http://www.matlab.mgppu.ru/work/0023.htm

По форме связь может быть линейной или нелинейной.

Таблица 1

Выбор метода вычисления коэффициента корреляции зависит от вида шкалы, к которой относятся переменные (см. таблицу 2).

Таблица 2

с. 56 (64) 063.JPG

Коэффициент корреляции— двумерная описательная статистика, количе­ственная мера взаимосвязи (совместной изменчивости) двух переменных.

История разработки и применения коэффициентов корреляции для ис­следования взаимосвязей фактически началась одновременно с возникнове­нием измерительного подхода к исследованию индивидуальных различий — в 1870—1880 гг. Пионером в измерении способностей человека, как и автором самого термина «коэффициент корреляции», был Френсис Гальтон, а самые популярные коэффициенты корреляции были разработаны его последовате­лем Карлом Пирсоном. С тех пор изучение взаимосвязей с использованием коэффициентов корреляции является одним из наиболее популярных в пси­хологии занятием.

К настоящему времени разработано великое множество различных коэф­фициентов корреляции, проблеме измерения взаимосвязи с их помощью по­священы сотни книг. Поэтому, не претендуя на полноту изложения, мы рас­смотрим лишь самые важные, действительно незаменимые в исследованиях меры связи — /--Пирсона, r-Спирмена и т-Кендалла'. Их общей особенностью является то, что они отражают взаимосвязь двух признаков, измеренных в ко­личественной шкале — ранговой или метрической.

Вообще говоря, любое эмпирическое исследование сосредоточено на изу­чении взаимосвязей двух или более переменных.

Любое исследование можно свести к изучению корреляций, благо изобре­тены самые различные коэффициенты корреляции для практически любой исследовательской ситуации. Но в дальнейшем изложении мы будем разли­чать два класса задач:

П исследование корреляций — когда две переменные представлены в чис­ловой шкале;

□ исследование различий — когда хотя бы одна из двух переменных пред­ставлена в номинативной шкале.

Такое деление соответствует и логике построения популярных компьютер­ных статистических программ, в которых в меню Корреляции предлагаются три коэффициента (/--Пирсона, r-Спирмена и х-Кендалла), а для решения других исследовательских задач предлагаются методы сравнения групп.

ПОНЯТИЕ КОРРЕЛЯЦИИ

Взаимосвязи на языке математики обычно описываются при помощи фун­кций, которые графически изображаются в виде линий. На рис. 6.1 изобра­жено несколько графиков функций. Если изменение одной переменной на одну единицу всегда приводит к изменению другой переменной на одну и ту же величину, функция является линейной (график ее представляет прямую линию); любая другая связь — нелинейная. Если увеличение одной перемен­ной связано с увеличением другой, то связь — положительная (прямая); если увеличение одной переменной связано с уменьшением другой, то связь — отрицательная (обратная). Если направление изменения одной переменной не меняется с возрастанием (убыванием) другой переменной, то такая функ­ция — монотонная; в противном случае функцию называют немонотонной.

Функциональные связи,подобные изображенным на рис. 6.1, являются иде-ализациями. Их особенность заключается в том, что одному значению одной переменной соответствует строго определенное значение другой переменной. Например, такова взаимосвязь двух физических переменных — веса и длины тела (линейная положительная). Однако даже в физических экспериментах эмпирическая взаимосвязь будет отличаться от функциональной связи в силу неучтенных или неизвестных причин: колебаний состава материала, погреш­ностей измерения и пр.

В психологии, как и во многих других науках, при изучении взаимосвязи признаков из поля зрения исследователя неизбежно выпадает множество воз­можных причин изменчивости этих признаков. Результатом является то, что даже существующая в реальности функциональная связь между переменными выступает эмпирически как вероятностная (стохастическая): одному и тому же значению одной переменной соответствует распределение различных значе­ний другой переменной (и наоборот). Простейшим примером является соотно­шение роста и веса людей. Эмпирические результаты исследования этих двух признаков покажут, конечно, положительную их взаимосвязь. Но несложно догадаться, что она будет отличаться от строгой, линейной, положительной — идеальной математической функции, даже при всех ухищрениях исследова­теля по учету стройности или полноты испытуемых. (Вряд ли на этом основа­нии кому-то придет в голову отрицать факт наличия строгой функциональ­ной связи между длиной и весом тела.)

Итак, в психологии, как и во многих других науках, функциональная вза­имосвязь явлений эмпирически может быть выявлена только как вероятно­стная связь соответствующих признаков. Наглядное представление о характере вероятностной связи дает диаграмма рассеивания — график, оси которого со­ответствуют значениям двух переменных, а каждый испытуемый представля­ет собой точку (рис. 6.2). В качестве числовой характеристики вероятностной связи используются коэффициенты корреляции.

Рис. 6.2. Примеры диаграмм рассеивания и соответствующих коэффициентов корреляции

Коэффициент корреляции— это количественная мера силы и направления вероятностной взаимосвязи двух переменных; принимает значения в диапа­зоне от-1 до +1.

Сила связи достигает максимума при условии взаимно однозначного соот­ветствия: когда каждому значению одной переменной соответствует только одно значение другой переменной (и наоборот), эмпирическая взаимосвязь при этом совпадает с функциональной линейной связью. Показателем силы связи явля­ется абсолютная (без учета знака) величина коэффициента корреляции.

Направление связи определяется прямым или обратным соотношением зна­чений двух переменных: если возрастанию значений одной переменной соответствует возрастание значений другой переменной, то взаимосвязь на­зывается прямой (положительной); если возрастанию значений одной пере­менной соответствует убывание значений другой переменной, то взаимосвязь является обратной (отрицательной). Показателем направления связи являет­ся знак коэффициента корреляции.

с. 70 (162)

Сравнение двух выборок по признаку, измеренному в метрической шкале, обычно предполагает сравнение средних значений с использованием параметри­ческого критерия t-Стьюдента. Следует различать три ситуации по соотноше­нию выборок между собой: случай независимых и зависимых выборок (измере­ний признака) и дополнительно — случай сравнения одного среднего значения с заданной величиной (критерий /-Стьюдента для одной выборки).

К параметрическим методам относится и сравнение дисперсий двух выборок по критерию F-Фишера. Иногда этот метод приводит к ценным содержатель­ным выводам, а в случае сравнения средних для независимых выборок срав­нение дисперсий является обязательной процедурой.

При сравнении средних или дисперсии двух выборок проверяется нена­правленная статистическая гипотезао равенстве средних (дисперсий) в гене­ральной совокупности. Соответственно, при ее отклонении допустимо при­нятие двусторонней альтернативы о конкретном направлении различий в соответствии с соотношением выборочных средних (дисперсий). Для приня­тия статистического решения в таких случаях применяются двусторонние кри­терии и, соответственно, критические значения для проверки ненаправлен­ных альтернатив.

http://psystat.at.ua/publ/1-1-0-17 (очень доступно!!!)

Коэффициент корреляции является одним из самых востребованых методов математической статистики в психологических и педагогических исследованиях. Формально простой, этот метод позволяет получить массу информации и сделать такое же количество ошибок. В этой статье мы рассмотрим сущность коэффициента корреляции, его свойства и виды.

Слово correlation (корреляция) состоит из приставки «co-», которая обозначает совместность происходящего (по аналогии с «координация») и корня «relation» , переводится как «отношение» или «связь» (вспомним public relations – связи с общественностью). Дословно correlation переводится как взаимосвязь.

Коэффициент корреляции — это мера взаимосвязи измеренных явлений.

Коэффициент корреляции (обозначается «r») рассчитывается по специальной формуле и изменяется от -1 до +1. Показатели близкие к +1 говорят о том, что при увеличении значения одной переменной увеличивается значение другой переменной. Показатели близкие к -1 свидетельствуют об обратной связи, т.е. При увеличении значений одной переменной, значения другой уменьшаются.

Пример. На большой выборке был проведён тест FPI. Проанализируем взаимосвязи шкал Общительность, Застенчивость, Депрессивность.

Начнем с Застенчивости и Депрессивности. Для наглядности, задаём систему координат, на которой по X будет застенчивость, а по Y — депрессивность. Таким образом, каждый человек из выборки исследования может быть изображен точкой на этой системе координат. В результате расчетов, коэффициент корреляции между ними r=0,6992.

Как видим, точки (испытуемые) расположены не хаотично, а выстраиваются вокруг одной линии, причём, глядя на эту линию можно сказать, что чем выше у человека выражена застенчивость, тем больше депрессивность, т. е. эти явления взаимосвязаны.

Построим аналогичный график для Застенчивости и Общительности.

Мы видим, что с увеличением застенчивости общительность уменьшается. Их коэффициент корреляции -0,43.

Таким образом, коэффициент корреляции больший от 0 до 1 говорит о прямопропорциональной связи (чем больше… тем больше…), а коэффициент от -1 до 0 о обратнопропорциональной (чем больше… тем меньше…)

Если бы точки были расположены хаотично, коэффициент корреляции приближался бы к 0.

Коэффициент корреляции отражает степень приближенности точек на графике к прямой.

Приведём примеры графиков, отражающих различную степень взаимосвязи (корреляции) переменных исследования.

Сильная положительная корреляция:

Слабая положительная корреляция:

Нулевая корреляция:

В подписи у каждого графика кроме значения r есть значение p. p – это вероятность ошибки, о которой будет рассказано отдельно.

Виды взаимосвязи

1. Прямая положительная и отрицательная взаимосвязь. Два явления непосредственно совпадают, поэтому взаимосвязаны. Интеллект и успеваемость в школе, общительность и застенчивость — яркие примеры прямой взаимосвязи.

2. Косвеная взаимосвязь. Два явления сильно коррелируют с третьим, поэтому между собой так же имеют корреляцию. К примеру, стиль общения ребенка взаимосвязан со стилем воспитания в семье за счет третьей переменной — установок личности. Очевидно, что воспитание в семье формирует установки ребенка, в свою очередь установки влияют на поведение.

3. Нулевая корреляция. Предполагает отсутствие закономерной взаимосвязи между переменными.

4. Случайная взаимосвязь. Корреляция может быть случайной! Очень многие процессы происходят одновременно и совпадают. Здесь уместно сказать, что если много-много коррелировать — что нибудь обязательно скоррелируется.

Важно. Взаимосвязь должна интерпретироваться в оба направления. Формально, корреляция не обозначает причинно-следственной связи! Это ВЗАИМОсвязь, ВЗАИМОсовпадение, явлений. Возвращаясь к примеру: застенчивость взаимосвязана с депрессивностью. Логично подумать, что депрессивный человек более застенчив, чем не депрессивный, но почему не наоборот? С чего начинать рассуждение? Мы интерпретируем корреляцию в оба направления и не констатируем причинно-следственную связь. Пишем «кореляция», «взаимосвязь», подразумеваем – совпадение. Причем сильная корреляция обозначает неслучайное совпадение.

Есть случаи, когда корреляция может говорить о причинно следственной связи. Это случаи, когда одна из переменых общективна, а вторая субъективна. К объективным переменным относятся возраст, стаж, рост, которые просто не могут зависеть от субъективных переменных: настроения, особенностей личности, мотивации и т.д. Однако, такие объективные переменные, как вес, количество детей в семье, частота смены места работы, количество контактов и т.п. могут и часто зависят от субъективных психологических показателей.

К примеру, профессионализм рабочего повышается со стажем. Стаж и профессионализм коррелируют и мы можем быть уверены, что для повышения профессионализма стаж является объективной причиной. Объективные переменные, основанные на времени всегда являются причиной при наличии корреляции с субъективными характеристиками. В остальных случаях нужно очень осторожно относиться к причинно-следственным интерпретациям коэффициента корреляции.

Если причинно-следственная связь обоснована в теоретической части работы и подтверждается многими авторами, то корреляцию так же можно интерпретировать как причинно-следственную связь.

Существуют различные формулы расчета коэффициента корреляции для различных типов шкал (см. статью «Понятие переменной и шкалы измерения»). Результатом расчета по любой формуле будет число от -1 до +1.

В следующей таблице написаны названия коэффициентов корреляции для различных типов шкал.

Основные принципы интерпретации различных коэффициентов корреляции одинаковы. В случае дихотомической шкалы мы говорим о вероятности совпадения (прямого или обратного) ответов типа да/нет, в случае рангов о вероятности совпадения порядка, в случае коэффициента линейной корреляции мы говорим о степени совместного изменения переменных или о их взаимосвязи.

Полученный коэффициент нужно проверить на значимость, которая зависит от вероятности ошибки и количества человек. Коэффициент корреляции может быть формально небольшим, к примеру r=0,17, но если исследование проведено на 500 человек и вероятность ошибки (р) менее 0,05, то мы признаём значимым даже такой небольшой коэффициент. С другой стороны, при выборке в 5 человек очень большой коэффициент мы признаем незначимым, т.к. из-за малого количества человек мы можем совершить ошибочный вывод об этой корреляции.

Таким образом, для нас главное узнать какой должна быть вероятность ошибки и количество человек, чтобы признать полученный коэффициент действительно значимым.

Расчет значения р (вероятности ошибки) – сложная процедура, поэтому компьютерные программы, в которых можно считать коэффициент корреляции, расчитывают вероятность ошибки самостоятельно. Если же расчет производился вручную или по другим причинам конкретное значение р неизвестно, то используем уже рассчитанные таблицы критических значений.

Таблицы критических значений предназначены чтобы можно было найти критическое значение коэффициента корреляции, т.е. такое, после которого взаимосвязь можно считать значимой и неслучайной. При этом значение вероятности ошибки задаётся исследователем. В таблицах обычно есть критические значения коэффициентов корреляции для р≤0,001, р≤0,01, р≤0,05, иногда пишут соответственно 0,1%, 1%, 5%. Таким образом, пользуясь таблицами мы отвечаем на вопрос: какое критическое значение коэффициента корреляции при данном количестве людей и вероятности ошибки менее или равно 0,1% (1%, 5%)?

Обычно в психологических исследованиях вероятность ошибки выбирают на уровне p≤0,05, но если в исследовании принимают участие более 100 человек, то можно выбирать и р≤0,01. В первой колонке таблицы критических значений находится значение df (Degrees of Freedom — степени свободы), которое расчитывается очень просто: df = n-1, где n – количество человек. На пересечении нужного df и выбранной вероятности ошибок находим критический коэффициент корреляции. Если рассчитанное значение больше критического — коэффициент значимый, в обратном случае взаимосвязь является случайной.

В примерах, приведённых выше для количества человек n=89 и p≤0,05 критический коэффициент корреляции r=0,20. А вот если бы количество человек было 45 (при том же p≤0,05) то критическим значением было бы r=0,29, при количестве человек 10 критическое значение r=0,63.

Вывод

Коэффициент корреляции — это мера взаимосвязи измеренных явлений. На самом примитивном уровне его можно рассматривать как меру совпадения двух рядов чисел. Любой коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Отрицательные значения говорят про обратнопропорциональную взаимосвязь, положительные о прямопропорциональной. Полученный коэффициент необходимо сравнивать с критическим табличным.