем когерентности
Рассмотрим две точки, через которые проходит свет. Если проекции этих точек на направление светового луча удалены друг от друга меньше, чем на длину продольной когерентности, и если их проекции на плоскость, перпендикулярную лучу, удалены друг от друга меньше, чем на радиус поперечной когерентности, то данные две точки принадлежат одному объему когерентности.
Рассмотрим еще раз схему опыта Юнга и проследим перемещение объема когерентности вдоль лучей.
| а б в г Рис. 25 |
Сначала объем когерентности "распространяется" из источника света в угол l/b (рис. 25,а).
Затем края этого объема "просачиваются" через две щели (рис. 25,б). Если объем когерентности не накрывает сразу обе щели, то не будет интерференционной картины на экране, так как в этом случае недостаточна пространственная когерентность на фронте, проходящем через две щели, и щели как вторичные источники света некогерентны.
После щелей получаются два объема одной когерентности (рис. 25,в).
| д |
Эти два объема приходят в интересующую нас точку A экрана либо почти одновременно, заметно перекрываясь, как на рис.25,г, либо приходят по очереди, как на рис. 25,д. В первом случае в данной точке экрана интерференционная картина "не смазана", а во втором — "смазана". В этих двух вариантах видность картины определяется временной когерентностью, длиной объема когерентности вдоль луча.
Интерференция двух волн возможна тогда и только тогда, когда свет, пройдя двумя путями, попадает на экран так, что объем когерентности перекрывается сам с собой. Чем больше он перекрывается, тем больше видность интерференционной картины.
ДИФРАКЦИЯ
Дифракция — это огибание светом препятствий. Например, в опыте Юнга свет за каждой щелью распространяется не только в том направлении, в котором он распространялся до щели.
Возможность дифракции связана с тем, что свет за каждой щелью распространяется так, как если бы в плоскости щели находилась совокупность вторичных точечных источников света (принцип Гюйгенса). Правда, эти вторичные источники охотнее излучают в направлении, в котором свет распространялся до щели, чем в другие направления.
В произвольную точку за щелью свет от разных вторичных источников приходит в разных фазах. В каких–то направлениях при сложении этих волн в результате интерференции получаются колебания поля E с большой амплитудой, а в каких–то с малой амплитудой. В соответствии с этим говорят, что свет при дифракции на щели в одних направлениях распространяется, а в других — нет.
Полученное в результате дифракции распределение интенсивности по экрану называется дифракционной картиной.
Дифракция на одной щели
Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны на щели, плоскость которой перпендикулярна направлению распространения волны.
Все вторичные источники в плоскости щели имеют одинаковую фазу. Поэтому при вычислении фазы излучения в точке наблюдения на экране за щелью остается учесть разность фаз, которая "набегает" от щели до экрана. Будем считать, что экран находится далеко от щели, что соответствует дифракции Фраунгофера. Подробнее дифракция Фраунгофера обсуждается ниже.
| Рис. 30 |
Если экран далеко, то можно считать, что точки на пунктирной прямой AB (рис. 30) одинаково удалены от точки наблюдения. Тогда для участка щели с координатой, равной y, расстояние до точки наблюдения равно y×sin y плюс несущественная константа.
С изменением y—координаты линейно меняется расстояние до экрана, а значит — фаза поля, и угол поворота комплексной амплитуды на комплексной плоскости. Если мы мысленно разобьем щель на тонкие полоски одинаковой ширины dy, то одинаковые по модулю комплексные амплитуды от соседних полосок в точке наблюдения будут развернуты друг относительно друга на равные углы (2p/l)×dy×sin y. Складывая много маленьких векторов, мы получим картину их выстраивания в дугу окружности, так как одинаковы амплитуды векторов и одинаковы углы поворота между соседними векторами (рис. 31).
| Рис. 31 |
Векторная сумма — вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего. Если суммируемые векторы образуют дугу окружности, то результирующий вектор — ее хорда.
Интенсивность равна квадрату длины этой хорды и не изменяется при повороте комплексных амплитуд на комплексной плоскости. Следовательно, интенсивность не зависит от общего поворота векторов на рис. 31. Поэтому ориентацию начального вектора суммы можно выбрать произвольно. Обычно первый вектор направляют вдоль оси X.
Обсудим, что изменится в картине сложения амплитуд на комплексной плоскости при изменении направления регистрации света.
Изменение угла y между направлением наблюдения и нормалью к плоскости щели приводит к изменению угла dj на комплексной плоскости между векторами комплексных амплитуд волн, пришедших в точку наблюдения от соседних участков щели:
dj = 
×dy×sin y.
При сложении векторов на комплексной плоскости это приводит к изменению радиуса дуги окружности при сохранении длины дуги. Дуга несколько сворачивается или разворачивается (рис.32).
| Рис. 32 |
Длина дуги равна сумме модулей комплексных амплитуд волн, пришедших от разных участков щели, поэтому она сохраняется при изменении направления наблюдения y.
При условии y = 0 дуга окружности разворачивается в прямую линию, что соответствует максимуму дифракционной картины, а квадрат длины дуги определяет интенсивность света в максимуме.
При увеличении угла y наступает момент, когда амплитуда и интенсивность дифрагированного света равны нулю. Это происходит тогда, когда дуга (см. рис. 32) сворачивается в окружность, а длина хорды, соответственно, обращается в нуль. При этом фаза последнего суммируемого вектора отличается от фазы первого вектора на 2p, а разность хода от двух краев щели до точки наблюдения равна l. Следовательно, направление y нулевой интенсивности дифрагированной волны можно найти из равенства d×sin y = l, где d — полная ширина щели. Если y << 1, то y » l/d.
Большая часть энергии при дифракции на одной щели распространяется в угол 2l/d. Это угол между двумя направлениями на первый нуль интенсивности дифрагированной волны в обе стороны от центрального максимума. Полезно запомнить, что на щели свет дифрагирует примерно в угол l/d, так как для рассуждений "на пальцах" коэффициент 2 не имеет значения.
При дальнейшем увеличении угла дифракции y интенсивность после нулевого значения снова возрастает, так как длина дуги становится больше длины окружности, а амплитуда света равна хорде, проведенной из начала в конец дуги. Максимум амплитуды достигается, когда дуга сворачивается примерно в полторы окружности. Далее при увеличении угла y амплитуда и интенсивность снова убывают и обращаются в нуль при условии, что дуга сворачивается в две окружности: d×sin y = 2l и т.д.
Количественно решение задачи можно найти, если выразить квадрат длины хорды (интенсивность для текущего угла y) через квадрат длины дуги (интенсивность в максимуме) и угол, под которым дуга видна из центра окружности. Этот угол, как видно из рис. 32, равен разности фаз излучения от краев щели, которая в свою очередь равна (2p/l)×d×sin y. Оставшаяся часть решения задачи чисто геометрическая. В результате, интенсивность дифрагированного света выражается по формуле
I(y)=I(0)× 
,
где u = (p/l)×d×sin y.
Решение можно найти и другим путем, складывая комплексные амплитуды аналитически, а не геометрически. При этом надо складывать комплексные числа с одинаковыми амплитудами (пусть E0) и с разными фазами (2p/l)×y×sin y, где y — координата на щели текущего вторичного источника. Тогда суммарная амплитуда E’ может быть получена по формуле
E’ = 
×exp{i× 
×sin y}×dy.
Интенсивность связана с комплексной амплитудой соотношением I = (c/8p)×|E’|2. В окончательном выражении можно избавиться от параметра E0, используя вместо него I0 — интенсивность при y=0.
Что изменяется в картине сложения амплитуд на комплексной плоскости при изменении других параметров задачи?
Если изменять ширину щели при сохранении направления наблюдения, то изменяется длина дуги окружности при сохранении ее радиуса. Значения амплитуды дифрагированной волны для двух значений ширины щели приведены на рис. 33.
Если изменять интенсивность падающей волны, то картина сложения амплитуд дифрагированных волн будет меняться так, как изображено на рис. 34.
| Рис. 33 |
| Рис. 34 |
Дифракционная решетка
Рассмотрим простейшую дифракционную решетку, работающую на пропускание. Эта решетка представляет собой плоский экран с чередующимися прозрачными и непрозрачными полосами. Все прозрачные полосы имеют одинаковую ширину, скажем a. Все непрозрачные полосы также имеют одинаковую ширину — b. Сумма a+b = d называется шагом решетки. Общее число штрихов решетки обозначим N. Тогда ширина решетки равна произведению N×d.
Рассмотрим простейший случай дифракции плоской монохроматической волны, которая падает на решетку перпендикулярно ее плоскости, а распределение интенсивности дифрагированной волны нас будет интересовать на очень удаленном экране или, как говорят, на бесконечности.
Главный дифракционный максимум образуется при условии, что волны от соседних штрихов решетки приходят в точку наблюдения в одинаковой фазе или со сдвигом фаз, кратным 2p. Соответствующая разность хода должна быть кратна l:
d×sin y = ml,
где m — целое число. Это основная формула дифракционной решетки. Если угол падения света на решетку не равен нулю, то
d×(sin y1 + sin y2) = ml,
где y1 — угол падения, y2 — угол дифракции.
Какова амплитуда дифрагированной волны в том случае, если разность фаз волн от соседних штрихов мало отличается от величины, кратной 2p? Добавление к разности фаз величины, кратной 2p, не изменяет результат интерференции волн, поэтому будем считать, что разность фаз мало отличается от нуля. Амплитуда света от каждого штриха одна и та же. Разность фаз между волнами от соседних штрихов также одинакова. Число штрихов велико. Тогда картина сложения амплитуд на комплексной плоскости полностью аналогична картине сложения амплитуд при дифракции на одной щели. Векторы комплексных амплитуд будут лежать на дуге окружности.
При изменении направления наблюдения y дуга окружности будет несколько сворачиваться или разворачиваться в дугу меньшего или большего радиуса при сохранении длины дуги.
Направление главного максимума соответствует условию, когда дуга разворачивается в прямую линию.
Если дуга сворачивается в окружность, то интенсивность света в этом направлении равна нулю. При этом разность фаз волн от первого и последнего штрихов решетки равна 2p. Следовательно, разность фаз волн двух соседних штрихов равна 2p/N, что в N раз меньше разности фаз, соответствующей следующему главному максимуму.
Таким образом, ширина главного максимума примерно в N раз меньше расстояния между главными максимумами, где N — число штрихов решетки. Это соотношение полезно помнить при решении задач.
Если мы рассматриваем главный максимум с номером m, то угол, соответствующий направлению на главный максимум, примерно в mN раз больше угловой ширины главного максимума. Отсюда следует выражение для относительного спектрального разрешения решетки в m–м порядке дифракции:
= 
.
Эта формула часто используется при решении задач.
Мы выяснили, что при изменении угла дифракции y от значения угла, соответствующего главному максимуму, до некоторого близкого значения, при котором интенсивность дифрагированной волны обращается в нуль, картина сложения амплитуд изменяется от прямой линии до окружности. Что происходит при дальнейшем изменении угла y?
Дуга сворачивается дальше, а когда она превращается в полторы окружности, суммарная амплитуда достигает более "мелкого" максимума. Это так называемый побочный максимум. Следующий побочный максимум появится, когда дуга свернется в две с половиной окружности и т.д.
В качестве задачи можно определить, сколько побочных максимумов между двумя главными максимумами и как зависит отношение амплитуды побочного максимума к амплитуде главного максимума от номера побочного максимума.
Обсудим теперь, какова амплитуда волны в направлении главного максимума. Эта амплитуда равна произведению числа штрихов решетки на амплитуду волны, дифрагированной в данном направлении от одного штриха.
Оказывается, при некоторых условиях амплитуда главного максимума может оказаться равной нулю. Эта ситуация может обыгрываться в задачах.
В первом порядке дифракции амплитуда главного максимума не может быть равна нулю, поэтому рассмотрим второй порядок дифракции. Во втором порядке разность хода от соседних штрихов равна 2l, что соответствует разности фаз 4p, которая "набегает" при перемещении по вторичным источникам света поперек штрихов от начала одного штриха до начала соседнего штриха.
Разность фаз 4p соответствует двум окружностям дуги сложения амплитуд на комплексной плоскости. Только теперь надо рассматривать не сложение амплитуд от разных штрихов, а сложение амплитуд от тонких полосок внутри одного штриха.
Часть полосок "закрыта" непрозрачной частью штриха решетки шириной b. Свет приходит только от прозрачной части штриха шириной a. Поэтому вместо двух окружностей на комплексной плоскости останется дуга, которая составляет часть окружности величины 2a/(a+b). Для m–го главного максимума (m–й порядок дифракции) на комплексной плоскости картина сложения амплитуд от одного штриха решетки даст долю окружности величины ma/(a+b). Если эта доля равна целому числу (окружностей), то амплитуда соответствующего главного максимума равна нулю.
Зоны Френеля
Определить понятие зоны Френеля можно для дифракции на отверстии любой формы и даже вообще без отверстия, но практически полезно рассмотрение зон Френеля только при дифракции на круглом отверстии, причем в случае, когда источник света и точка наблюдения находятся на прямой, перпендикулярной к плоскости экрана с отверстием и проходящей через центр отверстия.
| Рис. 35 |
Именно такой случай изображен на рис. 35. Здесь S — точечный источник света, P — точка наблюдения. На зоны Френеля можно мысленно разбить любую поверхность, через которую проходит свет, например поверхность равной фазы. Но в нашем случае удобнее разбить на зоны Френеля плоскую поверхность отверстия.
Задача имеет ось симметрии, поэтому зоны Френеля имеют вид колец. Задача сводится к определению радиуса зоны Френеля с произвольным номером m. Под радиусом зоны Френеля подразумевают больший радиус кольца.
Сделаем дополнительное построение (см. рис. 35). Соединим произвольную точку A в плоскости отверстия отрезками прямых линий с источником света S и с точкой наблюдения P. Световая волна, которая приходит в точку наблюдения по пути SAP, проходит больший путь, чем волна, прошедшая по пути SOP. Разность хода SA+AP-SO-OP определяет разность фаз волн, пришедших от вторичных источников A и O в точку наблюдения P. От разности фаз зависит результат интерференции волн в точке P и, следовательно, интенсивность света в этой точке.
Если разность хода равна l/2 , то свет приходит в точку наблюдения в противофазе. Следовательно, при разности хода меньше l/2 свет приходит более или менее в одинаковой фазе.
Это условие SA+AP-SO-OP £ l/2 по определению является условием того, что точка A находится в первой зоне Френеля. Тогда для границы первой зоны разность хода SA+AP-SO-OP = = l/2.
Это равенство позволяет найти радиус первой зоны, будем обозначать его r1. Он равен длине отрезка OA при разности хода l/2.
Если оба расстояния SO и OP гораздо больше диаметра отверстия, а обычно рассматривают именно такой случай, то из геометрических соображений (см. рис. 35) можно получить
r1 = 
.
Аналогично, условие для внешней границы зоны Френеля с номером m: SA+AP-SO-OP = ml/2. Отсюда радиус m–й зоны Френеля
rm = 
= 
×r1.
Отметим, что разбиение на зоны Френеля — это разбиение вторичного источника света на источники с одинаковой площадью, так как
Sm = p×rm2 - p×rm-12 = p×r12 = S1.
От соседних зон Френеля свет приходит в противоположных фазах, так как разность хода от соседних зон по определению равна l/2. Этот результат можно обобщить. Разбиение отверстия на такие кольца, что свет от соседних колец приходит в точку наблюдения с фиксированной разностью фаз, означает разбиение на кольца одинаковой площади. Можно доказать это в качестве задачи.
Рассмотрим теперь разбиение площади отверстия на гораздо более тонкие кольца равной площади. Эти кольца — вторичные источники света. Амплитуда света, пришедшего от каждого кольца в точку наблюдения P примерно одинакова. Разность фаз света от соседних колец в точке P тоже одинакова. Тогда комплексные амплитуды в точке наблюдения при сложении на комплексной плоскости образуют дугу окружности. Суммарная амплитуда — хорда.
Картина построения на комплексной плоскости совершенно аналогична картине для дифракции Фраунгофера на одной щели.
Рассмотрим теперь, как изменяется картина сложения комплексных амплитуд при изменении радиуса отверстия и сохранении остальных параметров задачи.
Если отверстие открывает для точки наблюдения одну зону Френеля, то картина сложения амплитуд выглядит так, как изображено на рис. 36. Амплитуда от последнего тонкого кольца повернута на угол p относительно амплитуды от центральной части отверстия, так как соответствующая разность хода по определению первой зоны Френеля равна l/2. Этот угол p означает, что амплитуды образуют половину окружности.
Если отверстие открывает две зоны Френеля, то картина сложения амплитуд будет иметь вид окружности. В этом случае суммарная амплитуда света в точке P равна нулю (нулевая длина хорды).
| Рис. 36 |
Если открыты три зоны Френеля, то картина представляет собой полторы окружности, и так далее.
Для четного числа зон Френеля амплитуда в точке наблюдения равна нулю. Для нечетного числа амплитуда одинаковая, максимальная и равна длине диаметра окружности на комплексной плоскости сложения амплитуд.
Иногда в условии задачи говорится, что открыто какое–либо дробное число зон Френеля. При этом под половиной зоны Френеля понимают четверть окружности картины сложения амплитуд, что соответствует половине площади (а не радиуса) первой зоны Френеля. Аналогично для любого другого дробного числа зон Френеля. Для половины зоны Френеля, как видно из рис. 37, амплитуда поля в корень из двух раз меньше, чем для одной зоны Френеля.
Иногда в задачах говорится, что какое–то (дробное) число зон закрыто, затем сколько–то зон открыто и остальные закрыты. Тогда суммарную амплитуду поля можно найти как векторную разность амплитуд двух задач.
| Рис. 37 Рис. 38 |
Если открыты все зоны Френеля (нет препятствия на пути световой волны), то картина сложения амплитуд будет выглядеть как спираль, что очень грубо изображено на рис. 38. Спираль получается, потому что при большом числе открытых зон следует учитывать зависимость амплитуды света, излученного вторичным источником от расстояния до точки наблюдения и от направления излучения вторичного источника. В результате свет от зон с большим номером будет иметь малую амплитуду.
Центр спирали находится в середине окружности из первых двух зон, поэтому амплитуда поля при всех открытых зонах вдвое меньше амплитуды поля при открытой одной первой зоне, а интенсивности различаются в четыре раза. Интенсивность света при открытой первой зоне Френеля в четыре раза больше интенсивности света перед экраном с отверстием.
В задачах на зоны Френеля обычно задана интенсивность света до экрана, в котором какие–то зоны Френеля открыты, какие–то — закрыты, и требуется найти интенсивность в точке наблюдения. Интенсивность — это квадрат амплитуды (с коэффициентом c/8p). И заданная интенсивность света до экрана равна квадрату радиуса окружности на комплексной плоскости. Так, если требуется найти отношение интенсивности света при открытой первой зоне к интенсивности падающей волны, то это отношение равно квадрату отношения диаметра окружности к ее радиусу.
В некоторых задачах рассматривается дифракция на небольшом непрозрачном экране, который закрывает для точки наблюдения небольшое число зон Френеля. Полезно сравнить эту задачу с дополнительной, в которой эти зоны наоборот открыты, а все остальные — закрыты. Амплитуду поля в первой задаче можно найти, как векторную разность амплитуды исходной волны и амплитуды во второй задаче.
Дифракция Фраунгофера
Дифракция Фраунгофера — это дифракция на отверстии, которое для точки наблюдения открывает заметно меньше одной зоны Френеля. Это условие выполнено, если точка наблюдения и источник света находятся достаточно далеко от отверстия.
Дифракция Френеля
Дифракция Френеля — это дифракция в случае, когда отверстие открывает (или препятствие закрывает) для точки наблюдения несколько зон Френеля. Если открыто много зон Френеля, то дифракцией можно пренебречь, и мы оказываемся в приближении геометрической оптики.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение сделаем несколько замечаний о полезности применения соображений размерности.
Многие соотношения в оптике, как и вообще в физике, могут быть получены путем построения простейшей зависимости требуемых величин с учетом необходимой размерности результата.
Всевозможные малые углы можно выразить как отношение двух длин, одна из которых — длина волны l, если угол зависит от нее. Так, угол дифракции равен l/D, где D — размер препятствия; максимальная апертура интерференции — l/b, где b — размер источника света; угловой размер источника света — l/L^ , где L^ — длина пространственной когерентности; угол, под которым интерферирующие лучи сходятся на экране — l/d, где d — ширина полос интерференции.
Дифракционная решетка имеет три характерных линейных размера: a — ширина прозрачной части штриха, d — шаг решетки, Nd — полная ширина решетки. Им соответствуют три характерных угла: l/a — направление нулевой интенсивности дифракции на одной щели; l/d — угол между главными максимумами дифракции; l/(Nd)— угловая ширина главного максимума.
Частота и время — величины обратные. Обратная частота — это период колебаний 1/n = T; единица, деленная на спектральную ширину, — время когерентности 1/dn = t; если излучение состоит из двух близких частот, то 1/(n1-n2) — период биений.
Если в зависимости сигнала от времени есть особенность с характерным временем T, то в спектре сигнала есть особенность размером 1/T. Если свет встречает особенность с характерным линейным размером D, то в распределении света по углам появляется особенность размером l/D. И вообще, распределение света по углам — Фурье–образ препятствия.
Подробнее см. литературу [2, 3].
Л и т е р а т у р а
1. Козел С.М., Рашба Э.И., Славатинский С.А. Сборник задач по физике: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1987.– 304с.
2. Бутиков Е.И. Оптика: Учеб. пособие для вузов/ Под ред. Н.И. Калитеевского. – М.: Высш. шк., 1986.– 512с.
3. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1973.– 720с.
С О Д Е Р Ж А Н И Е
КРАТКАЯ СВОДКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ . . . . . . . . . . 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Направление распространения света . . . . . . . . . . . . . 8 Световые лучи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Приближение геометрической оптики . . . . . . . . . . . . 8 Отражение и преломление света . . . . . . . . . . . . . . . 9 Отражение от плоского зеркала . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Оптическая ось . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Линза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Построение изображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Построение изображения в тонкой линзе . . . . . . . . . 12 Построение изображения в толстой линзе . . . . . . . . . 14 Формулы тонкой линзы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Сферическое зеркало . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Глаз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Фотоаппарат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Окуляр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Подзорная труба, телескоп . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Микроскоп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Шкала, крест, острие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Спектрометр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ФОТОМЕТРИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Основные понятия волновой оптики . . . . . . . . . . . . . 25 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Поляризатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Пластинки l/2 и l/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Двухлучевая интерференция . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Оптическая разность хода . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Ширина интерференционных полос . . . . . . . . . . . . 32 Потеря полуволны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Интерференция и закон сохранения энергии . . . . . . . 34 Частично когерентный свет . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Квазимонохроматический свет . . . . . . . . . . . . . . 37 Порядок интерференции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Область высокой видности интерференционной картины при квазимонохроматическом источнике света 39 Временная когерентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Пространственная когерентность . . . . . . . . . . . . . 41 Видность интерференционной картины с протяженным источником света . . . . . . . . . . . 42 Связь пространственной когерентности и углового размера источника света . . . . . . . . . . 43 Апертура интерференции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Объем когерентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Совместное влияние временной и пространственной когерентности на интерференционную картину . . . 45 Локализация интерференционной картины . . . . . . . . 45 Полосы равной толщины и полосы равного наклона . . . 47 ДИФРАКЦИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Комплексная амплитуда световой волны . . . . . . . . . . 49 Ключевые моменты решения задач по теме "дифракция" 51 Дифракция на одной щели . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Дифракционная решетка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Зоны Френеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Дифракция Фраунгофера . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Дифракция Френеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Сравнение линзы и зонной пластинки . . . . . . . . . . . . 62 Дифракционный предел разрешения . . . . . . . . . . . . 63 ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
САНКТ–ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
¾¾¾¾¾¾¾
Методические указания
Дата: 2019-12-10, просмотров: 293.
