Если функция  дифференцируема в замкнутой ограниченной области, то она достигает своих наибольших и наименьших значений либо во внутренней точке, либо в граничной точке области.

Замкнутая область – область, которая включает все свои граничные точки.

Граничные точки области – точки, в любой окрестности, которые содержатся как точки входящие в область, так и не входящие.

Граничные точки приходится исследовать по частям границы, выделяя на каждой части «подозрительные точки».

Если функция  линейна и ограничения линейны, то область является многоугольником, и в этом случае наибольшее и наименьшее значение могут находиться лишь в условных точках этого многоугольника.

Метод наименьших квадратов.

В прикладных задачах экономики, физики, техники зависимость между переменными x и y часто выражается в виде таблиц, где значения переменных получены в результате эксперимента или являются статистическими данными за ряд лет. Для изучения связи между этими переменными часто требуется выразить зависимость между этими переменными аналитически, т.е. в виде некоторой формулы.

Вообще говоря, задача восстановления функции по конечному числу ее значений математически неразрешима. Поэтому ставится задача приближенно заменить табличную функцию некоторой формулой так, чтобы ее значения возможно мало отличались от табличных. Такая формула, полученная на основе экспериментальных данных, называется эмпирической.

Построение эмпирической формулы по собранным экспериментальным данным состоит из двух этапов: 1) подбор вида этой формулы, зависящей от параметров; 2) определение по некоторому критерию этих параметров.

Во многих случаях характер зависимости между переменными предполагается известным из каких-либо теоретических соображений, т.е. остается только определить параметры этой формулы. Обычно для экономических исследований достаточно одной из шести следующих формул:

Наибольший интерес представляют две первые эмпирические формулы. Допустим, что опытным (эмпирическим) путем определены значения двух переменных x и y.

X				…
y				…

Требуется выразить зависимость между x и y в виде уравнения y = f (x).

Предположим, что первый этап завершен – вид функции установлен. Тогда переходят ко второму этапу – определению неизвестных параметров.

Согласно наиболее распространенному методу наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров функции f (x) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов отклонений «теоретических» значений , найденных по эмпирической формуле y = f (x), от соответствующих опытных значений была минимальной:

Пусть в качестве функции y = f (x) взята линейная функция y = ax + b и задача сводится к отысканию таких значений a и b, при которых функция

примет наименьшее значение. Заметим, что функция S = S(a, b) функция двух переменных a и b до тех пор, пока мы не нашли, а затем не зафиксировали их “наилучшие” (в смысле метода наименьших квадратов) значения, а  и  – постоянные числа, найденные экспериментально.

Таким образам, для нахождения прямой, наилучшим образом согласованной с опытными данными, достаточно решить систему:

Эта система имеет единственное решение, так как ее определитель не равен нулю (что легко проверить). Найденные значения a и b дают функции S(a,b) минимум.

По лекции:

Пусть требуется установить зависимость между двумя величинами x и y, для которых известны несколько предыдущих измерений, записанных в таблицу (зависимости прибыли у от месяца х)

Х			…
у			…

Если эти точки лежат близко к некоторой прямой, то для прогнозирования дальнейшего изменения у(х) ищут прямую y=ax+b, наименее удаленную от этих точек.

Рассмотрим

Если  будет min при некоторых значениях a и b, то говорят, что прямая найдена по методу наименьших квадратов.

Формула наименьших квадратов:

Неизвестны: a и b

Известны: x и y

Дифференцируем

Получаем: