Система двух уравнений с двумя переменными вида

называется однородной (левые части обоих уравнений однородные многочлены степени n от двух переменных).

Однородные системы решаются комбинацией двух методов: линейного преобразования и введения новых переменных.

Пример 5. Решить систему

Решение.

Первое уравнение системы однородное (напомним, что уравнение вида  , где  - однородный многочлен - называется однородным уравнением). Заметим, что если положить y=0 то из однородного уравнения находим x=0. Но пара чисел (0;0) не удовлетворяет второму уравнению системы, поэтому y≠0 и, следовательно, обе части однородного уравнения можно разделить на y² (это не приведёт к потере корней).

Получим и откуда находим, что или  , то есть

Ответ: {(2; 3), (-2;-3)}.

Типичные ошибки при решении систем и методы их устранения

При решении некоторых систем иногда происходит потеря корней в ответе или появляются посторонние корни. Основная причина этого заключается в том, что осуществляются правдоподобные рассуждения, но теряется контроль над равносильностью переходов от одной системы к другой. Для того чтобы избежать подобных ошибок, нужно знать природу их появления и на определенном этапе решения произвести необходимые преобразования, проверку решения и т.д.

В качестве таких примеров рассмотрим решение нескольких систем нелинейных уравнений.

Пример 6. Решите систему уравнений

Неправильное решение.

Вычтем из первого уравнения системы второе уравнение. Получим

, откуда x =11.

В этом случае корень уравнения, полученный после эквивалентного преобразования (вычли второе уравнение из первого), не проверили. Чтобы избежать подобной ошибки, необходимо после вычитания одного уравнения из другого решать систему уравнений, в которой обязательным является наличие уравнения, полученное после вычитания и одного из первоначальных уравнений.

Неправильный ответ: {11}.

Правильное решение.

Выполним эквивалентные преобразования:

Таким образом, при решении системы уравнений, необходимо записать такое же количество уравнений, которое было в условии, чтобы не получить посторонний корень.

Правильный ответ: .

Глава III . Основные преобразования логарифмических неравенств

Основные свойства логарифма

Слово «логарифм» происходит от греческих слов «αριθμος» - число и «λογοσ» - отношение. Переводится как «отношение чисел», одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое – геометрической.

Определение: логарифмом положительного числа b по основанию a (a >0, a≠1)называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.

Обозначение логарифма: .

Пример 1.

 так как 3⁴=81;

 так как (1/3) ^-3 = 3³ = 27.

Вышеприведенное определение логарифма можно записать следующим образом:

Полученное равенство называют основным логарифмическим тождеством.

Пример 2.

Операцию нахождения логарифма числа называют логарифмированием.

Выделим три формулы:

1.

2.

3.

Свойства логарифмов

1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей (с>0, c≠0, a>0, b>0)

Пример.

2. Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя (с>0, c≠1, a>0, b>0)

Пример.

3. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания (с>0, c≠1, b>0)

Пример.

Следствием этого свойства является следующее утверждение: логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делённому на степень корня:

4. Если в основании логарифма находится степень, то величину, обратную показателю степени, можно вынести за знак логарифма:

Два последних свойства можно объединить в одно:

Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию (с>0, c≠1, a>0, a≠1,b>0)

Пример.

В частном случае при b=aимеем:

Пример.