Основной числовой характеристикой степени рассеяния значений случайной величины 
относительно ее математического ожидания 
является дисперсия, которая обозначается через 
.
Определение. Отклонением называется разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием , т.е. 
.
Отклонение 
и его квадрат 
также являются случайными величинами.
Определение. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:
.
Свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной величины С равна 0:
.
2. Если - случайная величина, аС – постоянная, то
.
3. Если и 
- независимые случайные величины, то
.
4. Для вычисления дисперсий более удобной является формула
.
Пример 3. Дискретная случайная величина распределена по закону:
| -1 | 0 | 1 | 2 |
| 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,4 |
Найти 
.
Решение. Сначала находим .
,
а затем 
.
.
По формуле 
имеем
.
Средним квадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:
.
Пример 1. 1) Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и 2) функцию распределения дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
| х | -5 | 2 | 3 | 4 |
| р | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Решение
1) 
2) Будем задавать различные значения х и находить для них 
1. Если 
, то F( 
)=0, F(1)=0;
2. при –5< 
, F( )=P( =-5)=0,4; F(2)=P( <2)=0,4;
3. при 
, F( )=P(X< )=P( =-5)+P( =2)=0,7; F(3)=0,7;
4. при 
, F(X< )=P( =-5)+P( =2)+P( =3)=0,8; F(4)=0,8;
5. при >4, F( )=P( =-5)+P( =2)+P( =3)+P( =4)=1.
F( )= 
Ответ: -0,3; 15,21; 3,9; F( ).
Практическое занятие. Вычисление пределов
Цель: Формировать умения и навыки вычисления пределов функции
Решение задач
Пример . Найти
Решение . Подставляя x = 3 в выражение 
получим не имеющее смысла выражение 
. Поэтому решим по-другому:
Сокращение дроби в данном случае корректно, так как x 
3 , он лишь приближается к 3. Теперь мы имеем: 
поскольку, если x стремится к 3, то x + 3 стремится к 6 .
Замечательные пределы
Бесконечно малая и бесконечно большая величины. Если предел некоторой переменной равен 0, то эта переменная называется бесконечно малой.
Пример . Функция y = 
является бесконечно малой при x,
стремящемся к 4, так как 
Если абсолютное значение некоторой переменной неограниченно возрастает, то эта переменная называется бесконечно большой.
Бесконечно большая величина не имеет конечного предела, но она имеет так называемый бесконечный предел, что записывается как:
Символ 
(бесконечность ) не означает некоторого числа, он означает только, что дробь неограниченно возрастает при x, стремящемся к 3. Следует отметить, что дробь может быть как положительной ( при x > 3 ), так и отрицательной ( при x < 3 ). Если бесконечно большая величина может быть только положительной при любых значениях x, это отражается в записи. Например, при x 
0 функция y = x2 бесконечно большая, но она положительна как при x > 0, так и при x < 0 ; это выражается так:
Наоборот, функция y = x 2 всегда отрицательна, поэтому
В соответствии с этим, результат в нашем примере можно записать так:
Вычисление пределов (для самостоятельного выполнения заданий)
1.Найдите пределы последовательностей:
1) 
; 3) 
;
2) 
; 4) 
.
2.Найдите пределы функций:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
3. Раскрытие неопределенностей вида 
. Найдите пределы:
1) 
; 3) 
;
2) 
; 4) 
.
4. Раскрытие неопределенностей вида 
. Найдите пределы:
1) 
; 2) 
.
Практическое занятие. Исследование функций на непрерывность.
Цель: Формировать умения и навыки исследования функций на непрерывность
Решение задач
Пример 1 Пусть 
и 
. Тогда 
и 
. Эти значения совпадают, значит, функция 
непрерывна в точке .
(Функция 
‒ элементарная функция; ‒ точка её области определения 
. Все элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своих областей определения, в том числе и эта. Так что в этом примере можно было бы заменить 
любой элементарной функцией, а -- любой внутренней точкой области 
, и вывод остался бы тем же.)
Пример 2 Рассмотрим функцию 
и точку . При 
функция задаётся формулой 
, при этом имеем 
(первый замечательный предел). Это значение совпадает с тем, которое задано при 
: 
. Итак, 
, что означает непрервыность функции при .
Тем, кто внимательно изучил данное в главе 2 общее понятие базы предела, можно предложить продумать и доказать следующее утверждение:
Определение точек разрыва
Дадим теперь определение точек разрыва функции.
Определение Точка 
называется точкой разрыва функции , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки (то есть, определена на некотором интервале, для которого служит внутренней точкой, но в самой точке , возможно, не определена) и выполняется, хотя бы одно из следующих условий:
1) не существует предела слева 
;
2) не существует предела справа 
;
3) пределы слева 
и справа 
существуют, но не равны друг другу: 
;
4) пределы слева и справа существуют и равны друг другу: 
, но не совпадают со значением функции в точке : 
, или функция не определена в точке .
Если имеет место либо случай 3, либо случай 4, то точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, а поведение функции в окрестности точки называется разрывом первого рода в точке ; в случае 4 точка разрыва первого рода называется устранимой точкой разрыва, а разрыв функции в этой точке -- устранимым разрывом.
Если же имеет место либо случай 1, либо случай 2 (либо и тот и другой сразу), то точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, а поведение функции в окрестности этой точки ‒ разрывом второго рода в точке .
Итак, если функция имеет разрыв первого рода в точке , то существуют, как часто говорят, значения функции "на берегах разрыва": 
и 
, но точка не является точкой непрерывности.
. -- точка разрыва первого рода
Если значения на берегах разрыва разные, то значение функции в точке может быть любым (или вообще отсутствовать), всё равно будет давать разрыв первого рода. Если же значения на берегах разрыва совпадают, то для наличия разрыва нужно, чтобы либо эти совпадающие значения были отличны от значения функции в точке , либо функция в этой точке была вовсе не определена. Если в этом случае переопределить (или доопределить) функцию в точке , положив 
, то полученная изменённая функция будет уже непрерывна в точке и разрыв в точке исчезнет; отсюда и название такого разрыва ‒ устранимый.
. -- точка устранимого разрыва
Наконец, к разрывам второго рода, как видно из определения, относятся все разрывы, которые не принадлежат к разрывам первого рода; некоторые из возможных способов поведения функции в окрестности точки , где происходит разрыв второго рода, представлены на следующем рисунке.
. -- точка разрыва второго рода. Некоторые возможные варианты
Пример 3 Рассмотрим функцию 
, для которой
Функция имеет разрывы при и при 
. Нетрудно видеть, что при 
В точках и функция имеет неустранимые разрывы первого рода. В точке имеем:
(значения на краях разыва существуют, но не совпадают); в точке ‒
(снова пределы слева и справа существуют, но не совпадают).
График функции 
Пример 4 Функция 
имеет при разрыв второго рода, так как 
при 
и 
при 
.
Рис.3.6.График функции 
Пример 5 Функция 
имеет при разрыв второго рода, так как при и при .
Рис. График функции 
Первый замечательный предел равен 
Вторым замечательным пределом называется предел
Число 
, заданное этим пределом, играет очень большую роль, как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов.
Второй замечательный предел существует. Его значение ‒ число, лежащее между 2 и 
.
Более подробное изучение числа показывает, что ‒ иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:
Пример 6. Найдём предел 
.
Здесь основание степени имеет предел
а показатель степени 
. Поэтому можно применять тот же приём сведения ко второму замечательному пределу, что в предыдущем примере. Для начала найдём, что следует взять за бесконечно малую величину 
. Поскольку основание степени стремится к 1, то оно равно 
, где 
Значит,
Теперь преобразуем функцию, стоящую под знаком предела:
Выражение, стоящее в квадратных скобках, имеет вид 
и при стремится к числу (это второй замечательный предел), а предел показателя степени мы найдём отдельно:
Поэтому
(
Практическое занятие. Нахождение производной функции.
Цель: Приобрести навыки вычисления производной функции.
Справочный материал и примеры
Производной функции 
называется конечный предел отношения приращения функции 
к приращению независимой переменной 
при стремлении последнего к нулю:
(1)
Обозначения производной в точке х0:
и другие.
Если функция в точке х0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).
Процесс отыскания производной называется дифференцированием.
N
Геометрический смысл производной. 
Если кривая задана уравнением ,
то 
— угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке ( 
).
Уравнение касательной к кривой
в точке х0 (прямая М0Т) имеет вид:
(2)
а уравнение нормали (М0N):
(3)
Правила дифференцирования
| № пп | U = u(x), V=V(x) — дифференцируемые функции | № п/п | U = u(x), V=V(x) – дифференцируемые функции |
| I | 
| VI | Производная сложной функции 
|
| II | 
|
VII
Функция задана параметрическими уравнениями 
VIII
Если и 
—
взаимно обратные функции,
то 
Формулы дифференцирования
| № | Производная элементарной функции |
| 1 | 
|
| Степенная функция | |
| 2 | 
|
| 3 | 
|
| 4 | 
|
| 5 | 
|
| Показательная функция | |
| 6 | 
|
| 7 | 
|
| Логарифмическая функция | |
| 8 | 
|
| 9 | 
|
| 10 | 
|
| Тригонометрическая функция | |
| 11 | 
|
| 12 | 
|
| 13 | 
|
| 14 | 
|
| Обратная тригонометрическая функция | |
| 15 | 
|
| 16 | 
|
| 17 | 
|
| 18 | 
|
Пример 1. Найти производные функций:
а) 
б) 
в) 
г) 
Решение.
а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:
б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t=1, получим:
в) Используя правила дифференцирования частного IV, суммы I, III
и формулы (3), (14), учитывая, что t=1, получим:
Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой 
в точке с абсциссой х0=2.
Используем уравнения касательной (2) и нормали (3):
1) 
2) 
Подставим 
в уравнения и получим: 
или 
— уравнение касательной.
или 
— уравнение нормали.
Пример 3 . Найти производную 
, если функция задана параметрически: 
Используем правило VII 
Пример 4. Найти дифференциалы функций:
а) 
б) 
в) 
Для дифференциала функции 
справедлива формула 
т. е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной.
Решение.
а) 
б) 
в) 
Пример 5. Найти производную функции 
логарифмическим дифференцированием
Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м. 
или б.б. 
функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:
(5)
Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность или и затем использовать формулу (5).
Пример 6. Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:
а) 
б) 
Решение.
а) Подставляя в функцию вместо х предельное значение 
, определим предел числителя и знаменателя.
т. к. 
Аналогично: 
Имеем неопределенность вида . Используем правило Лопиталя:
б) 
Задания для практической работы
Задание 1. Найти производные 1-го порядка данных функций
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Задание 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х0.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Задание 3. Найти производную 
функции y=у(x), заданной параметрически: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Задание 4. Найти дифференциалы функций:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Задание 5. Найти производную функции логарифмическим дифференцированием
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Задание 6 . Найти пределы, используя правило Лопиталя.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Практическое занятие. Нахождение неопределённого интеграла
Дата: 2019-11-01, просмотров: 230.
