КУРСОВАЯ РАБОТА
Выполнил:
студент __ курса очной/заочной формы обучения
________________________________________
________________________________________
________________________________________
(Ф.И.О. полностью)
Руководитель:
(уч. степень, уч. звание) __________________ Ф.И.О.
Итоговая оценка - ________________________________
Подпись______________________должность, уч. степень, уч. звание, Ф.И.О. руководителя
Коломна – 2017 г.
СОДЕРЖАНИЕ:
Введение………………………………………………………..…….…….....3
Глава 1. Теория вероятностей
1.1. Вероятность и частота…………… …………………………….4
1.2. Классический подход и его применение.……….……………..6
1.3. Статистический подход и его применение.………………..….8
1.4. Аксиоматический подход и его применение ……….…....…...9
1.5. Простейшие задачи на нахождение вероятности…………….11
1.6. Выводы главы 1………………………………………………...13
Глава 2. Подробнее о теории вероятностей
2.1. Новые понятия теории вероятностей…………………………14
2.2. Условная вероятность………………………………………….16
2.3. Независимость событий……………………………………….19
2.4. Формула полной вероятности..................................................20
2.5 Теорема Байеса..........................................................................22
2.6. Выводы главы 2………………………………………………..24
Глава 3. Графические иллюстрации для решения задач.
3.1. Задачи на условную вероятность……………………………….25
3.2. Задачи на нахождение полной вероятности…………………...28
3.3. Задачи для решения через формулу Байеса……………………30
Заключение………………..………………………………..……………..…33
Список используемой литературы…………………………..……………..34
ВВЕДЕНИЕ
Целью моей курсовой работы является рассмотрение графических иллюстраций вероятностных рассуждений и применение их в учебном процессе и повседневной жизни.
В рамках этой работы мы рассмотрим различные подходы к определению численного значения вероятностей, научимся решать задачи на безусловную и условную вероятность, а так же составим графические иллюстрации, которые помогут нам в решении тех или иных вероятностных задач.
План работы:
1. Рассмотрение различных подходов к определению численного значения вероятностей.
2. Решение простейших задач на вероятности.
3. Переход к условной вероятности и решение задач.
4. Выведение и применение формулы полной вероятности.
5. Выведение теоремы Байеса из формулы полной вероятности.
6. Решение задач на условную и полную вероятности, применение формулы Байеса.
Глава 1. Теория вероятностей.
Вероятность и частота.
В повседневных рассуждениях мы не рассматриваем посылки как «истины», которые обязательно требуют определенных заключений; вместо этого мы воспринимаем посылки как утверждения, которые либо поддерживают, либо не поддерживают определенные заключения. Когда мы используем имеющуюся информацию, чтобы решить, что заключение истинно или ложно с какой-то степенью вероятности, мы проводим вероятностные рассуждения. В повседневных рассуждениях для оценки вероятности истинности какого-либо заключения мы полагаемся на законы теории вероятностей.
Теория вероятностей – это область математики, бурное развитие которой приходится на последние десятилетия. Широкое распространение вероятностных методов в самых различных областях науки и техники было связано с тем, что с помощью этих методов удалось получить ответы на многие естественнонаучные задачи, которые долгое время не поддавались решению.
На теории вероятностей основаны кинетическая теория газов, теория диффузии растворённых в жидкости веществ и взвешенных частиц. Теория вероятностей объясняет, почему хаотическое беспорядочное движение отдельных молекул приводит к чётким простым закономерностям движения их больших совокупностей (Броуновское движение).
Вероятность события – это отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев. Например, пусть в непрозрачном мешке имеется 7 карточек, на которых написаны буквы Д, Д, Ш, К, Е, У, А. Эти карточки вынимаются вслепую по очереди и выкладываются на стол. В результате получается слово ДЕДУШКА. Казалось бы – это невозможно! Но на самом деле вероятность такого исхода событий есть, хоть она и невероятно мала.
Всего существует 7! (т.е. 5040) вариантов последовательностей из семи букв, для нас благоприятными будут лишь 2, то есть шанс выпадения слова ДЕДУШКА равен 
или 
.
Существует несколько подходов к определению численного значения вероятности:
· Классический
· Статистический
· Аксиоматический
Выводы главы 1 .
Не смотря на удобство различных подходов к решению вероятностных задач, ни один из них не дают исчерпывающего определения реального содержания понятия вероятность. Предположение о том, что при неких условиях для благоприятного события существует определённая вероятность, является гипотезой, которая в каждой задаче требует проверки и обоснования.
По численным значениям вероятностей, определённых при классическом и статистическом подходе можно вычислить новые вероятности.
Решение вопроса о практической достоверности непосредственно связано с вопросом о том, какими вероятностями можно пренебрегать на практике. Он решается для каждой задачи по-разному и уже за рамками теории вероятностей. Например, в каком-то случае пренебрегают вероятностью 0.05: если условия практической задачи допускают такую долю ошибок (в среднем 5 случаем на 100 экспериментов), то мы считаем достоверным событие, которое происходит с вероятностью 0.95. В других случаях принято пренебрегать лишь вероятностями 0.001, а иногда требуется еще большее приближение вероятности отсутствия ошибки.
В следующей главе мы более подробно ознакомимся с термином вероятность, узнаем, что такое условная вероятность, независимость событий и выведем формулу полной вероятности.
Условная вероятность.
При решении вероятностных задач часто важно определить вероятность наступления какого-либо события, когда о нём имеются дополнительные сведения. Обычно нужно найти вероятность события А, при условии, что некоторое событие В уже произошло. Например, на экскурсии всех людей поделили на 5 групп. Изначально ваш шанс попасть в первую группу равен 20%, но после того, как экскурсовод сказал, что вы не попали ни в пятую, ни в третью группу, вероятность оказаться в первой группе возросла и стала равна 
Условная вероятность события А при условии, что наступило событие В – это отношение благоприятствующих А исходов, которые так же благоприятствуют В к числу всех исходов, которые благоприятствуют В. Обозначать условную вероятность будем символом P(A/B). Если В – невозможное событие, то P(A/B) будем считать равной нулю.
Если событию 
благоприятствуют k исходов, то 
. В таком случае:
P(A/B) = 
Данное равенство очень важно для нас. Оно позволяет вычислять условную вероятность события А, используя безусловные вероятности
и 
.
Пример №1:
Три нужных вам книги находятся на одной из 15 стеллажей с 10 полками на каждом. Вы точно не знаете, где именно лежат книги, но вам точно известно, что первая лежит на стеллаже, номер которого делится на 5; вторая лежит на стеллаже, номер которого делится на 3, на полке, номер которой делится на 4; сумма номеров полки и стеллажа третьей книги равна 17. В каком случае вероятность попасть на нужную вам полку с первого раза наибольшая?
Решение:
Пусть А – «номер полки делится на 5». Очевидно, что число благоприятствующих для А исходов = 15*2 = 30.
Пусть В – «номер стеллажа делится на 3, а номер полки делится на 4». Число благоприятствующих исходов для В = 5*2 = 10.
Пусть С – «сумма номеров полки и стеллажа равен 17». Количество благоприятствующих исходов для этого события равно 9.
Наконец D – это событие, при котором мы с первого раза попадём на нужную нам полку. При таком раскладе вероятности таковы:
P(D/A) = 
, P(D/B) = 
, P(D/C) = 
.
Для сравнения вычислим безусловную вероятность события D:
P(D) = 
Основные свойства условной вероятности:
1. 0 ≤ 
≤ 1, при чём если AB – невозможное событие, то 
0 и если В⊂А, то 
1;
2. Если 
и АВ = V, то для любого события D справедливо 
.
3. Теорема сложения вероятностей распространяется на случай, когда А = 
, 
при i ≠ j, i, j = 1, 2, … , k.
.
4. Если 
– событие противоположное 
, то 
.
Пример №2:
Известно, что цепь проводит ток. Какова вероятность того, что элемент 1 проводит ток? Какова вероятность, что элемент 2 проводит ток? Какая из этих вероятностей выше?
Решение:
Пусть А – это событие при котором элемент 1 проводит ток, В – событие при котором элемент 2 проводит ток и С – событие при котором вся цепь проводит ток. Так как каждый элемент цепи может иметь только два состояния, то всего различных комбинаций этих состояний 32. В данном случае методом перебора можно легко определить, в каких случаях цепь будет проводить ток.
Всего получаем 16 вариантов, в которых цепь проводит ток. То есть P(C) = 0.5.
Далее находим P(A/C) = 
, P(B/C) = 
. Таким образом вероятность наступления события А выше, чем В.
Независимость событий.
В теории вероятностей и ее применении играет очень важную роль понятие независимости двух событий. Событие А называется независимым от события В, если имеет место равенство P(A/В) = Р(А). То есть событие А независимо от В, если условная вероятность события А при условии, что событие В произошло, совпадает с условной вероятностью события А.
Например, из колоды вынимают оду карту наугад. Какова вероятность того, что эта карта окажется шестёркой? Т.к. всего в колоде 36 карт, очевидно, что эта вероятность равна 
или 
. После этого нам сказали, что вынутая карта является красной. Изменилась ли вероятность достать шестёрку? На данный момент она будет составлять 
, то есть . Мы видим, что вероятность не изменилась, следовательно событие А не зависит от В.
Если два события А и В независимы друг от друга, то для них возможно применить теорему о умножении вероятностей, которая имеет вид:
Если события А и В произвольны, то данная теорема примет вид:
Далее мы перейдём к выводу важной формулы, которая называется формула полной вероятности.
Формула полной вероятности.
Следствием основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является так называемая формула полной вероятности.
Пусть для некоторых событий А, 
, 
, … , 
нам известны вероятности наступления событий 
и условная вероятность наступления события А, при условии наступления события из множества { }. Так же известно, что
А⊂ 
… 
, при чём события попарно несовместны. Можем ли мы, опираясь только на эти данные, найти вероятность наступления события А? С использованием формулы полной вероятности, ответ да, можем.
Данное изображение наглядно иллюстрирует нам, что имеет место быть следующая формула: 
.
Из несовместности событий вытекает и несовместность событий 
. Следовательно, мы можем воспользоваться теоремой сложения вероятностей:
Но так как при любом k (1 ≤ k ≤ i) справедливо
,
то
Это и есть формула полной вероятности. Теперь мы легко сможем решать задачи, используя эту формулу.
Пример №1:
Партия фруктов содержит 25% фруктов, выращенных фермой 1, 40% - фермой 2 и оставшиеся 35% - фермой 3. Для фермы 1 вероятность получить кислый фрукт равна 0.07, для фермы 2 – 0.1, для фермы 3 – 0.045. Какова вероятность, что выбранный наугад фрукт окажется кислым?
Решение:
Пусть А – «фрукт кислый», 
- фрукт выращен соответственно фермой 1, 2, 3. По условиям задачи имеем 
= 0.25, 
= 0.4, 
= 0.35, 
= 0.07, 
= 0.1 и 
= 0.045. По формуле полной вероятности вычисляем, что
0.25*0.07 + 0.4*0.1 + 0.35*0.045 = 0.0175 + 0.04 + 0.01575 = 0.07325.
Теорема Байеса.
Теорема Байеса названа в честь её автора Томаса Байеса (1702—1761) — английского математика и священника, который первым предложил использование теоремы для корректировки убеждений, основываясь на обновлённых данных.
Данная теорема позволяет определить вероятность какого-либо события при условии, что произошло другое статистически взаимозависимое с ним событие. Другими словами, по формуле Байеса можно более точно пересчитать вероятность, взяв в расчет как ранее известную информацию, так и данные новых наблюдений.
Теорема Байеса является простым следствием из формулы полной вероятности, и формулируется следующим образом:
Пусть события Bi попарно несовместны и A ⊂ B 1 B 2 … Bk , тогда 
.
Эту же формулу можно вывести из формул 
и 
. Из них следует формула 
, где
· - априорная вероятность гипотезы B,
· 
– апостериорная вероятность гипотезы А при наступлении события В,
· 
- вероятность наступления события В при истинности гипотезы А,
· 
- полная вероятность наступления события B.
Так как выводится из формулы полной вероятности, то мы можем заменить на 
в формуле Байеса и т.о. получаем
.
где 
- проверяемая нами причина.
Гипотезы – это предполагаемые причины, которые могли повлечь за собой данное событие.
Априорная вероятность – это безусловная вероятность справедливости гипотезы. Т.е. априорная вероятность вычисляет, насколько вероятна та или иная причина вообще.
Апостериорная вероятность – это условная вероятность появления причины с учётом полученных данных о событии, которое эта причина повлекла.
«Физический смысл» теоремы Байеса заключается в том, что она позволяет вычислить по известному факту события вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.
Имея данную формулу, попробуем решить задачу, обратную задаче 1.
Пример №1:
Пусть выполняются условия из задачи №1. Наугад выбранный фрукт оказался кислым. Чему равна вероятность, что он был выращен на ферме 1, 2, 3?
Решение:
В данной задаче нам необходимо найти вероятности 
, 
и 
.
= 
≈ 0.24, = 
≈ 0.55, = 
≈ 0.21.
Таким образом, вероятность, что кислый фрукт был выращен фермой 2 чуть больше, чем в два раза больше, чем первой или третьей фермой.
Выводы главы 2
В данной главе мы разобрали понятие условной вероятности, независимости событий друг от друга и вывели формулу полной вероятности. Так же мы полностью разобрали и решили несколько задач по этим темам.
Как уже было сказано выше, условная вероятность позволяет более точно определить вероятность наступления/не наступления того или иного интересующего нас события. Порой разница между значением, полученным при использовании формулы условной вероятности и значением, полученным при использовании формул безусловной вероятности, огромна.
Формулы нахождения безусловной вероятности очень удобны для изучения в школе. Они достаточно просты и помогают школьникам понять, что же такое вероятность наступления события и как её вычислить. Формулы условной вероятности можно дать для изучения в старших классах, для более углубленного изучения теории вероятностей.
Формула же полной вероятности может оказаться для школьников слишком сложной, но её можно оставить им на самостоятельное поверхностное изучение, исключительно для развития их мышления и кругозора.
Формула Байеса поможет определить вероятность того или иного события, которое привело к известному исходу.
В третьей заключительной главе этой работы будут представлены задачи на условную вероятность, их графические иллюстрации и полный разбор.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В рамках данной работы:
• рассмотрены три подхода к решению вероятностных задач
• подробно рассмотрена формула условной вероятности
• выведена формула полной вероятности и выведена формула Байеса как следствие ФПВ
• решены и проиллюстрированы некоторые примеры вероятностных задач
Изучение основ теории вероятностей включено в курс математики для средней школы. Задачи на безусловную или условную вероятность включены в единый государственный экзамен по математике.
Изучение теории вероятностей в школе – это признание обществом необходимости формирования современного мировоззрения. Это связано с тем, что вероятностные закономерности универсальны: физика, химия, биология, математика, весь комплекс социально-экономических наук развивается на базе вероятностно-комбинаторной математики.
Простые задачи на безусловную вероятность обычно решать очень легко, и все решение сводится к некой комбинаторной задаче. Решать же задачи на нахождение полной или условной вероятности немного сложнее. В таких ситуациях очень помогает составление графа вероятностей (или дерева) или обыкновенной простой наглядной схемы.
Навык составления иллюстраций крайне важен при решении сложных нетривиальных задач. Иллюстрации могут быть полезны экономистам и маркетологам для презентации новых путей расширения бизнеса/товарооборота (как в задаче №1 из пункта 3.1).
Обучение детей в школе составлению деревьев вероятностей поможет им не только решить ту или иную задачу, но и развить свои творческие способности. Сложные для понимания задачи становятся гораздо проще для восприятия, если к ним имеется иллюстрация.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:
Ø А.Н.Колмогоров «Введение в теорию вероятностей» / А.Н.Колмогоров, И.Г.Журбенко, А.В.Прохоров – М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982, 160 с. – (Библиотечка «Квант». Вып. 23)
Ø https://ru.wikipedia.org – формулировка основных понятий
Ø http://mathematichka.ru/ege/problems/problem_B10P1.html - задачи на нахождение вероятности.
Ø http://www.mathprofi.ru/files/gotovye_zadachi_na_fpv_i_formuly_bajesa.pdf - формулировки задач на полную вероятность.
КУРСОВАЯ РАБОТА
Выполнил:
студент __ курса очной/заочной формы обучения
________________________________________
________________________________________
________________________________________
(Ф.И.О. полностью)
Руководитель:
(уч. степень, уч. звание) __________________ Ф.И.О.
Итоговая оценка - ________________________________
Подпись______________________должность, уч. степень, уч. звание, Ф.И.О. руководителя
Коломна – 2017 г.
СОДЕРЖАНИЕ:
Введение………………………………………………………..…….…….....3
Глава 1. Теория вероятностей
1.1. Вероятность и частота…………… …………………………….4
1.2. Классический подход и его применение.……….……………..6
1.3. Статистический подход и его применение.………………..….8
1.4. Аксиоматический подход и его применение ……….…....…...9
1.5. Простейшие задачи на нахождение вероятности…………….11
1.6. Выводы главы 1………………………………………………...13
Глава 2. Подробнее о теории вероятностей
2.1. Новые понятия теории вероятностей…………………………14
2.2. Условная вероятность………………………………………….16
2.3. Независимость событий……………………………………….19
2.4. Формула полной вероятности..................................................20
2.5 Теорема Байеса..........................................................................22
2.6. Выводы главы 2………………………………………………..24
Глава 3. Графические иллюстрации для решения задач.
3.1. Задачи на условную вероятность……………………………….25
3.2. Задачи на нахождение полной вероятности…………………...28
3.3. Задачи для решения через формулу Байеса……………………30
Заключение………………..………………………………..……………..…33
Список используемой литературы…………………………..……………..34
ВВЕДЕНИЕ
Целью моей курсовой работы является рассмотрение графических иллюстраций вероятностных рассуждений и применение их в учебном процессе и повседневной жизни.
В рамках этой работы мы рассмотрим различные подходы к определению численного значения вероятностей, научимся решать задачи на безусловную и условную вероятность, а так же составим графические иллюстрации, которые помогут нам в решении тех или иных вероятностных задач.
План работы:
1. Рассмотрение различных подходов к определению численного значения вероятностей.
2. Решение простейших задач на вероятности.
3. Переход к условной вероятности и решение задач.
4. Выведение и применение формулы полной вероятности.
5. Выведение теоремы Байеса из формулы полной вероятности.
6. Решение задач на условную и полную вероятности, применение формулы Байеса.
Глава 1. Теория вероятностей.
Вероятность и частота.
В повседневных рассуждениях мы не рассматриваем посылки как «истины», которые обязательно требуют определенных заключений; вместо этого мы воспринимаем посылки как утверждения, которые либо поддерживают, либо не поддерживают определенные заключения. Когда мы используем имеющуюся информацию, чтобы решить, что заключение истинно или ложно с какой-то степенью вероятности, мы проводим вероятностные рассуждения. В повседневных рассуждениях для оценки вероятности истинности какого-либо заключения мы полагаемся на законы теории вероятностей.
Теория вероятностей – это область математики, бурное развитие которой приходится на последние десятилетия. Широкое распространение вероятностных методов в самых различных областях науки и техники было связано с тем, что с помощью этих методов удалось получить ответы на многие естественнонаучные задачи, которые долгое время не поддавались решению.
На теории вероятностей основаны кинетическая теория газов, теория диффузии растворённых в жидкости веществ и взвешенных частиц. Теория вероятностей объясняет, почему хаотическое беспорядочное движение отдельных молекул приводит к чётким простым закономерностям движения их больших совокупностей (Броуновское движение).
Вероятность события – это отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев. Например, пусть в непрозрачном мешке имеется 7 карточек, на которых написаны буквы Д, Д, Ш, К, Е, У, А. Эти карточки вынимаются вслепую по очереди и выкладываются на стол. В результате получается слово ДЕДУШКА. Казалось бы – это невозможно! Но на самом деле вероятность такого исхода событий есть, хоть она и невероятно мала.
Всего существует 7! (т.е. 5040) вариантов последовательностей из семи букв, для нас благоприятными будут лишь 2, то есть шанс выпадения слова ДЕДУШКА равен или .
Существует несколько подходов к определению численного значения вероятности:
· Классический
· Статистический
· Аксиоматический
Дата: 2019-11-01, просмотров: 173.
