Самым чувствительным (мощным) аналогом критерия f-Стьюдента для зависимых выборок является критерий Т-Вилкоксона (Wilcoxon signed-rank test). Непараметрическим его аналогом является критерий знаков, который еще проще в вычислительном отношении, но обладает меньшей чувствительностью, чем критерий Г-Вилкоксона. Критерий Тоснован на упорядочивании величин разностей (сдвигов) значений признака в каждой паре его измерений (критерий знаков основан на учете только знака этой разности). Соответственно, критерий Т, будучи менее чувствительным аналогом /'-Стьюдента, более чувствителен по сравнению с другими непараметрическими критериями для повторных измерений (зависимых выборок).
Т^-Вилкоксона основан на ранжировании абсолютных разностей пар значений зависимых выборок. Далее подсчитывается сумма рангов для положительных разностей и сумма рангов для отрицательных разностей. Идея критерия 71 заключается в подсчете вероятности получения минимальной из этих разностей-при условии, что распределение положительных или отрицательных разностей равновероятно и равно 1/2.
Для расчетов «вручную» не требуется особых формул: достаточно подсчитать суммы рангов для положительных и отрицательных разностей. Затем меньшая из сумм принимается в качестве эмпирического значения критерия, значение которого сравнивается с табличным значением (приложение 10), рассчитанным для условия равной вероятности положительных и отрицательных разностей для данного объема выборки. Конечно, чем больше различия, тем меньше эмпирическое значение 71, тем менее вероятно получение такого значения при условии равной вероятности встречаемости положительных и отрицательных разностей, следовательно, тем меньше значение /ьуровня.
ПРИМЕР 12.2___________________________________________________
Проверим гипотезу о различии значений показателя, измеренного дважды на одной и той же выборке («Условие 1» и «Условие 2»), на уровне а = 0,05:
Ш а г 1. Подсчитать разности значений для каждого объекта выборки (строка 4). Ш а г 2. Ранжировать абсолютные значения разностей (строка 5).
Ш а г 3. Выписать ранги положительных и отрицательных значений разностей (строки 6 и 7).
Ш а г 4. Подсчитать суммы рангов отдельно для положительных и отрицательных разностей: Т\ — 13; Т2 — 65. За эмпирическое значение критерия Гэмп принимается меньшая сумма: 7^ = 13.
Ш а г 5. Определяется ^-уровень значимости: Гэмл сравнивается с табличным (приложение 10) для соответствующего объема выборки. Значение р < 0,05 (0,01), если вычисленное Гэмп < Гтабл В нашем случае эмпирическое значение равно критическому значению для р = 0,05. Следовательно, р = 0,05.
Ш а г 6. Принимается статистическое решение и формулируется содержательный вывод. На уровне а = 0,05 принимается статистическая гипотеза о различии двух условий по уровню выраженности изучаемого признака. Уровень выраженности признака для условия 2 статистически значимо выше, чем для условия 1 (р = 0,05).
Замечание. Связи в рангах абсолютных значений разностей для вычислений «вручную» не предусмотрены. Хотя их влияние и не очень существенно, но если доля одинаковых рангов велика и превышает, скажем, 50%, то предлагаемый алгоритм неприменим, пользуйтесь компьютерной программой (SPSS, Statistica) или (7-критерием знаков.
Критерий знаков G (Sign test) — менее чувствительная к сдвигам альтернатива критерия Г-Вилкоксона. Для того чтобы им воспользоваться, достаточно подсчитать количество отрицательных и положительных сдвигов.
ПРИМЕР_____________________________________________________
Проверим гипотезу о различии в отношении данных примера 12.2 с использованием критерия знаков (на уровне а = 0,05).
Ш а г 1. Подсчитать количество положительных и отрицательных разностей значений (по строке 4). Сдвиг в значениях, соответствующий наибольшему числу из этих разностей, принимается за типичный сдвиг. Количество типичных сдвигов обозначается N, а количество нетипичных сдвигов принимается в качестве эмпирического значения критерия (?эмп В нашем случае количество типичных сдвигов N = 9, а количество нетипичных сдвигов Сэмп = 3.
Ш а г 2. Определяется/^-уровень значимости: СЭМ1| (количество нетипичных сдвигов) сравнивается с табличным критическим (приложение 11) для соответствующего N (количества типичных сдвигов). Чем меньше (7ЭМП, тем меньше значение /ьуровня. Значение р < 0,05 (0,01), если вычисленное (7ЭМП < (7табл В нашем случае для N=9 табличное значение для/? = 0,05 равно 1, и G3Mn его превышает. Следовательно,/j > 0,05.
Ш а г 3. Принимается статистическое решение и формулируется содержательный вывод. На уровне а = 0,05 принимается нулевая статистическая гипотеза об отсутствии различий. Между условиями 1 и 2 не обнаружены статистически достоверные различия в уровне выраженности изучаемого признака (р > 0,05).
titkova-matmetody.pdf с. 74
Назначение критерия.
Критерий применяется для сопоставления показателей, измеренных в двух разных
условиях на одной и той же выборке испытуемых.
Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность. С
его помощью мы определяем, является ли сдвиг показателей в каком-то одном направлении более
интенсивным, чем в другом.
Описание критерия Т.
Этот критерий применим в тех случаях, когда признаки измерены по крайней мере по
шкале порядка, и сдвиги между вторым и первым замерами тоже могут быть упорядочены. Для
этого они должны варьировать в достаточно широком диапазоне. В принципе, можно применять
критерий Т и в тех случаях, когда сдвиги принимают только три значения: -1, 0 и +1, но тогда
критерий Т вряд ли добавит что-нибудь новое к тем выводам, которые можно было бы получить с
помощью критерия знаков. Вот если сдвиги изменяются, скажем, от -30 до +45, тогда имеет смысл
их ранжировать и потом суммировать ранги.
Суть метода состоит в сопоставлении выраженности сдвигов в том и ином направлениях
по абсолютной величине. Для этого сначала ранжируются все абсолютные величины сдвигов, а
потом суммируются ранги. Если сдвиги в положительную и в отрицательную сторону происходят
случайно, то суммы рангов абсолютных значений их будут примерно равны. Если же
интенсивность сдвига в одном из направлений перевешивает, то сумма рангов абсолютных
значений сдвигов в противоположную сторону будет значительно ниже, чем это могло бы быть
при случайных изменениях.
Первоначально исходят из предположения о том, что типичным сдвигом будет сдвиг в
более часто встречающемся направлении, а нетипичным, или редким, сдвигом – сдвиг в более
редко встречающемся направлении.
Гипотезы.
H0: Интенсивность сдвигов в типичном направлении не превосходит интенсивности
сдвигов в нетипичном направлении.
HI: Интенсивность сдвигов в типичном направлении превышает интенсивность сдвигов в
нетипичном направлении.
Ограничения в применении критерия Т Вилкоксона
1) Минимальное количество испытуемых, прошедших измерения в двух условиях – 5 человек.
Максимальное количество испытуемых – 50 человек, что диктуется верхней границей
имеющихся таблиц. Критические значения Т приведены в Табл. VI Приложения 1.
2) Нулевые сдвиги из рассмотрения исключаются, и количество наблюдений n уменьшается на
количество этих нулевых сдвигов (McCall R., 1970, р. 36). Можно обойти это ограничение,
сформулировав гипотезы, включающие отсутствие изменений, например: "Сдвиг в сторону
увеличения значений превышает сдвиг в сторону уменьшения значений и тенденцию
сохранения их на прежнем уровне".
Пример 5.6. В выборке курсантов военного училища (юноши в возрасте от 18 до 20 лет)
измерялась способность к удержанию физического волевого усилия на динамометре. Сначала у
испытуемых измерялась максимальная мышечная сила каждой из рук, а на следующий день им
предлагалось выдерживать, на динамометре с подвижной стрелкой мышечное усилие, равное 1/2
максимальной мышечной силы данной руки. Почувствовав усталость, испытуемый должен был
сообщить об этом экспериментатору, но не прекращать опыт, преодолевая усталость и неприятные
ощущения – "бороться, пока воля не иссякнет". Опыт проводился дважды; вначале с обычной
инструкцией, а затем, после того, как испытуемый заполнял опросник самооценки волевых
качеств по методике А.Ц. Пуни (Пуни А.Ц., 1977), ему предлагалось представить себе, что он уже
добился идеала в развитии волевых качеств, и продемонстрировать соответствующее идеалу
волевое усилие. Подтвердилась ли гипотеза экспериментатора о том, что обращение к идеалу
способствует возрастанию волевого усилия? Данные представлены в табл. 5.7.
Таблица 5.7. Расчет критерия Т при сопоставлении замеров физического волевого усилия
Для подсчета этого критерия нет необходимости упорядочивать ряды значений по
нарастанию признака. Можно использовать алфавитный список испытуемых, как в данном случае.
Первый шаг в подсчете критерия Т – вычитание каждого индивидуального значения "до"
из значения "после" (можно вычитать значения "после" из значений "до", это никак не повлияет на
расчет критерия. Но лучше во всех случаях придерживаться одной системы, чтобы не запутаться
самим).
Мы видим из табл. 5.7., что 8 полученных разностей – отрицательные и лишь 3 –
положительные.
Это означает, что у 8 испытуемых длительность удержания мышечного усилия во втором
замере уменьшилась, а у 3 – увеличилась. Мы столкнулись с тем случаем, когда уже сейчас нельзя
сформулировать статистическую гипотезу, соответствующую первоначальному предположению
исследователя. Предполагалось, что обращение к идеалу будет увеличивать длительность
мышечного усилия, а экспериментальные данные свидетельствуют, что лишь в 3 случаях из 11
этот показатель действительно увеличился. Можно сформулировать лишь гипотезу,
предполагающую несущественность сдвига этого показателя в сторону снижения.
Гипотезы.
H0: Интенсивность сдвигов в сторону уменьшения длительности мышечного усилия не
превышает интенсивности сдвигов в сторону ее увеличения.
H1: Интенсивность сдвигов в сторону уменьшения длительности мышечного усилия
превышает интенсивность сдвигов в сторону ее увеличения.
На следующем шаге все сдвиги, независимо от их знака, должны быть проранжированы по
выраженности. В Таблице 5.7. в четвертом слева столбце приведены абсолютные величины
сдвигов, а в последнем столбце (справа) – ранги этих абсолютных величин. Меньшему значению
соответствует меньший ранг. При этом сумма рангов равна 66, что соответствует расчетной:
Теперь отметим те сдвиги, которые являются нетипичными, в данном случае –
положительными. В Таблице 5.7. эти сдвиги и соответствующие им ранги выделены цветом.
Сумма рангов этих «редких» сдвигов составляет эмпирическое значение критерия Т:
По таблице 4 Приложения 5.3. находим критические значения для Т-критерия Вилкоксона
для n=11:
Зона значимости в данном случае простирается влево, действительно, если бы "редких", в
данном случае положительных, сдвигов не было совсем, то и сумма их рангов равнялась бы нулю.
В данном же случае эмпирическое значение Т попадает в зону неопределенности:
Тэмп.<Ткр(0,05)
Ответ: H0 Овтвергается. Интенсивность отрицательного сдвига показателя физического
волевого усилия превышает интенсивность положительного сдвига (р<0,05).
Попытаемся графически отобразить интенсивность отрицательных и положительных
сдвигов. На Рис. 5.5. слева сдвиги представлены в секундах, а справа – в своих ранговых
значениях. Мы видим, что ранжирование несколько уменьшает площади сопоставляемых облаков,
или "фронтов".
Рисунок 5.5. Графическое представление отрицательных и положительных сдвигов; слева
в секундах, справа в ранговых значениях
Таким образом, продолжительность удержания мышечного волевого усилия во втором
замере снижается, и этот сдвиг неслучаен. Инструкция, ориентирующая испытуемого на
соответствие идеалу в развитии воли, оказалась гораздо менее мощным фактором, чем какая-то
иная сила – возможно, мышечное утомление, может быть, разочарование в себе или в
возможностях данного психологического эксперимента. А может быть, в момент второго замера
просто перестает действовать какой-то мощный фактор, который был активен вначале?
Представим выполненные действия в виде алгоритма:
АЛГОРИТМ
Дата: 2016-10-02, просмотров: 429.
