Функции, способы задания функций графики функций.

     Числовой функцией называется зависимость одной переменной от другой такая, что каждому значению независимой переменной ставится в соответствие только одно значение зависимой.

       Независимую переменную называют аргументом, зависимую - функцией.

Функцию можно задать таблицей ( в случае конечного числа значений аргумента), формулой, графиком.   

Графиком функции являются все точки координатной плоскости, абсцисса которых значение аргумента функции, ордината - соответствующее значение функции.

Область определения функции ( Dy ) – множество всех допустимых значений аргумента.

       Область значений функции ( Ey ) – множество значений которые может принимать функция.

              Свойства функций (монотонность, четность, периодичность)

       Функция f называется возрастающей на промежутке, если для любых значений аргументов  таких, что , т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

       Функция f называется убывающей на промежутке, если для любых значений аргументов  таких, что , т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

       Функция f называется четной, если 1)область определения функции симметрична относительно нуля, 2)для любого х из области определения , т.е.значение функции от противоположных аргументов одинаково.

       График четной функции симметричен относительно оси ординат.      

Функция f называется нечетной, если 1)область определения функции симметрична относительно нуля, 2) для любого х из области определения , т.е.значение функции от противоположных аргументов противоположно.

     График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция f  называется периодической с периодом Т 0, если для любого х из области определения  , т.е. значения функции в точках Х, х+Т, х-Т равны.      1) Если функция f  периодическая и Т период , то kT так же являеся периодом этой функции. 2) Если функция f  периодическая и Т период , то число является периодом функции

Преобразование графиков функций

	Функция вида	Преобразование графика	Пример
1	y=-f(x)	Симметрия относительно оси ОХ
2	y=f(-x)	Симметрия относительно оси ОУ
3	y=f(x+a)	Параллельный перенос вдоль оси ОХ на –а единиц
4	y=f(x)+b	Параллельный перенос вдоль оси ОУ на b единиц
5	y=|f(x) |	Часть графика в верхней полуплоскости и на оси абсцисс без изменений, а вместо части графика в нижней полуплоскости строится симметричный ему относительно оси ОХ
6	y=f(|x|)	Часть графика для х 0 симметрично отображаем относительно оси ОУ
7	y=kf(x) (k>0)	При k>1 растяжение от точки (0;0) вдоль оси ОУ в k раз; при 0<k<1 сжатие к точке (0;0) вдоль оси ОУ в    раз
8	y=f(kx)	При k>1 сжатие к точке (0;0) вдоль оси ОХ в k раз; при 0<k<1 растяжение от точки (0;0) вдоль оси ОХ в    раз

                                                    Предел функции

     Число А называется пределом функции в точке  или при  , если для любого числа  существует такое число , такое что для всех х , которые удовлетворяют условию , справедливо неравенство . (определение по Коши)     

       Если в определении предела рассматриваются только х<х₀, то предел называется левосторонним и обозначается:

     Если в определении предела рассматриваются только х>х₀, то предел называется правосторонним и обозначается:

       Свойства пределов функции:

       1) если в некоторой точке из области определения существует предел

         функции, то он единственный;

       2) предел суммы равен сумме пределов

                ;

       3) предел произведения равен произведению пределов

         ;

       4) предел частного равен частному пределов

          ;

Следствия: 

       1) постоянный множитель можно выносить за знак предела

            ;

       2) если   ,то  .                                        

И 2 замечательные пределы

Непрерывность функции

     Функция называется непрерывной в точке х₀, если значение предела функции при  совпадает со значением функции в этой точке. Т.е. функция определена в точке х₀, существует предел в этой точке и значение предела совпадает со значением функции.

      Невыполнение хотя бы одного из этих трех условий свидетельствует о наличии разрыва в данной тоске.

     Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

     Точка разрыва называется разрывом первого рода (скачком), если существует левосторонний и правосторонний пределы функции в точке, но они не равны.

     В остальных случаях точка разрыва называется разрывом второго рода.