Назначение критерия

Критерий предназначен для сопоставления двух распределений:

а) эмпирического с теоретическим, например, равномерным или нормальным;

б) одного эмпирического распределения с другими эмпирическим распределением.

Критерий позволяет найти точку, в которой сумма накопленных расхождений между двумя распределениями является наибольшей, и оценить достоверность этого расхождения.

Если различия между двумя распределениями существенны, то в какой-то момент разность накопленных частот достигнет критического значения, и мы сможем признать различия статистически достоверными. В формулу критерия включается эта разность. Чем больше эмпирическое значение, тем более существенны различия.

Ограничения критерия:

1. Критерий требует, чтобы выборка была достаточно большой. При сопоставлении двух эмпирических распределений необходимо, что бы N_1,2 ≥50. Сопоставление эмпирического распределения с теоретическим иногда допускается при N_1,2 ≥5.

2. Разряды должны быть упорядочены по нарастанию или убыванию какого-либо признака. Они обязательно должны отражать какое-то однонаправленное его изменение.

3. Критерий применяется для сравнения признаков, измеренных по шкалам порядка, интервальной или пропорциональной. Мы не можем накапливать частоты по разрядам, которые отличаются лишь качественно и не представляют собой шкалы порядка. Во всех тех случаях, когда разряды представляют собой не упорядоченные по возрастанию или убыванию какого-либо признака категории, нам следует применять метод хи-квадрат.

Алгоритм расчета критерия

Расчет критерия при сопоставлении двух эмпирических распределений[11]

1. Расчеты целесообразно провести, пользуясь следующей таблицей.

Таблица 34

Занести в таблицу значения признака (наименования разрядов для сгруппированного распределения) — второй столбец, соответствующие им эмпирические частоты, полученные в распределении 1 (третий столбец) и в распределении 2 (четвертый столбец).

2. Подсчитать эмпирические частости (относительные частоты) по каждому разряду для распределения 1 по формуле:

,

где f_1i - эмпирическая частота для данного значения (интервала);

N₁ - количество наблюдений в выборке.

Занести эмпирические частости распределения 1 в пятый столбец.

3. Подсчитать эмпирические частости по каждому разряду для распределения 2 по формуле:

,

где f_2i - эмпирическая частота для данного значения (интервала);

N₂ - количество наблюдений в выборке.

Занести эмпирические частости распределения 2 в шестой столбец таблицы.

4. Подсчитать накопленные эмпирические частости для распределения 1 по формуле:

где Р_i-1 – относительная частота, накопленная для предыдущего значения (интервала);

i - порядковый номер значения (интервала);

р_i – абсолютная частота данного значения (интервала).

Полученные результаты записать в седьмой столбец.

5. Подсчитать накопленные эмпирические частости для распределения 2 по той же формуле и записать результат в восьмой столбец.

6. Подсчитать разности между накопленными частостями по каждому разряду d_i= Р_1i – Р_2i. Записать в девятый столбец абсолютные величины разностей (без их знака). Обозначить их как |d_i|.

7. Определить по седьмому столбцу наибольшую абсолютную величину разности |d_max|.

8. Подсчитать значение критерия по формуле:

,

где |d_max|- наибольшая абсолютная величина разности накопленных частот;

   N₁- количество наблюдений в первой выборке;

   N₂ – количество наблюдений во второй выборке.

5. Правило вывода:

Критические значения критерия Колмогорова-Смирнова постоянны:

λ_крит.= 1,36 для уровня значимости р=0,95

λ_крит.= 1,63 для уровня значимости р=0,99

Если λ_эмп. ≥ λ_крит., то различия между распределениями статистически достоверны.

Если λ_эмп. < λ_крит., то различия между распределениями статистически не достоверны.

       Контрольные вопросы:

1. Какие задачи решает критерий хи-квадрат Пирсона?
2. Можно ли использовать критерий хи-квадрат Пирсона для сравнения распределений признаков, измеренных по номинативной шкале?
3. Каково правило принятия решения в критерии хи-квадрат Пирсона?
4. Какие задачи решает критерий Колмогорова-Смирнова?
5. Какова область применения данного критерия?
6. Можно ли использовать критерий Колмогорова-Смирнова для сравнения распределений признаков, измеренных по шкале наименований?
7. Как найти теоретические частоты при сравнении эмпирического распределения и равномерного распределения?
8. Как найти теоретические частоты при сравнении эмпирического распределения и нормального распределения?
9. Каково правило принятия решения в критерии Колмогорова-Смирнова?

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ:

а) основная литература:

1. Ермолаев О. Ю. Математическая статистика для психологов. — М., 2008. — Стр. 159-164.

2. Кутейников А.Н. Математические методы в психологии. – СПб, 2008. — Стр. 85-103.

3. Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии. — СПб.,2004. — Стр. 110-156.

б) дополнительная литература:

Суходольский Г. В. Основы математической статистики для психологов. — СПб., 1998. — 294-305.